F = A + BK

Plus généralement on peut égaler a> à une fonction arbitrairement choisie de z, et en déduire la fonction F correspondante. Si Ton change w en &<o, F prend la nouvelle valeur : F k = A + K' (F — A).

Quelle que soit la loi de variation adoptée pour F, on peut la réaliser au moyen d un contrepoids unique relié au manchon et assujetti à décrire une trajectoire convenablement déterminée. Mais, en pratique, il convient de rejeter toute solution trop compliquée et de préférer les solutions les plus simples, lors même qu'elles ne seraient pas mathématiquement rigoureuses. Admettons que le contrepoids Q soit un levier de longueur r, mobile autour du point fixe 0, et faisant un angle ■ avec la ligne OM qui va du point au manchon M (fig. 9). On trouve immé-

porlé par constant diatement

On doit donc avoir

F=Qrcos(6+ ? )^ A + Ba>* + Qr Cos (8 + 9) ^ =0.

Si w est une fonction donnée de z, il est généralement impossible d'annuler le premier membre pour toutes les positions du manchon. Mais voici comment la question peut être pratiquement résolue. Soient s, et z à les valeurs extrêmes de z. En appliquant les travaux bien connus de M. Tchébycheff, M. Léauté trouve qu'on aura l'approximation la plus satisfaisante si Ion fait en sorte que l'équation soit vérifiée pour les deux positions z' et z"

du manchon correspondant aux -j^r de sa course comptée à partir du milieu. Soient

Û (1 — s) et Q (1 -|- c) les valeurs prises par o> pour ces deux positions. On écrira :

A' + B* (î - «)• Q* + Qr cos (6 + f ') (^j = o

A" + B" (1 + .)»Û» + Qr cos (6 + ?") (^j = o

et de ces deux équations on tirera r et 8, ce qui fixe la position du contrepoids.

Admettons maintenant qu'on veuille faire varier la vitesse de régime Q, sans modifier lisochronisme. Le coefficient s doit demeurer sensiblement constant. En éliminant Q, on obtient une relation linéaire entre les quantités r cos (6 -|- 9') et r cos (8 -f- ç") quirepré-

sentent évidemment les distances du contrepoids à deux lignes droites passant par le point et invariablement liées à OM. Le lieu du contrepoids est donc une droite D.

On peut obtenir deux points de la droite D. D'abord, si Q est nul, les forces centrifuges disparaissent ; le point Q correspondant est la position que doit occuper le régulateur pour équilibrer, au repos, le régulateur dans les deux positions z' et z\ En second lieu, si Q est infini, les termes A', A" sont négligeables, et Ton a :

t B' \dz)

Cos (6 + ?"') ~ B* (dj\

\dz)

Cos (6 + y') B' \dsj

fey-

Cherchons actuellement le lieu du contrepoids quand e varie, Q demeurant constant. Si Ton désigne par X, Y les distances du contrepoids à deux droites issues du point Q ,

précédemment défini, et faisant avec OM les angles £ — ç' et ~ /on trouve aisément :

QX (£)' = - B' (i -.pu-"

QY (S)" = ~ B " <* + # Qt Le lieu s'obtient en éliminant e entre ces deux équations, ce qui conduit à la parabole :

E' et E ff désignant les constantes . , . , et —

En négligeant, vu sa petitesse, le carré e* en présence de e, on peut substituer S cette parabole la droite :

Ê' + Ë 7 '"" 2 Qî

dont la direction est indépendante de la vitesse de régime Q.

Finalement, M. Léauté est parvenu à la règle pratique que voici :

Pour obtenir d'un régulateur à force centrifuge quelconque donné le degré d'isochronisme qu'on veut et pour permettre de maintenir ce degré d'isochronisme quelle que soit la vitesse de régime, il suffit de relier à Taxe du levier OM, aboutissant au manchon, une tige OQ , calée en sur OM, et portant en Q une deuxième tige mobile autour d'une charnière parallèle à l'axe et munie d'un contrepoids que l'on peut déplacer le long de cette tige. Le contrepoids Q peut être quelconque; lorsqu'il est fixé, le point Q Q se détermine par deux pesées. En faisant varier le calage de la tige, on modifie le degré d'isochronisme; en transportant le contrepoids le long de cette tige, on change la vitesse de régime sans altérer le degré d'isochronisme.

