REGULATEURS A TRAJECTOIRES NON CIRCULAIRES
Une troisième classe de régulateurs à force centrifuge, sans emploi de ressorts, comprend les appareils dans lesquels les centres des boules décrivent des courbes autres
que des ores de cercle. »
Régulateur Proell.
Cet appareil, très employé en Angleterre et en Allemagne, a été inventé vers 1871; le brevet anglais date de 1881. La fig. 23 en donne l'élévation et la coupe. La fig. 24 représente son schéma. Ainsi que le montre cette dernière, la boule B est à la partie supérieure d'un levier coudé BCA dont l'extrémité inférieur^ s'articule en un point A du manchon. Du sommet C du coude part une tige A'C, pivotant autour du point fixe A'.
Dans ces conditions^ le centre instantané de rotation du système rigide BCA est évidemment au point v-i intersection de l'horizontale du point À avec le prolongement de A'C.
Four avoir l'équation d'équilibre, il suffît donc d'écrire que la somme des moments des forces par rapport à -y est nulle. Soient m } m' , r, *
Fig. 24.
Ie$ distances de A, A', B et y à Taxe, Soit y la distance de B à l'horizontale de A. Soient P et Q les poids d'une boule et du manchon. On trouve immédiatement :
Soient X, X' les points de rencontre de BA et By avec l'axe. Appelons /i, n' les distances de X et W 4i l'horizontale de B. On a les relations évidentes :
et l'équation d'équilibre prend par suite la forme très simple :
Si Ton désigne par a et a' les longueurs constantes CA, CA', par a, a' leur inclinaison sur la verticale, par l la longueur constante AB, par l'angle constant BAC, on a les relations :
r = m -j- l sin (a — g) y = / cos (a — 0) * = m 1 -\- (a f cos a' + a cos a) tg a ;
m -|- a sin a = m' -f- a' sin a'
et Ton est ainsi conduit à l'équation :
P ,, ... z\ i i o\ Tasina+a . . -1 . Qasina + a
— a>*(m+fsin a — p) l cos (a — 0) = P l j /sin a — g + ~
ff L cos a J ' 2 cos a
dans laquelle figurent seulement deux variables a et a', liées par la condition :
m -j- a sin a = m' -f- a' sin a'
On fait souvent m = m' et a = a', d'où a = a'. Le régulateur de Proell est alors isocèle et son équation d'équilibre se réduit à
- a)* (m -f- 1 sin a — 0) i cos (a — P) = P (2* sin a — / sin a — 0) -f- Qa sin a
La puissance est Q -f- P ( 2 : - j
Pour une valeur donnée de a, cette puissance est d'autant plus grande que a — g est plus petit. Son maximum est Q -j- 2P. Généralement on donne à une valeur assez
faible. Si est nul, la puissance se réduit àQ-|~Pf2 h et, comme l est supérieur à
a, elle est inférieure à Q -j- P. Or, nous avons vu que la puissance du régulateur de Porter est précisément Q —f- P. Il est donc difficile d'admettre ce qu'affirmait, en 1895, M. Kùhne dans une discussion soutenue devant Y Institution of civil engineers, c'est-à-dire qu'à égalité de taille le régulateur de Proell est environ deux fois plus puissant que le régulateur de Porter. D'ailleurs, M. Richardson déclarait au contraire, dans cette discussion, que le régulateur de Proell manque de puissance.
Si, continuant à supposer que le régulateur est isocèle, l'on égale à zéro la dérivée de (ù f par rapport à a, on trouve :
P sin 3 (a — g) = m l -\- a ( 2 + «p j (l sin a cos 2 a —g — m cos p)
On peut, d'une infinité de manières, faire en sorte que, dans la position moyenne, cette condition soit sensiblement remplie, de manière à se rapprocher de Tisochronisme. Nous rappelons toutefois que la dérivée première ne doit pas s'annuler rigoureusement dans les limites de variation de a, à moins qu'on n'annule en même temps la dérivée seconde, ce qui conduirait à une relation fort compliquée.
