GÉOMÉTRIE PRATIQUE

Connaissant le nom des figures de géométrie, nous pouvons déjà nous entendre et désigner chaque objet comme il convient de le faire; passons maintenant à la géométrie pratique, qui doit être étudiée avec soin: car ses opérations se retrouvent sans cesse dans le courant de cet ouvrage.

Pour dwiser une ligne droite en deuæ parties égales.

Fig. 7. Soit AB la ligne donnée; il faut ouvrir son compas plus grand que la moitié de la ligne AB, et placer une des pointes au point A, puis décrire un arc de cercle d’une grandeur indéfinie; ensuite placer la même pointe au point B, et de la même ouverture de compas ( c’est-à-dire sans l’avoir ni rouvert ni refermé ), décrire un second arc de cercle et le prolonger jusqu’à la rencontre du premier, ce qui donne les points CD; joindre ces deux points par une ligne droite qui divisera AB en deux parties égales.

On se sert de cette opération pour élever une perpendiculaire au milieu d’une lig^ne donnée.

Quand la ligne à diviser est très grande et qu’on ne peut le faire avec le compas, on prend un fil, on lui détermine la même grandeur qu’à cette ligne, puis le pliant en deux, on obtient le milieu de la ligne donnée.

Pour élever ou abaisser des perpendiculaires à une ligne donnée.

Fig. 10. Soit AB la ligne donnée.

Placer une règle tout près et pour ainsi dire touchant à la ligne AB, tenir cette règle immobile, puis faire glisser le long de cette règle un des côtés de l’angle droit de l’équerre; l’autre côté de l’angle droit servira à tracer autant de perpendiculaires que l’on voudra.

Pour mener des parallèles à une ligne donnée.

Fig. 6. Soit AB la ligne donnée. Placer l’équerre de manière que l’un de ses côtés soit tout près et touche pour ainsi dire la ligne AB, appliquer une règle à l’un des deux autres côtés de l’équerre, tenir cette règle immobile, puis faire glisser l’é- ([uerre le long de la règle pour mener autant de parallèles qu on voudra.

Faire un angle égal à un angle donné,

Fig. 13. Soit donne l’angle A : on propose d’en construire un semblable à l’extrémité D de la ligne DE. Prendre le preneur d’angles et placer un de ses côtés tout près, et pour ainsi dire, touchant la ligne B A, puis ouvrir ce preneur d’angles jusqu’à ce que son autre côté recouvre juste la li* gne AG; reporter le preneur d’angles de manière que l’un de ses côtés soit tout près de la ligne ED, le point D correspondant au point A; alors on pourra tracer la ligne DF, ce qui formera l’angle EDF égal à l’angle BAG. Ce moyen peut aussi servir à mener une ligne oblique DF, parallèle à une oblique AC.

Diviser un angle en deux angles égaux.

Fig. 12, Soit l’angle A que l’on veut diviser. Du point A, comme centre, et d’un rayon pris à volonté, décrire l’arc BG; des points B, G, comme centre et d’un même rayon, décrire deux arcs qui se coupent en E; joindre les points AE par une ligne qui divisera l’angle BAG en deux angles égaux.

Un côté AB étant donnée construire un triangle équilatéral, c^est-à-dire qui a ses trois côtés égaux.

Fig. r5. Des points A, B, comme centre, et d'un rayon égal à AB, décrire deux arcs qui se coupent en G, mener les lignes AG, BG; le triangle ACB est le triangle demandé.

Un côté AB étant donné , construire un carré.

Fig. 16. Des points A, B, élever des perpendiculaires, puis des mêmes points A, B, comme centre et d’un rayon égal à leur écartement, décrire deux arcs de cercle; leur rencontre avec les perpendiculaires donne les points G, D, qu’on joindra par une ligne droite; ce qui termine le carré.

Construire un rectangle, le côté DC étant donné ainsi cjue la grandeur du côté DA.

Fig. 18. Des points D, G, élever des perpendiculaires, prendre la grandeur DA et la reporter de G en B, joindre les points BA, etc.

Construire un hexagone, un côté AB étant donné.

Fig. 20. Des points A, B, comme centre et d’un rayon égal h leur écartement, décrire deux arcles de cercle, ce qui donne le point C; de ce point, comme centre et du même rayon, décrire un cercle ; le côté AB sera contenu six fois dans la circonférence de ce cercle.

Pour déterminer la surface d\in petit tableau proportionnellement

à celle d^nn grand tableau donné la largeur du petit tableau

étant aussi donnée.

Fig. 18. Soit ABCD le grand tableau. Mener la diagonale DB, prendre le côté donné du petit tableau et le rapporter de D en E; du point E élevant une perpendiculaire jusqu’à la rencontre de la diagonale, on aura le point H; EH est la hauteur du petit tableau.

Cette opération est d’un grand secours pour les réductions, parce qu'il faut toujours , dans ce cas, établir le petit tableau ou dessin juste en proportion avec le grand.

Lorsqu’on meut tracer une ligne droite, quelle est très grande, et que pour cet effet on ne peut employer une règle, on emploie une ficelle que Ton frotte de blanc. Deux personnes, tenant cette ficelle, la placent aux points extrêmes de la ligne droite, elles la tendent le plus fortement qu’elles peuvent; alors l’une de ces personnes, la saisissant du bout des doigts, l’élève le plus possible, puis, la laissant échapper, elle revient frapper avec force et trace une ligne droite.

Lorsqu’on a des lignes à tracer sur un tableau, ce moyen est préférable à l’emploi d’un crayon blanc, qui peut contenir de petites parcelles dures et rayer le tableau.

Pour retrouver le centre d’un cercle.

