K\) U = V-^-[UR

Q)nime en Mécanique analytique, il est utile en dynamique des électrons de superposer au mouvement réel un déplacement virtuel qui satisfait également à Féquation cinématique; nous le désignons par 05 et ses composantes par ;, Tj, JJ. Celles-ci devront satisfaire aux équations

(la) o=ii = '-^ = ^ = !^-f-^='^^-f.^ = ^-H^,

ôx Oy Oz àz Oy ôx ôz dy âx

qui expriment que le déplacement virtuel ne s*accompagne d'aucune déformation de Féleclron.

Si le mouvement de l'électron est donné, le champ électromagnétique qu'il produit est déterminé par les équations du champ de la théorie de Lorentz

(^) - --- 3= curl. H — -^— ^U,

(II) nb) = curl.E,

(d) div.H =o.

E représente le champ électrique en unités électrostatiques et H le champ magnétique en unités électromagnétiques C. G.S. Les équations précédentes diffèrent de celles données par Hertz-Heaviside en ce que le courant de conduction y est remplacé par le courant de conveclion. Ce courant de convection est toujours déterminé par la vitesse absolue U dans l* électron; les équations (II) sont rapportées à un système daxes fixe par rapport à l'éther. Il en résulte qu'une vitesse absolue de translation de r électron égale à la vitesse de la lumière c représente une vitesse critique.

Nous pouvons dès maintenant mettre ces équations sous une forme qui les rapproche davantage des équations primitives de Maxwell; leur importance pour la théorie des électrons a été indiquée par

MM. Th. des Coudres (•) et Wiechert (*). Soient <^ \e potentiel scalaire et A le potentiel vecteur déterminés par les équations différentielles

(II) y ^ ^'

les champs s'obtiennent par les différentiations suivantes

{g) E = grad.*~--, V (h) II =curl.A.

Celte forme des équations met en évidence le fait que le champ électromagnétique peut être considéré comme la superposition de perturbations qui se propagent dans Téther avec la vitesse de la lumière à partir de chaque élément de volume de l'électron.

L'électron est placé dans des champs extérieurs d'intensités Ea et Ha. Pour déterminer le mouvement de l'électron qu'ils produisent, de nouvelles équations sont nécessaires, les équations fondamentales dynamiques ou cinétiques. Les considérations suivantes permettent de les obtenir.

MM. H. -A. Lorentz et Wiechert ont montré qu'on peut retrouver les forces connues qui agissent sur Télectricité en repos ou en mouvement dans les champs électrique et magnétique, si l'on suppose que chaque électron esl soumis à la force

K = ^Fa «xec FA=EA-h-[VHA].

LVIectron est ici considt^n* comme une charge ponctuelle. Nous partagerons au conlrairt* rélooln>n on éléments de volume et nous définirons la force exlérioun* qui agit sur Télément de volume rfr par

D'après le princi|>t* de Tunilé dos forces olootriques et magnétiques p<«><^ par Maxwell et Horti, nousdoxons ooiisidôrer comme artificielle 1^ distinction entre un champ ôloclr»m;ignôtique extérieur à IVlec-

Tï. :r> Ci>vr»RF5^ 4nrA. »^W., > ^^n*', i^vv p. toj U^f^ntz Festschri/t). • E- WircHïRT. L/C^rentz Ftsttck*^/t, i^xv, p. À^^, ^ Ann der Phys., i. IV, 1901,

PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE DE l'ELECTRON. i3

tron et un champ intérieur qu'il produit dans son mouvement. En réalité, il n'y a qu'un champ électromagnétique déterminé par

E-hEa, h -h Ha,

de sorte que nous devrons ajouter à la force extérieure (i) une force intérieure agissant sur l'élément de volume d'z de V électron

(la) prfxF avec F = E -h i [UH]. ,

Nous appellerons les deux intégrales suivantes, étendues à tout le volume de l'électron,

(I*) • BAH=^JJJp(FH8s)dz,

(ic) BA,=Jfl*p(F Bs)dx,

les travaux virtuels des forces extérieures et intérieures et nous admettrons que, pour tout déplacement virtuel de l'électron, la somme des travaux des forces intérieures et extérieures s'annule :

(III) ^Ai-h^AH= f f fp{F-hFh,Bs)di = o.

C'est là notre équation dynamique fondamentale.

Si nous appliquons cette équation successivement à une translation et à une rotation virtuelles, elle se transforme dans les deux équations vectorielles

JJJplF-^Fnid-z^o, JJJp[R,F-^F^]d'z=o.

Nous appellerons iid) . K=J J JpFhdz

{le) e=JJ'Jp[ï{F^]dz

là force et le couple extérieurs résultants ;

(./) ///pp'^^

l4 MAX ABRAHAM.

fffp[HF]d.

seront la force et le couple intérieurs résultants.

Les deux équations vectorielles contenues dans Téquation scalaire (III) signifient que les forces et les couples résultants intérieurs et extérieurs se font équilibre :

<lUa) K-+- f f fç^¥ ch = o,

{\\\b) e-^- r f fo[ï{F]dz = o.

L'équation cinématique (I), les équations du champ (II) et les équations dynamiques (111) sont les bases de la dynamique de l'électron.