En ce qui concerne la promptitude d'action, nous avons vu qu'il y a intérêt à faire en sorte que le déplacement vertical des boules soit la moitié du déplacement correspondant du manchon. Cette condition est facile à remplir avec le régulateur de Proell : il suffit que, dans la position moyenne, la verticale de B passe au milieu de Av. Si le régulateur est isocèle, cela revient à dire que la ligne CB doit être verticale. C'est, en effet, ce qui a lieu sensiblement en pratique.
La trajectoire du centre d'une boule du régulateur isocèle est de nature bien simple. Prolongeons en effet AC (fig. 25) jusqu'à sa rencontre en D avec l'horizontale du point A'.
AD est une droite de longueur constante 2a dont les extrémités décrivent deux droites fixes rectangulaire» . Le point B, invariablement lié à cette droite, décrit donc, comme on le sait, une ellipse.
M. Dwelshauvers-Dery a étudié expérimentalement un modèle isocèle dans lequel on avait :
La course du manchon était égale à r^ '•
Dans ces conditions, le calcul numérique montre que, pour que la vitesse angulaire soit constamment croissante avec la hauteur du manchon, et par conséquent pour que le régulateur ne marche à contre-sens dans aucune partie de sa course, on doit avoir
^ > 1,08. Dans le modèle en question, on avait p = 2,4.
Le diagramme de la marche du régulateur de Proell ne présente, d'après , M. Dwelshauvers-Dery, aucune supériorité sur celui du régu-
£*. U lateur de Watt. L'idée qui paraît avoir conduit à la création de
i\ B / ce type consiste à faire en sorte que l'arc curviligne décrit par
\ y /' le centre dune boule s'écarte moins de l'horizontale qu'avec le
M/ régulateur de Watt. Si Ton pose par exemple dans la position
Âê\ moyenne, en supposant l'appareil isocèle 2a sin a = / sin (a — p)
/ \ l ft ligne By (fig. 25) devient verticale, et, comme l'ellipse décrite
\f \ par B est très aplatie, on peut la confondre sensiblement, dans
jk " ^V sa partie utile, avec sa tangente moyenne, qui est horizontale.
Mais on ne voit pas que cette disposition, destinée, comme le dit
M. Bichardson, à éliminer l'action de la pesanteur sur les boules,
présente un avantage quelconque. En tous cas, elle n'améliore pas les conditions d'iso-
chronisme et elle donne une puissance moindre que si l'expression 2a sin a — / sin (a — £)
avait une valeur positive.
On peut naturellement, en se rapprochant de l'isochronisme, faire en sorte qu'un petit accroissement de force centrifuge provoque un grand déplacement du manchon : c'est ce qui arrive pour tous les régulateurs quasi isochrones. Nous savons déjà que cet avantage est acheté au détriment de la stabilité. Aussi la coupe du régulateur Proell (fig. 23) montre-t-elle qu'on a ménagé à l'intérieur du manchon autour de l'axe, une cavité cylindrique, remplie d'air, et destinée à jouer, dans une certaine mesure, le rôle de cataracte. L'équation :
g n '^2P Vi^V/
que nous avons établie au sujet du régulateur de Proell s'applique sans modification à tous les appareils dans lesquels les boules sont directement attachées au manchon. La démonstration est la même : il suffît de prendre pour By (fig. 24) la normale à la trajectoire du centre de la boule.
Régulateur Steinlen.
C'est un régulateur Proell dans lequel on a rendu m' négatif, c'est-à-dire dans lequel les bras supérieurs sont croisés comme pour un régulateur Farcot.
Régulateur Bonjour à courbe de compensation (1882).