Dans le cas particulier du régulateur isocèle, et en supposant le levier OM horizontal dans sa position moyenne, on trouve que Q est sur OM et qu'il suffit alors d'une seule expérience pour le déterminer : cette expérience consiste à chercher le point de Taxe où doit être placé le contrepoids Q pour équilibrer le régulateur au repos dans la position z.

Si le contrepoids n'a pas d'autres but que de changer à volonté la vitesse de régime,

il suffît de le placer sur un levier attaché au manchon et placé horizontalement quand le régulateur tourne k sa vitesse normale.

M. Laurent a indiqué en 1886, dans une communication faite à la Société de l'industrie minérale, deux dispositifs permettant de faire varier commodément et rapidement l'action du contrepoids. Voici la combinaison la plus simple (fig. 10).

Le contrepoids D est fixé à l'extrémité du levier C ; mais Taxe d'oscillation a peut être déplacé le long du levier A cet effet, il est porté par une pièce susceptible de glisser le long du support F, et formant écrou sur une tige filetée E, pourvue d'une manivelle de manœuvre. Une aiguille L fait connaître la vitesse de régime. Gomme l'un des bras du

Fig. 10.

levier C augmente en même temps que l'autre diminue, on arrive, avec un levier de dimensions restreintes, à obtenir de très grandes variations de vitesses.

L'inconvénient de tous les dispositifs de ce genre est que la puissance du régulateur varie avec la position du contrepoids. Sous ce rapport, il vaut mieux, pour faire varier la vitesse de régime, modifier la commande du régulateur de telle manière qu'à une même vitesse de l'appareil à boules, et par conséquent & une même ouverture de la valve d'admission de vapeur, corresponde une vitesse différente du moteur. C'est dans cet ordre d'idée qu est établie la transmission que MM. Wallis et Steevens, de Basingstoke, ont adoptée en 1880 pour le régulateur d'une machine de 8 chevaux servant à l'éclairage électrique. La fig, 11 montre en quoi consiste cette disposition. La courroie de commande I passe sur deux poulies coniques F H, le long desquels elle peut se déplacer perpendiculairement à sa direction. Ce mouvement est obtenu par l'action de deux fourches J attachées a deux écrous mobiles sur les vis Zr, que la manivelle fait tourner simultanément au moyen de deux engrenages coniques.

Dans la Revue universelle des mines, de 1850, on trouve la description d'un régulateur imaginé vers cette époque par William Edward Newton et présentant une disposition de contrepoids assez curieuse. L'appareil est du type Porter; un levier rectiligne, susceptible d'osciller autour d'un point fixe et horizontal dans sa position moyenne, est articulé au manchon, au delà duquel il se prolonge et porte à son extrémité libre un contrepoids susceptible de glisser sur la tige de ce levier. Le confrepoids est, en outre, maintenu, au moyen d'une petite tige, à distance constante d'un autre point fixe. Cette dernière liaison oblige le contrepoids à se rapprocher du manchon h mesure que celui-ci s'élève. Les choses se passent donc à peu près comme si le poids du manchon variait en

FlG. 11.

raison inverse de sa hauteur. Dès lors, en se reportant à l'équation d'équilibre

tfa cos a . . Q . , , g P + Q . A . , f .. P + Q,

= 1 -U — qui donne : <o 2 = - ^ — ! — — , on voit Que dans la fraction ■ — le

— , on voit que dans la fraction — -*— cos a A cos a

numérateur et le dénominateur varient dans le même sens, et l'on conçoit que l'on puisse ainsi se rapprocher de l'équilibre théorique.

