RÉGULATEURS A FORCE CENTRIFUGE SANS RESSORTS
Nous suivrons dans ce chapitre l'ordre que voici :
Jj 1. — Régulateur de Watt à suspension sur l'axe, et types dérivés.
Sï 2 É — Régulateur de Watt à suspension en dehors de l'axe, et types dérivés.
g 3. — Régulateurs dont les boules ont des trajectoires non circulaires.
g 4. — Régulateurs dans l'équilibre desquels intervient la forme des boules.
§ 5 t — Types divers.
§ 1. RÉGULATEUR DE WaTT A SUSPENSION SUR L*AXE, ET TYPES DERIVES.
Le pendule conique fut inventé par Huygens et appliqué d'abord à la régularisation des mouvements d'horlogerie. Watt l'appliqua en 1784 aux machines à vapeur et Hooper, en 1789, aux moulins à vent.
Le régulateur de Watt, sous sa forme la plus simple, se compose de deux tiges égales AB, A'B (fig. 2), articulées à charnière au point B, sur Taxe vertical de rotation BD et portant à leurs extrémités libres deux boules identiques. Deux autres tiges CD, CD, égales entre elles, s'articulent dune part en C et C sur les précédentes; d'autre part, en D, sur un manchon susceptible de glisser le long de Taxe. Ce manchon est relié par un système de tringles à la valve d'admission, de telle façon qu'en s'élevant ou en s 'abaissant il ouvre ou ferme plus ou moins la valve.
Supposons que Taxe tourne avec une vitesse uniforme o>, et cherchons quelle doit être l'inclinaison a de la tige AB sur la verticale pour que le système puisse rester au repos relatif.
Appelons P le poids de chacune des boules et négligeons, dans ce premier aperçu, les autres forces telles que les poids des tiges, celui du manchon, les frottements et autres résistances. Il doit y avoir équilibre entre les deux poids P et les forces centrifuges. Parmi ces dernières, ne tenons compte que de celles qui s'exercent sur les éléments des deux boules et qui peuvent être considérées comme appliquées aux centres de gravité des boules. En appelant a la longueur AB, on trouve immédiatement la relation :
Fig.
2Pa sin % = 2 — rfa* sin a cos *
qui exprime l'égalité entre les moments, par rapport au point B, de la pesanteur et des forces centrifuges. Cette relation se réduit à :
ci>*a cos a = ff.
Soit h = a cos a la distance verticale des boules au point B, et soit T = — la durée
d'une révolution de Taxe.
On peut écrire :
et Ton voit ainsi que, dans la position d'équilibre relatif, la distance h est précisément la longueur du pendule simple effectuant une oscillation complète dans le temps T d'une révolution.
Cette formule est donnée par Poncelet ( Traité de mécanique appliquée aux machines) sous le nom de « Règle pratique anglaise ».
Il est bon de remarquer que la formule d'équilibre du pendule conique est mathématiquement exacte, tandis que celle des oscillations pendulaires n'est vraie qu'approximativement et ne s'applique qu'aux très petites oscillations.
Tredgold, dans son Traité des machines à vapeur, indique deux dispositions du régu-
lateur de Watt, qu'il appelle pendule conique ou modérateur. La première est celle que suppose la fig. 2. Dans la seconde, représentée fig. 3, les points C, C sont reportés sur les prolongements des tiges AB, A'B au delà du point d'articulation B.
Dans les deux cas, le centre instantané de rotation de la contretige CD pendant le mouvement de déformation du régulateur est évidemment au point de rencontre de la tige AB avec l'horizontale du point D. On en déduit sans peine que, pour une rotation doc, de la tige AB, le manchon éprouve un
déplacement dz égal àèx BC. -p — nfïr* P arcons é-
quent, la disposition de la fig. 2, dans laquelle l'angle BDC est plus voisin de 90° que dans la fig. i , donne pour une même rotation dx un plus grand déplacement dz.
Il est facile de déterminer la ligne d'équilibre théorique du régulateur de Watt. Soit H la plus grande distance du manchon au centre d'oscillation des pendules. En posant, conformément aux conventions précédemment faites, or = x et H — a cos x = 5, on obtient x (H — z) = g. La ligne d'équilibre est donc un arc d'hyperbole équilatère, dont les asymptotes sont l'axe du régulateur et l'horizontale du centre d'oscillation.
En continuant % se contenter du même degré d'approximation, on peut se demander quelle nst la durée des oscillations éprouvées par le pendule de Watt, par rapport à sa position d 'équilibre relatif, lorsque cet équilibre vient à être troublé légèrement par une cause quelconque, la vitesse de rotation de l'arbre demeurant constante et égale à w. Si Von désigne par l'inclinaison, au temps J, de la tige AB sur la verticale, on trouve immédiatement l'équation :
rf*e
— - = a) 2 sin (cos — cos a) dt* x ;
Fig. 3.