Deux tiges égales AB, BC (fi g. 26) sont articulées en B au centre de chaque boule B. L'extrémité G de la tige inférieure est attachée au manchon. L'extrémité A de la tige supérieure est guidée de manière à ne pouvoir prendre qu'un mouvement de glissement sur la verticale du point G. En outre, un profil curviligne SS', invariablement lié à la tige AB s'appuie sur un plateau fixe, horizontal. Soit m la distance de la verticale AC à l'axe de
rotation oo f . Posons AB = BC = / et GAB = AGB = a. Le centre instantané de rotation du système formé par AB et SS' est au point I, intersection de l'horizontale
Fio. 26
de A avec la verticale du point de contact T de SS' avec le plateau. Par conséquent, si p désigne la distance TH de T à AG, le glissement élémentaire de A.est pd*. Ceci posé, le théorème du travail virtuel donne l'équation d'équilibre :
— ù) s (m + l sin oi) l cos a = P (p + l sin a) + ô" (/> 4" 2/ sin a) g l
Si Ton veut que le système soit isochrone, et par conséquent que w soit constant, cette équation fait connaître p en fonction de a. Il s'agit de déterminer le profil SS' en conséquence. Or on peut considérer AT comme étant le rayon polaire p d'un point T du profil par rapport à l'origine A. Soit v l'angle de la tangente HT avec ce [rayon polaire. On a les relations :
d'où
Par suite
p cos V = p d (p sin V) = pdx
p cos VdV -(- sin Wdp = pdz = p cos Vda
dp
Mais, si 9 désigne l'angle polaire, tg V = £7- d'où :
dp
dô = dx — rfV ou bien 6 = a — V
Au moyen de ces équations on trouve, en éliminant p et V
2 de , , .. dp
Sin 2 (a - 6) du * ^ vy — c/a équation différentielle qui détermine 8 en fonction de a. On a ensuite p par l'équation p = — - i t, Le problème est donc théoriquement résolu.
Régulateurs paraboliques.
Si un point matériel pesant est assujetti à se mouvoir sans frottement sur une courbe dans un plan vertical, et si ce plan tourne d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical, on reconnaît immédiatement que le point sera en équilibre dans toutes les positions pourvu que la courbe soit une parabole symétrique par rapport à Taxe de rotation, tournant
sa concavité vers le haut, et ayant son paramètre égal à — 2 car l'équation d'équilibre est a cos et — 31 en appelant a la normale mesurée à partir de l'axe, et par conséquent la sous
normale a cos % doit être constante et égale h -^.
On obtient donc un régulateur doué de l'isochronisme théorique (à condition de négliger les masses du manchon et des tiges) si Ton assujettit le centre de chaque boule à parcourir une telle parabole. Le régulateur Franke qui a figuré à l'exposition de 1851 a été imaginé pour arriver à ce résultat. Chaque boule est supportée par une tige assez courte, terminée vers le haut par un galet et ce galet roule sur une courbe parallèle à la parabole que doit décrire le centre de la boule. Un système de tringles articulées transmet au manchon les mouvements des galets. En 1856, l'anglais Garnet construisit un régulateur analogue à celui de Franke ; les boules glissaient sur un guide parabolique. L'appareil fut essayé k Barlington sur une machine compound, et produisit des oscillations qu'on combattit tant bien que mal en ajoutant un frein à air.
Callon t dans son cours de machines, indique une autre combinaison analogue à celle du pendule cycloïdul ; chacune des tiges portant les boules serait méplate et flexible sur une certaine longueur de manière à pouvoir s'enrouler ou se dérouler sur Tune des blanches de la développée de la parabole. Ces branches étant matériellement réalisées, les centres des boules décriraient la parabole elle-même.
M, Farcot a eu l'idée de simplifier le système en remplaçant la parabole par un arc de cercle osculateur a cette courbe vers le milieu de l'arc utile, et c'est ainsi qu'il a été conduit à construire le régulateur à bras croisés précédemment décrit.
M, Guieysse a fuit connaître un autre moyen de réaliser le régulateur isochrone parabolique. Ce moyen est basé sur le fait que la surface engendrée par une droite tournant autour d*unc verticale qu'elle ne rencontre pas est un hyperboloïde de révolution coupé suivant une parabole par un plan passant par Taxe vertical. Un modèle à grandeur d'exécution est déposé dans le collection des machines de l'Ecole polytechnique. M. Guieysse, après avoir donné la description et la théorie de l'appareil dans le Journal de l'Ecole polytechnique (1884), conclut en disant : « ce régulateur est trop délicat pour pouvoir être
appliqué à des machines industrielles, mais il peut être d'un emploi sûr pour des machines délicates, entre autres pour celles qui sont employées dans les observatoires. »
Bégulateur Thiollier.