Le régulateur Grossmann arrive au même résultat d'une façon moins compliquée. C'est un régulateur Porter additionné d'un contrepoids s'articulant au manchon par l'intermédiaire d'un levier coudé à angle droit (indiqué en pointillé sur la fig. 6).

Dans le régulateur Babcock et Wilson le contrepoids, au lieu d'être un simple accessoire, joue un rôle capital, car l'appareil est disposé de telle façon que le poids des boules n'intervienne pas dans l'équilibre du système, et la force centrifuge est neutralisée uniquement par l'action du contrepoids. Ainsi que le montre la figure 12, le manchon M (d'un poids insignifiant) est à la partie supérieure d'une tige T qui glisse librement à l'intérieur

d'un tube creux À, sur lequel sont articulés, en B et B', les bielles BC, B'C. Ces bielles forment .sensiblement avec les tiges MG M'C un parallélogramme articulé. En outre, les boules P sont £i une distance du manchon égale au double de MG. Dans ces conditions, les boules se meuvent sans quitter le plan horizontal des points d attache BB'.

Fig M.

Le contrepoids W agit sur la tige T par l'intermédiaire d'un levier coudé DEF, calculé de manière à assurer l'isochronisme approché.

Nous verrons plus tard que Foucault a jadis imaginé un régulateur disposé d'une manière analogue^ sauf que l'action du contrepoids est remplacée par celle d'un ressort tendant à rapprocher les boules l'une de l'autre.

Dans le régulateur Girard, le problème de Tisochronisme est théoriquement résolu d'une manière rigoureuse par l'emploi d'un contrepoids.

Considérons deux boules P, P' (fig. 13), montées sur une même tige qui peut osciller autour d'un point fixe et supposons qu'à la tige soit fixé un secteur S de rayon R et de centre 0, denté sur sa circonférence (la figure ne représente pas la denture). Le système P, P', S est équilibré au point de vue de la pesanteur. Le secteur engrène avec une crémaillère portée par l'une des branches B de la fourche F, mobile le long de l'axe du régulateur. Un système tout pareil, non représenté sur la figure, engrène avec l'autre

branche B'. Enfin, un secteur S', de rayon égal à ^, engrène avec une crémaillère portée

par la tige centrale de la fourche. Ce secteur porte un contrepoids Q. A l'état de repos, la tige qui relie Q au centre 0' du secteur S'est verticale, ainsi que la tige PP'. Dès lors, il est évident que si Ion fait tourner le système autour de l'axe avec une vitesse w, et si PP' prend une inclinaison a sur la verticale, O'Q prend une inclinaison 2a. Posons

OP = J, OP' = f , O'Q = Z" ; négligeons les masses autres que les boules et le contrepoids Q. Le théorème du travail virtuel nous donne :

2 ÏL (PP -f PT') sin a cos a = 2Q1" sin 2a

d'où :

»*=^PÏÏ

Ql»

PZ« + P'Z"

Régulateur de Bange (fig. 14),

Dans le régulateur de Bange interviennent deux guidages en forme de développantes de cercle. L'un d'eux, EF, conduit l'extrémité E d'une tige horizontale EG dont l'autre extrémité G est le sommet d'un losange articulé OGHK, portant les quatre boules B. Les poids de ces quatre boules s'équilibrent comme dans le régulateur Girard. L'autre guidage, MN, sert d'appui à un fil flexible dont l'extrémité libre porte un contrepoids Q. L'axe du régulateur est horizontal.

Soient R et r les rayons des circonférences, de centre C, qui servent de bases aux deux développantes; soit Zla longueur OB, supposée, pour plus de simplicité, égale au double de OK. Prenons comme position initiale fictive celle où les centres des boules seraient placés sur Taxe et où, par conséquent, l'angle BOG = serait nul. Dans cette position, la ligne CM qui aboutit au point de rebroussement de la développante MN fait avec la verticale un angle ? et le moment du contrepoids est Q^. Si les boules s'écartent d'un angle 8 la tige GE marche d'une longueur l (1 — cos 6), et, comme le point E reste toujours sur la développante EF, il en résulte, pour le système mobile

autour du point C, une rotation p- (1 — cos 6). Le moment du poids Q devient donc :

Qlr Q?oJ* — -p- (1 — cos 0). SoitT l'effort de traction éprouve à ce moment par la tige EG.