Fig. 14. Prendre à volonté sur la circonférence les points A, B, O, joindre ces points par les lignes AB, BO, diviser la ligne AB en deux parties égales, ce qui donne la ligne FG ; prolonger cette ligne indéfiniment; ensuite diviser la ligne BO en deux parties égales, ce qui donne la ligne ED; la rencontre de cette ligne avec la ligne FG donne le point G, qui est le centre du cercle donné.

Cette opération peut aussi servir pour trouver le centre d’un arc de cercle , et pour faire passer un arc de cercle ou un cercle par trois points donnés.

Par un point donné sur la circonférence d^un cercle^ mener une tangente à ce cercle^

Fig. 11. Du point C, centre du cercle, et par le point L, faire passer une ligne indéfinie, prendre la grandeur du rayon CL, et la reporter de L en Pi : des points C, R, comme centre, et d’un rayon plus grand que la moitié de cette ligne, décrire deux arcs qui se coupent en D et en E; joindre ces points par une ligne droite, qui sera tangente au cercle donné.

Construire une ellipse, sa longueur et sa largeur étant données,

Fig. 21. Soit AB, la longueur, et CD, la largeur de l’ellipse. Prendre CE, moitié de CD, et reporter cette grandeur de A en O, diviser en trois parties égales OE, différence des deux demidiamètres ; prendre une de ces divisions et la reporter de O en ]; des points T, A, comme centre et d’un rayon égal à leur écartement, décrire deux arcs qui se coupent en G et en L; ilu point B, comme centre et du même rayon, décrire un arc indéfini qiu donne le point Fj de ce point et du même rayon décrire un arc de cercle qui s’arrête aux points H, K, ce qui termine les deux extrémités de l’ellipse Pour décrire le reste de sa circonférence, des points GH, comme centre et d’un rayon égal à leur écartement, décrire deux arcs qui se coupent en M; de ce poini M, et du même rayon décrire l’arc GGH, ce qui termine un des côtés de l’ellipse; ensuite des points K, L, et du même rayon décrire deux arcs de cercle qui se coupent en N, ce point est le centre de l’arc KDL; décrire cet arc, ce qui termine l’ellipse demandée, etc.

Hemarque, — Ce moyen de décrire Pellipse sert à tracer les courbes à trois centres, employées fréquemment dans l’architecture gothique.

La perspectwe est l’art de représenter, sur une surface nommée tableau^ la forme et les contours des objets tels qu’ils nous apparaissent; puis les ombres et les réflexions ou mirage de ces objets sur la surface des eaux et sur les glaces.

Pour dessiner d’après nature ou pour composer, on doit s’occuper d’abord de la hauteur de l’horizon, \lhorizon , lorsqu’il est représenté par la ligne droite qui sépare le ciel d’avec ^a mer, se nomme horizon visuel ou horizon visible. Lorsque la vue n’est pas terminée par la mer, qu’elle l’est au contraire par des édifices ou par des montagnes , on ne saurait voir le véritable horizon; mais comme on peut s’en passer, on en détermine un factice à l’endroit où se trouverait le véritable ; il se nomme horizon rationnel.

Quelques personnes désignent sous le nom d’horizon la ligne supérieure des montagnes, cette ligne qui sépare les lointains du ciel ; pour moi, j’entends par horizon une ligne droite, toujours située à la hauteur de l’œil du spectateur. Ainsi, plus le spectateur sera élevé, plus l’horizon sera élevé.

La ligne d’horizon doit toujours se représenter par une ligne droite.

Lorsqu’on étudie les tableaux et dessins des peintres anciens, on trouve que l’horizon est placé haut ou bas suivant le sujet, le genre et la place à laquelle le tableau était destiné, ajoutant à ces données la manière particulière d’envisager la nature que chacun avait contractée.

Lorsqu’on dessine d’après nature, il faut tracer sur son dessin l’horizon juste à la même hauteur, par rapport aux objets représentés, qu’il se trouve placé devant soi dans la nature. Je dirai plus loin comment on peut l’obtenir.

Mais, dans une composition, pour placer l’horizon on trace d’abord quelques objets réguliers qui servent de guide, ou bien on le place à volonté. Une fois obtenu, il ne peut plus changer, et tout doit lui être subordonné.

Fig. 22, 23 et 24. Toutes les lignes placées horizontalement et fuyantes qui se trouvent au-dessus de l’horizon font l’effet de descendre vers lui; plus elles sont élevées, plus cet effet est sensible. Au contraire, toutes celles (jui sont au-dessous de

l’horizon font l’effet de monter, si ces lignes sont parallèles fuyantes; étant prolongées , elles vont effectivement se réunir à un seul point qui est à l’horizon.

J’établis comme principe, que toutes Les lignes horizontales restent parallèles géométrales, et se mènent avec la règle et l’équerre; que toutes celles parallèle s fuyantes placées

horizontalement ^ qu’il ne faut pas confondre avec horizontales, vont se réunir à un point quelconque à Thorizon.

Toutes les lignes horizontales sont parallèles à l’horizon; leur direction est invariable, tandis que les lignes fuyantes placées horizontalement peuvent avoir une foule de directions; leur principe est d’être seulement toujours parallèles , dans toute leur longueur, avec la surface de l’eau. Les figures 22, 23 et 24 sont formées par des lignes placées horizontalement; les unes sont horizontales et les autres vont tendre à un point de l’horizon. Toutes les lignes qui vont se réunir à un point quelconque de l’horizon se nomment lignes parallèles fuyantes. Elles conservent toujours le même espace entre elles, quoiqu’en apparence elles paraissent diminuer et finir en un point.

Fig. 23. On nomme surfaces de front celles qui ont pour base une ligne horizontale, telles que la face AB B' A', etc.

Surfaces fuyantes , toutes celles qui ont pour base des lignes fuyantes, telle que les faces ACG'A', BEE'B'.