Dans cet appareil, on a calculé la forme du guidage en vue d'obtenir l'isochronisme en tenant compte de la force centrifuge des tiges ainsi que du poids des tiges et du manchon, éléments qui sont laissés de côté dans l'appareil Franke. Dans ces conditions, on est conduit à remplacer la parabole par une courbe du quatrième degré, dont l'équation est de la forme :
y = Xx* + B t/P — & + C / désignant la longueur de la tige supposée relier directement la boule au manchon et
Fie. 27.
Fie. 28.
A, B, C étant des constantes qui dépendent des masses en présence. L'aspect du régulateur est donné par la figure 27. Les boules sont remplacées par des galets, qui roulent sur des guides parallèles aux courbes théoriques que doivent décrire leurs centres.
L'appareil dont il s'agit a été appliqué dès 1857 pour conduire le vannage hydraulique d'une usine près de Saint-Didier (Haute-Loire). Il a été installé aussi pour un service semblable aux ateliers de la compagnie des fonderies et forges de l'Horme.
Régulateur Galloway.
Dans cet appareil (fig. 28) le guidage, au lieu d'être fixé invariablement sur Taxe, est entaillé au milieu d'un bloc pesant qui peut monter ou descendre le long de Taxe et qui commande les mouvements du manchon. Les boules sont remplacées par des galets cylindriques suspendus à une traverse qui est fixée sur Taxe. Ces galets soutiennent le bloc en s'appuyant sur le guidage parabolique. En s'écartant plus ou moins sous l'action de la force centrifuge, ils font varier la position du bloc.
Si Ton suppose d'abord que les tiges de suspension soient assez longues pour qu'on puisse considérer les galets comme mobiles sur une droite horizontale, la théorie de ce régulateur est bien simple. A l'état d'équilibre, la pression normale exercée contre un
galet par le guidage a pour composante verticale la moitié -~ du poids du bloc et du manchon et pour composante horizontale une force F qui doit être égale à la force centrifuge, du galet P. Soit P le poids de celui-ci, x la distance de son centre à Taxe. On a
F = — (*)*#. Si donc la normale au guidage forme avec l'horizontale un angle 0, Ton a
tg = t ;p ■ . Le centre du galet décrit une courbe parallèle à celle du guidage, et dont
la sous normale est a? tg c'est-à-dire ot ~ . Si donc Ton veut que l'appareil soit isochrone,
cette sous normale doit être constante, et le centre du galet doit décrire une parabole. Le guidage est par suite entaillé suivant une courbe parallèle à la parabole ayant pour
paramètre g^l-
C'est bien ainsi que se trouve construit le régulateur Galloway ; mais, en réalité, comme le galet décrit un cercle et non pas une droite, l'appareil n'est pas rigoureusement isochrone. Il est facile d'évaluer le degré d'isochronisme. Soit l la longueur de la tige de suspension. Quand la tige est inclinée d'un angle a sur la verticale, la tangente à trajectoire du centre de galet fait le même angle, a, avec l'horizontale. Dès lors, il est
aisé de voir qu'une rotation dix de la tige relève le bloc d'une hauteur égale à l — —. dx.
Par suite, le théorème du travail fournit immédiatement l'équation :
d'où
P ,, ^i • . Q . cos (a — 6)
— uplx cos a = ri sin a + rr l — - — -
g ' 2 sin 8
w - x y + 2Pj + 2P x tg e'
Cette équation ne suppose rien sur la forme du guidage. S'il est parabolique, et si p est le paramètre de la parabole, on a x tg =/>. Remarquons d'ailleurs que si le centre d'oscillation de la tige est à une distance a de l'axe on a : x = a -f- / sin a. On peut donc écrire
W 2P p^ a + Zsina\ 2P/
Telle est la relation existant entre <o et a. L'hypothèse faite tout d'abord revenait à poser
a = o, ce qui réduisait <d* à la valeur constante <r~ -• On retrouve encore cette valeur
pour g = o, c'est-à-dire dans la position verticale des tiges. A partir de cette position, u> va en croissant avec a, car la dérivée par rapport à a du rapport —
a -f- l sin *<x
est
cos *a (a -f- l sin a l'isochronisme en rendant
a + / sin a -, expression positive. On se rapprochera autant qu'on le voudra de
tg a
, . . — très petit par rapport à -. Il suffit pour cela de a -f- / sin a r r rr p r
donner au paramètre de la parabole une valeur assez faible, et de prendre, en outre, des
tiges assez longues pour que l'angle a ne dépasse pas un petit nombre de degrés.