On a évidemment :

Fig. 14.

TR = Q fo r — ^ (1 — cos 6).

L'appareil est construit de telle façon qu'on ait la relation ç R = l ce qui réduit l'équation précédente à la forme très simple :

T = gfcos6.

D'autre part, soit P le poids d'une boule. L'équilibre aura lieu entre les forces centrifuges et la tension T de la tige si l'on vérifie la condition :

- t*H cos 6 = T.

ou :

Qsrr P R'

On voit que Y appareil est rigoureusement isochrone. En chargeant plus ou moins le fil, de manière à faire varier Q, on modifie à volonté la vitesse de régime.

Régulateur Andradc (Fig. 15)

Les tiges des deux pendules coniques OP, OP' sont reliées par un losange articulé ÀBCD dont le sommet A est fixé sur l'arbre vertical, tandis que les sommets C et D sont libres de glisser le long des tiges OP, OP'. En outre, les côtés du losange sont égaux à

Fig. 15.

OA. Le sommet B commande directement les mouvements du manchon.

Posons OP =5= a y OA = b et AOD = a. Si la tige OP tourne d'un angle tfa, la distance 03, qui est égale k A-f 2i cos 2a, éprouve la diminution ib sin 2ada.

D'après cela, si P désigne le poids, des boules, Q le poids du manchon et f la résistance variable opposée aux déplacements de ce dernier, on a, en négligeant la masse des

tiges :

— û>*a a sin a cos a — Pa sin a — 4 (Q -\- / ) sin a cos a = o

d'où :

Pa* a cos a

Dans la position d'équilibre théorique, f est nul et Ton peut écrire :

2 4QAgr/ Pa \

^ — Pa* \ ."T- 4QAcos a/

Le premier facteur du second membre est constant. On peut rendre aussi petites que Ton veut les variations du second facteur en réduisant convenablement le rapport ^7 :

l'appareil permet donc de réaliser le degré d'isochronisme dont on a besoin.

Le manchon M du régulateur Andrade est relié à la tringle L'K conduisant l'organe de réglage par l'intermédiaire d'un levier LL' pivotant autour du point fixe L, et sur lequel peut glisser une sphère pesante S. Il est clair qu'en faisant glisser la sphère S sur le levier, on modifie à volonté la vitesse de régime ; le levier étant toujours à peu près horizontal, Faction du contrepoids revient ici à faire varier, dans une proportion arbitraire, le poids Q du manchon.

Dans des essais faits en 1877 à l'arsenal de Cherbourg et prolongés pendant huit journées de huit heures, on a constaté qu'on pouvait faire varier le travail entre 40 et 100 chevaux sans que la vitesse moyenne par minute, fixée à 60 tours, éprouvât un écart supérieur à un tour. On peut reprocher au régulateur Andrade le grand nombre de ses articulations, et surtout la présence de glissières qui, si elles ne sont pas parfaitement entretenues, exposent à un frottement considérable.

Régulateur Rankine.

Ce régulateur ne diffère guère du précédent que par la présence de deux boules auxiliaires placées sur les prolongements des tiges OP, OP', au-delà du point 0, de manière à équilibrer les poids des boules P, P'. On détruit ainsi l'influence de la pesanteur sur les boules sans détruire l'effet des forces centrifuges et, si Ton appelle p le poids des nouvelles boules, c la distance de leurs centres ou point 0, l'équation d'équilibre théorique devient :

^ <o* sin a cos a — 4Q sin a cos a = o

avec la condition de construction : Pa — pc = 0,

Le facteur sin a cos a disparaît, et l'on voit que l'appareil est théoriquement isochrone.