qui donne la loi du mouvement. Par hypothèse, ô diffère peu de a. Posons donc 6 = a -J- s et négligeons les puissances de s supérieures à la première. Il vient ainsi :
dU dt*
= — a) 2 sm 2 a X c
et cette équation montre que la période des oscillations dont il s'agit est égale à En tenant compte de la valeur de w, on peut encore dire que cette période est
eu sin 2
2r /à v/cosj* V g sin a
La théorie qui précède ne constitue qu'une première et grossière approximation. Nous niions maintenant écrire l'équation d'équilibre en tenant compte des masses des tiges aînsi que du poids du manchon et de la résistance opposée au déplacement de celui-ci. Le résultat s'obtient immédiatement en appliquant le principe des travaux virtuels. Si Ton
appelle (fig, 2) :
p le poids de la tige AB,
q celui de la tige CD,
Q celui du manchon,
f la résistance due aux frottements,
b la longueur BC,
c la longueur CD,
il vient :
w'a'cosa
( tf +î'+j*?)-<g'+»+**>-*w+'+fl('+ ^U
Posons pour abréger
P.-P + Jp+JçJ
Nous obtenons :
w s a cos
ip '= p -+ 2 4«.+fl('+^|fe>
En particulier, si b est égale à c, auquel cas le régulateur est dit isocèle, on a simplement :
^P.'P. + îiQ.+fl.
Nous savons que la puissance d'un régulateur, lorsque l'équation d'équilibre est mise
sous la forme A<*>* -f- B = o, est mesurée par B, à condition que le poids Q du manchon
figure dans B avec un coefficient égal à l'unité. D'après cela, la puissance du régulateur
â isocèle de Watt est Qt + T P*- Elle est indépendante de a, et demeure par conséquent la
même dans toutes les positions du manchon. C'est là une propriété importante du régulateur isocèle. On voit aussi qu'en rendant b très petit, c'est-à-dire en attachant la contretige très près du sommet B du régulateur, on peut rendre la puissance aussi grande qu'on le veut, mais alors les déplacements du manchon deviennent tout à fait insuffisants.
Pour l'équilibre théorique, f est nul par définition, et il en résulte une certaine valeur a>o de a). Les valeurs extrêmes a/ et </ de la vitesse pour une inclinaison donnée, a, des tiges, s'obtiennent en attribuant à la résistance f ses valeurs limites ±. F. Le coefficient
de sensibilité est, comme nous le savons, -j- r * ou bien :
0) * Ci) *
/, , b cos a \
\ t/S~— A 1 sin* «/
La dérivée, par rapport à a, de l'expression est - =. Elle
V/c*— Z> 2 sin* a . =
(c* — b* sin* a) z
a le même signe que b — c. La sensibilité du régulateur de Watt va donc en croissant ou
Lbcorxi*. — Régulateurs des machines a vapeur. 2
en décroissant avec l'angle a, suivant que la tige t est plus courte ou plus longue que la contrelige c. Dans le cas du régulateur isocèle, la sensibilité est constante, et égale à
*P, + b Q, bF
Le meilleur moyen d'augmenter la puissance et la sensibilité consiste à agir sur le terme Q f . Comme Q t est égal à Q -}- y, il suffit d'accroître le poids Q du manchon. On est ainsi conduit au type dit régulateur de Watt à masse centrale (fig. 4).
En ce qui concerne la stabilité, le régulateur isocèle conduit à un résultat remarquablement simple. Nous savons que le coefficient de stabilité a pour mesure - -7-. Si nous
convenons de mesurer l'ordonnée z du manchon à partir de l'horizontale du point d attache des tiges, nous avons, en valeur absolue : z = 2b cos a, et nous voyons immédiatement
que l'expression w*3 est constante. Par conséquent - — = , c'est-à-dire que le coefficient de stabilité est à chaque instant égal à Vinverse de la distance du point d'attache du manchon au point de suspension des tiges.
Une construction graphique très simple permet de figurer l'état d'équilibre du régu-
Fïa. 4.
lateur de Watt et d'apprécier d'un coup d'oeil l'influence que peuvent avoir les divers éléments de construction. Si l'on désigne par g l'angle d'inclinaison de la contretige sur la verticale, on peut écrire l'équation d'équilibre sous la forme :
w a a cos a n D , b /n , N /. , b cos a \
—f- p. = *. + e (Q. + fl ^ + rssrp ) ■
Mais on a évidemment b sin <x = c sin 0. Tenant compte de cette relation, il vient :
w ! a san a ~9
Pi = P, tg a + ^ (Q t + f) (tg a + tgP).
L'expression qui se trouve maintenant au premier membre serait exactement la force centrifuge d'une boule si Pj était remplacé par P, c'est-à-dire si l'on négligeait les masses des tiges : on peut donc dire que c'est la force centrifuge <£ ramenée à la boule. De même, P, est le poids de la boule, corrigé en tenant compte du poids des tiges. Enfin, on
peut dire que ^- (Q t -f- f) = Q 2 est la force qui sollicite le manchon, ramenée à la boule.
Portons horizontalement une longueur OA (fig. 5) qui représente, à une échelle convenue, la force centrifuge <£ ramenée à la boule. Puis, à partir de la même origine 0, portons verticalement les longueurs OB, BC, qui représentent, à la même échelle, les poids corrigés P, et Q 2 . Ceci fait, menons par le point B les droites BD, BE formant avec BO et BC les angles a, |3. Enfin, joignons au point A, extrémité du vecteur OA, le point E, intersection de BE avec l'horizontale de C. Il est aisé de voir que EA est parallèle à BD. Car si CH est la parallèle à BD menée par le point C, on a :
OD = P t tg %
DH
Q, tg a AH = * - P s tg a — Q, tg a = Q, tg 3
d'où