La maison Galloway a adopté les règles pratiques que voici : le paramètre de la parabole
est égal à deux fois le diamètre du galet. Le distance à Taxe du centre de suspension de
la tige est égal au diamètre du galet. La course verticale du bloc est égale à une fois et
demie ce diamètre. L'excursion horizontale du galet est égal au diamètre, les tiges ont une
longueur triple du diamètre. En somme, les régulateurs de différentes tailles sont tous
semblables entre eux, le diamètre du galet fournissant en quelque sorte le module de
comparaison, et, comme le rapport p est le même quelle que soit la taille, la vitesse
normale du régime varie en raison inverse de la racine carrée des dimensions.
Régulateurs Rolland.
Rolland a résolu le problème de l'isochronisme en partant de Y équation d'équilibre du régulateur de Watt et en cherchant à rendre variables certains des coefficients constants qui figurent dans cette équation, de manière à obtenir pour w une valeur invariable. Le procédé consiste à disposer des masses auxiliaires sur des tringles convenablement articulées. Le savant auteur a été ainsi conduit à imaginer un certain nombre de types fort ingénieux, mais malheureusement un peu trop compliqués.
Considérons par exemple le dispositif figuré ci-contre (fig. 29). Deux losanges articulés ABCD, A'B'C'D ont un sommet commun C, qui est relié invariablement à Taxe de rotation PP'. Les côtés des deux losanges ont même longueur a. En outre, le côté A'C est calé à angle droit sur le côté AG, et de même pour les côtés B'C, BC. Les côtés AC, B'C portent deux boules E E', de même poids Q, placées à la même distance b du point G. Les sommets D, D' sont attachés à deux plateaux P et P', de même poids P, qui peuvent glisser librement le long de Taxe. L'un d'eux commande le déplacement du manchon.
Si Ton néglige la résistance du manchon et si l'on désigne par a l'angle CD A, le théorème du travail virtuel donne immédiatement l'équation d'équilibre :
(2Pa + Qb) sin a + (2Pa -f Qb) cos <x — a>* - ab (sin a + cos a) = o
Fig. 29.
d'où
t 2jr/P A\
On fait varier h volonté la vitesse de régime en modifiant P, c'est-à-dire en plaçant des poids égaux sur les deux plateaux mobilçs. Cette facilité d'agir sur la vitesse de régime constitue le principal avantage du système.
Nous avons supposé que les plateaux sont reliés par un seul couple de losanges. On
Fia. 30.
Fie. 31.
peut en mettre un nombre quelconque n. L'équation finale demeure la même, sauf que
P P est remplacé par — .
Les fig. 30 et 31 représentent d'autres dispositifs publiés également par Rolland, et qui jouissent de propriétés analogues.
§ 4. — RÉtilXATELïRS DANS i/ÉQl ILIBRE DESQUELS INTERVIENT LA FORME DES BOULES.
Les régulateurs rencontrés jusqu'à présent ont ceci de commun que les masses en mouvement (abstraction faite des tiges) sont sphériques et que, par conséquent, tout se passe comme si chacune d'elles était concentrée en son centre de gravité.
Dans les types que nous allons maintenant décrire, il devient nécessaire de tenir compte de la forme donnée à chaque masse.
Hegulateurs Buss.
M. Buss, de Berne, a imaginé un type de régulateur isochrone dont le principe est particulièrement intéressant. L'idée première remonte à Villarceau (Comptes rendus de 1 Académie des sciences, juin 1872).