Nous arrivons à une seconde série de régulateurs caractérisés par ce fait que chaque boule décrit un arc de cercle dont le centre est en dehors de l'axe de l'appareil.

d'où

§ % KÉGULATEl/R UE WATT AVEC SUSPENSION EN DEHORS DE l'aXE ET TYPES DERIVES

Régulateur de Watt (fig. 16).

Nous négligerons, pour simplifier, les masses des tiges qui sont toujours peu importantes et dont on peut d'ailleurs tenir compte en modifiant fictivement les masses des boules et du manchon.

Nous supposons que le point de suspension de la tige AB qui porte en A la boule de poids P soit en B, à une distance BE = l de Taxe. Nous supposons aussi que la tige CD s articule h la masse du manchon en un point D situé à la distance DF = d de Taxe. Nous conservons d'ailleurs les notations AB = a, BG = A, CD = c et nous appelons a, g les angles d'inclinaison des tiges AB, CD. En appelant Q le poids du manchon et f la résistance passive, le théorème des travaux virtuels fournit immédiatement l'équation d'équilibre.

— w* (/ -}~ a sin a) cos atfa — 2Pa sin arfa

— (Q + f) ip sin * rfa + c sin prfg)=o

Mais on a, entre a et g, la relation

l -|- b sin a = d -j- c sin g

h cos a d x = c cos grf(3

Fi«. 16.

et l'équation d'équilibre s'écrit alors :

ou bien

— {I -|- a sin a) cos a = sin a -|-

Q + /-bsin(« + g)

cos

£ u »(/ + . 8 ina)=Ptga + 5i^(tga + tg3)

On peut en déduire une construction tout à fait analogue à celle que nous avons indiquée en parlant du régulateur à suspension sur Taxe (fig. 5) :

Dans le cas particulier où l = d et A = c (régulateur isocèle), on a a = (3 et l'équation se réduit à :

La puissance est alors constante et égale h Q -f" T P»

— (f — j— a sin a) cos %•

On peut profiter de l'indétermination des constantes pour faire en sorte que a> prenne la même valeur théorique pour deux valeurs «j et a, de l'angle a, qui correspondront, par exemple, aux deux extrémités de la course du manchon ; on aura alors ce que M. Dwelshauvers-Dery appelle un régulateur quasi isochrone. Le diagramme présenterait une forme telle que AB (fig. 16 bis). Les variations de vitesse théorique seraient faibles; mais pour toute la partie AC, le régulateur agirait à contresens. Cette solution est donc à rejeter.

Fig. 16 bis.

Régulateur Farcot (fig. 17).

L'équation précédente montre que, dans l'état d'équilibre théorique, Ton a

l -\- a sin a

La dérivée de u>* par rapport à a est nulle pour les valeurs de a qui vérifient les rela- A tions :

l -j- a sin a — a sin a cos 2 a = o

d'où : l = — a sin 3 a

Cette valeur de l est négative, ce qui signifie simplement que les points d'attache sont de part et d'autre de Taxe de rotation. On obtient ainsi le régulateur à bras croisés de Farcot (1854). L'appareil est établi de manière à fonctionner, dans le régime normal, avec une inclinaison a voisine de celle pour laquelle on a la valeur absolue l =-. a sin 3 a. Comme une fonction dans le voisinage d'une valeur pour laquelle sa dérivée est nulle, n'éprouve que de faibles variations, l'appareil se rapproche beaucoup de l'isochronisine. Il faut toutefois noter que l'angle a, pour lequel la dérivée est nulle, doit être en dehors des inclinaisons extrêmes admises pour les tiges, ou tout au plus coïncider avec Tune de ces inclinaisons sans quoi le régulateur fonctionnerait à contre sens dans une partie de sa course.

Fig. 17.

Régulateur Richardson (fig. 18).