Considérons d'abord une figure plane, de forme quelconque, ayant son centre de gravité en G (Kg, 32), et dont le plan tourne autour d'un axe vertical VV. Cette figure est
reliée à une tige AG qui peut tourner autour d'un point fixe A du plan. Si Ton désigne par
a la distance de A à Taxe de rotation, et para?, y, les coordonnées d'un point quelconque
de la figure, rapportées à deux axes, A#, Aï/, menés par le point A, la somme des
moments des forces centrifuges par rapport à A est évidemment : u>*2m (a -}- x) y. La
sommation, ou plutôt l'intégration, doit être étendue à
tous les éléments dx dy de la figure, en prenant pour
m la masse de chaque élément. On admet d'ailleurs que
m peut n'être pas proportionnel à dx dy, c'est-à-dire
que la densité de Taire plane peut varier d'un point à
un autre. Imposons-nous la condition que, dans toute
les positions de la figure, on ait Smxy = o. Si P est
le poids total de la figure et Y l'ordonnée de son centre
P de gravité, on a : 2my = — Y. Désignons par b la
longueur AG, par et l'angle GAy. Alors Y = b cos a.
Le moment des forces centrifuges se réduit donc h
<o* — ab cos a. Le moment de la pesanteur est d'autre
part : — P£ sin a.
Considérons maintenant une seconde tige AC, de p IG 3.3
longueur c, faisant avec AG un angle y et supportant
à son extrémité supérieure C la moitié ~- du poids du manchon. Le moment de cette force par rapport à A est — -^ c sin (a-|- (3). La condition d'équilibre est donc :
u>* — ab cos a = PA sin a -|" "9 c s ^ n ( a "h P) = ( P^ "h ô c cos P ) s * n a "I" 9 c s * n P cos a Si l'on établit les données de construction de manière à avoir Pb -f- -~ c cos P = o,
on voit que l'équation précédente se réduit à : w 1 — ab =^ c sin g, et par conséquent
l'appareil est rigoureusement isochrone (abstraction faite des résistances passives).
Tout se réduit donc à trouver, dans le plan de l'aire considérée, un point A pour lequel on ait 2mxy = o, quelle que soit la direction des axes rectangulaires passant par le point A. Or, ceci est toujours possible : il faut et il suffit qu'en A les moments principaux d'inertie soient égaux, et la théorie générale enseigne qu'il existe, dans le plan d'une figure quelconque, deux points, symétriquement placés par rapport au centre de gravité et jouissant tous les deux de cette propriété.
En réalité, il n'est pas nécessaire de donner la forme plane à la masse soumise à l'action de la force centrifuge : il suffit que cette masse admette un plan de symétrie. Car on peut, sans rien changer aux considérations qui précèdent, remplacer chaque couple d'éléments symétriques, de masse m, par une masse 2m, située dans le plan de symétrie au point où se projettent les deux éléments. Pratiquement, on satisfait à la condition Hmxy = o en associant deux masses distinctes, convenablement choisies.
M. Buss a créé successivement deux dispositifs pour réaliser la solution qui vient d'être indiquée. Le premier (1872) se trouve dans les conditions théoriques du problème. Il est représenté par la fig. 33.
Le second dispositif, spécialement connu sous le nom de régulateur cosinus (1877) se distingue du premier en ce que le point A n'est pas réellement fixe. Lié invariablement au manchon (fig. 34), il monte ou descend avec celui-ci, en demeurant à une distance
constante de Taxe 1 , et supporte directement la charge -^. En même temps, l'extrémité du
levier ÀB calé sur la tige ÀG du pendule porte un galet glissant sur un plateau fixe, horizontal, HIC C'est, comme on voit, une disposition analogue à celle du régulateur Bon-
Pour (jue l'équilibre ait lieu dans ces conditions, il faut que la somme des moments des forces soit nulle par rapport au centre instantané de rotation, I, situé à la rencontre de l'horizontale du point A avec la verticale du point B. Le moment de la force centrifuge
Fie. 3,1 .
Fio. 34.
par rapport à I est le même que par rapport à A. On peut donc encore le représenter par
tu* — ah cos *. Si l'angle BAG est égal à x — g, et si l'on pose AB = c, le moment de la
pesanteur par rapport à I est — P \h sin a + c sin (0 — a)]. Le moment de la charge -^
est — ^ c sin (3 — a)*
L'équation d équilibre devient donc :
oî* - ah cos a — P/> sin * ~|- ( P + ^ ) c s * n (P — *)
= PA / p + |\ c cos g sin a + (p + § c\ sin
La condition d'isoehronisme est alors :
cos a
c cos g
et si cette condition est remplie, Ton a :
c sin g
d'où, en tenant compte de la relation précédente :
La puissance est Q + 2P.
On voit que, par une simple variation de l'angle de calage g, on modifie à volonté la vitesse de régime, ainsi que le degré d'isochronisme. Pour faire varier commodément l'angle g, on a muni l'extrémité B du levier d'un petit arbre transversal, monté excentriquement, et c'est cet arbre qui porte le galet roulant sur le plan HH'.
Les fig. 35 donnent l'aspect et la coupe du régulateur cosinus.
Fie 35.
Régulateur Pichault.
Le régulateur Pichault (1881) rappelle un peu par ses dispositions le deuxième type de Buss ; cependant, malgré cette ressemblance, les données théoriques sont essentiellement différentes. Nous retrouvons, dans le régulateur Pichault, un levier coudé GCB (fig". 36) dont l'extrémité B s'appuie sur un plateau lixe, dont le sommet C est attaché au manchon, et dont l'extrémité G figure le centre de gravité de l'ensemble. Mais, tandis que les masses sont distribuées dans le régulateur Buss, de façon à avoir ^Lmxy = o pour le point C, la distribution est faite, dans le régulateur Pichault, en vue de remplir sensi-
blement cette condition par rapport au centre de gravité G. Dès lors, comme il est facile de le vérifier, les forces centrifuges ont une résultante unique, appliquée au centre de gravité et égale à la force centrifuge qu'on obtiendrait en concentrant toutes les masses en ce point.
Ceci posé, en raisonnant comme précédemment, et conservant les mêmes notations, on trouve que l'équation d'équilibre est, pour le cas de deux boules seulement :
cos 2
M* £ ( a | h sin x) b cos x = iPb — (P + 5\ c CO s g I sin a -f/p + ^\ c sin g
Dans le régulateur Piehault, on fait g = 90°. En outre, on emploie un nombre n de boules supérieur à 2, ce qui revient à remplacer ^ par — . Il vient ainsi :
v*y b (a + b sin a) = Pb tg a -f- (p + 9\ c
Fie. 36.
La puissance est
Q + „p(l+£tga)
L'appareil est établi de telle façon que, pour la vitesse moyenne de régime <i> , l'angle a soit nul, d'où :
et par suite
sin a
a -f- A sin a
En posant ( P -| ) - = XP, on peut écrire :
(i)* — Wo* tg a — X sin a
g a -j- b sin a
Dans le cas particulier où X est égal à l'unité, on constate immédiatement que, pour la position moyenne a = o, Ton a à la fois :
d , .v cP , ,.
W = Wo tfa ( ^ = ° d* ^ = °
Il en résulte que le diagramme présente alors un point d'inflexion à tangente verticale. Nous avons déjà, à propos du régulateur de Tchébycheff, insisté sur l'avantage que présente une semblable allure de la courbe d'équilibre : elle permet de se rapprocher beaucoup de l'isochronisme parfait sans annuler complètement la stabilité et surtout sans que le régulateur fonctionne à rebours dans une partie de sa course.
Si Ton veut un isochronisme moins complet, il suffit de donner à X une valeur légèrement différente de l'unité. Le diagramme présente encore un point d'inflexion, mais pour une vitesse un peu différente de la vitesse de régime. La tangente en ce point cesse d'être verticale, et, par conséquent, le diagramme se confond sensiblement avec une droite légèrement inclinée, ce qui donne une stabilité pratiquement constante à toute allure.