Cet appareil peut être regardé comme une combinaison des appareils Porter et Farcot. L'inventeur a eu en vue d'obtenir à la fois la grande puissance qui caractérise le régulateur de Porter et le quasi-isochronisme de celui de Farcot. Cependant, il faut noter que le régulateur Richardson n'est pas isocèle. Comme l'indique la figure 18, les tiges qui supportent le manchon sont verticales dans la position de repos.

Régulateur Kley (fig. 19).

Cet appareil diffère du précédent en ce que les tiges reliant les boules au manchon sont croisées de même que les tiges supérieures. Toutes ces tiges sont d'égale longueur, et leurs points d'attache sont à la même distance de l'axe; l'appareil est par conséquent isocèle et fournit une puissance constante. C'est un avantage que ne possède pas le régu-

lateur Richardson. Mais, en revanche, celui-ci présente, au moins au départ, une puissance plus grande, à poids égal. Car l'expression générale de la puissance, quand les boules sont

Fiu. 18.

placées aux articulations comme pour le régulateur Porter, est : Q -\- 2P

tg«

Or,

tga + tgg

dans le régulateur Kley, on a constamment a = ce qui donne une puissance égale à Q -f- P, tandis que, pour le régulateur Richardson, on a, au départ, (â = o, et que, par conséquent, la puissance atteint la valeur Q -|- 2P.

Régulateur ]Veis8(i\g. 20).

Los boules, dépourvues de tiges, sont directement attachées aune petite traverse AA'. Le manchon, de grande dimension, les entoure complètement et est en contact avec elles

Fie. 20.

Fig. 21.

par deux plans horizontaux situés l'un en dessus, l'autre en dessous. En somme, la section méridienne de l'appareil est assez semblable à celle d'un excentrique à cadre. Dès lors, il t*st aisé de voir que les poids P des boules se composent directement avec le poids Q du manchon et que la puissance est Q -|- 2P.

Régulateur Scharbau, de Berlin (fîg. 21).

Cet appareil, breveté en Allemagne en 1897, rappelle celui de Tchébycheff. Le levier coudé ABC, qui porte en A Tune des boules et qui oscille autour de H, s'articule en C avec une bielle CD dont l'autre extrémité est attachée à une traverse DD', susceptible de glisser sur Taxe en entraînant le manchon. Il y a, comme on le voit, deux éléments arbi-

b sin

traires de plus que dans le régulateur Tchébycheff puisque les points B et D se trouvent

en dehors de Taxe. Si Ton pose AB = a, BG = A, BCD = y, si Ton appelle m la distance de B à Taxe et si Ton désigne par a et g les inclinaisons respectives de AB et CD sur la verticale, l'équation d'équilibre est :

— (o'a (m 4- a sin a) cos a — Pa sin a = ft „

g v • ' 2 cos

Régulateur Béer (fig. 22).

Construit par M, Raven, ingénieur de la maison Béer, comme application de la théorie de MM. Dwelshauvers-Dery et Béer, ce régulateur est astatique et présente une forme ramassée qui le rend fort peu encombrant. Chacune des masses soumises à la force centrifuge est suspendue à un levier coudé qui soutient, par l'intermédiaire d'un galet, un manchon très pesant. Les axes d'oscillation des leviers sont à une distance assez faible de

Fie. 22.

Taxe du régulateur. Voici, à titre d'exemple, quelques données numériques relatives à l'un de ces appareils :

Poids d'une boule 30 kg. 7; Distance du centre d'une boule au point d'attache du levier m. 190.

Poids d'un galet 3 kilog. ; Distance du centre d'un galet an même point m. 142.

Poids d'un manchon 64 kg. 1 ; Distance du point d'attache du levier à l'axe m. 038.

Résistance du manchon 5 kg. o ; Course du manchon m. 038.

Plus petit nombre de tours d'équilibre 95.69 ; plus grand nombre de tours d'équilibre 105.76.

Lbcoh.nl. — Héfjulaleurs des machines à vapeur. 3