En faisant varier /> sans toucher aux autres éléments, on modifie uniquement la vitesse de régime.
Dans l'appareil Pichault, tel qu'il est réellement construit, les boules sont au nombre de quatre ou de six, afin d'augmenter la puissance sans augmenter l'encombrement. Chaque boule a une forme hémisphérique et est attachée de telle façon qu'on puisse facilement changer la distance b de son centre de gravité au point d'attache avec le manchon. Celui-ci porte à sa partie supérieure un cylindre plein d'air, dans lequel est placé un piston P, fixé à la tige du régulateur et disposé de façon à n'être pas tout à fait étanche. Ce cylindre joue le rôle de cataracte.
Régulateur Toile (fig. 37).
Cet appareil peut être considéré comme un régulateur Porter isocèle, dont le manchon envelopperait complètement les boules et dont les contretiges seraient à volonté attachées au centre des boules ou en un autre point de celles-ci. Si l'attache a lieu au centre, le fonctionnement est exactement le même que celui du régulateur Porter. Voyons ce qui arrive si Ton prend un point différent.
Soit (fig. 38) le centre de la boule et B le point d'attache de la contretige BM. Nous admettons que BM est égal à la tige AO, égale elle-même à AB. Soit l la longueur commune de ces trois lignes. Désignons par i l'angle fixe OAB et par a l'angle variable MAO. Le théorème du travail virtuel nous conduit à l'équation :
— a) 1 / sin « cos a = P sin a 4- Q sin (a + *)
La puissance est Q -J- P —. — - { — -j— ^ ; elle diminue à mesure que l'on fait augmenter i. Le régulateur sera isochrone dans le voisinage d'une valeur particulière de a si, pour cette
# P sin g -f- Q sin (g -|- i)
sin g cos g
valeur, la dérivée de l'expression pour numérateur :
P sin 8 g -f- Q (cos i sin 8 g — sin i cos 8 g)
Si Ton écrit que ce numérateur est nul, on est conduit à la relation :
♦„3 Q sin *
est nulle. Or, cette dérivée a
cos i
Si, après avoir choisi arbitrairement l'angle i, on fait tourner le régulateur à une
Fio. 37.
Fig. 38.
vitesse telle que, dans la position de régime, l'angle g soit voisin de celui que donne la formule précédente, l'appareil sera sensiblement isochrone. Inversement, on peut calculer i en fonction de l'angle a cl 1 on trouve :
Lg i = tg 3 a X
Q«4.pVQ* + t g«g(Q* — P») Q s — P*
Si, par exemple, on fait g = 30° et Q = 10 P, on trouve i = 8°, Une valeur assez faible de l'angle i suffit donc pour se rapprocher beaucoup de l'isochronisme.
§ 5. TYPKS DIVERS
Régulateur Mallinson et Gibbs (brevet anglais de 1896).
Dans cet appareil (fig. 39) les boules sont libres à peu près comme les billes de roulement employées en vélocipédie. Ces boules sont comprises entre deux cônes non parallèles, dont l'un est calé sur l'arbre du régulateur, tandis que l'autre peut glisser le long de cet arbre et commande les mouvements de la valve. Sous l'action de la force centrifuge les billes s'écartent plus ou moins de l'axe en soulevant le cône mobile.
Fig. 39.
Fig. 40.
Régulateur Colgnet.
Le système soumis k l'action de la force centrifuge est liquide. C'est un bain de mercure placé dans une cuvette en fonte et supportant un flotteur en fonte évidée. La cuvette (fig*. 40) tourne à la manière d'un régulateur ordinaire et, par l'intermédiaire de 12 palettes, entraîne le mercure dans son mouvement de rotation. La surface libre du mercure tend alors à se creuser en forme de paraboloïde. Il en résulte que la position du flotteur est fonction de la vitesse ; celui-ci porte une tige qui commande les mouvements de la valve. Cet appareil a été expérimenté à Lyon vers 1880 sur une machine à détente Meyer; on a obtenu, paraît-il, des vitesses très régulières même pour de grandes variations de force.
Lbcormj. — Régulateurs el machines k vapeur.
