CHAPITRE I

RÉGULATEURS D'iNERTIE

Les régulateurs que nous avons passés jusqu'ici en revue sont basés sur ce qu'on peut appeler le principe de Watt, consistant à équilibrer certaines forces données (pesanteur, tension de ressorts) par la force centrifuge développée dans un mouvement de rotation.

On sait que la force centrifuge est une force apparente, autrement dit une force fictivement' introduite pour tenir compte de l'entraînement du système. Une seconde force apparente est la force centrifuge composée de Coriolis dont l'action est toujours perpendiculaire à la wi|~ ~ ^^ï^^B^fc^T^^ vitesse relative et s'annule avec celle-ci. Quand l'entraînement se fait avec une vitesse angulaire variable, une troisième force apparente entre en jeu : c'est la force d'inertie tangentielle dirigée perpendiculairement au rayon. Avec le régulateur de Watt, ni la force centrifuge composée, ni la force d'inertie tangentielle ne sont utilisées pour le résultat à obtenir. Ces deux forces sont en effet normales au plan des tiges et n'ont d'autre effet que d'exercer sur l'arbre un couple de torsion.

En 1845, Werner et Wilhelm Siemens ont remarqué que la force d'inertie tangentielle peut fournir le principe d'un mode différent de régularisation que M, Stodola, dans une étude publiée en 1899 par le Journal de V Union des ingénieurs allemands, appelle le Principe de Siemens. Voici le dispositif qu'ils ont proposé : L'arbre A (fig, 139) tourne avec une vitesse proportionnelle à celle de l'arbre moteur. Un train différentiel, formé des roues coniques B, G, D, le relie à l'arbre K, placé en prolongement de A et muni du volant J. La roue intermédiaire C est montée sur un arbre transversal E qui peut tourner par rapport à l'arbre A et qui est fixé à un moyeu portant le secteur denté F, engrenant avec une roue G. Celle-ci, par l'intermédiaire d'un arbre H, commande lad mission de vapeur. La résistance que ce mécanisme oppose au déplacement de l'arbre E est supposée supérieure à la force d'entraînement qu'exercent sur cet arbre, à l'état de régime, les roues B et D agissant sur la roue C. Dès lors, E demeure immobile, et il en résulte que l'arbre K tourne avec une vitesse égale et contraire à celle de l'arbre A. Quand le régime vient à être troublé par suite d'une variation du travail moteur ou du travail résistant, l'arbre A éprouve une accélération qui tend à se transmettre à K. Mais alors intervient l'inertie tangentielle du volant. Si cette inertie est suffisante, la

Fiu. {30.

Régulateur M e/vi er-Siem ens .

résistance du mécanisme commandé par H se trouve vaincue ; l'arbre E se met en mouvement et déplace le secteur denté; celui-ci, à son tour, fait tourner la roue G, et l'admission se trouve modifiée dans le sens convenable.

Il importe de bien voir à quel point ce principe diffère de celui de Watt. A la suite d'une perturbation de régime, la force centrifuge varie d'une façon continue et avec d'autant plus de lenteur que la masse du volant est plus grande. Il faut donc un temps plus ou moins long, mais toujours très notable, pour que la variation de cette force devienne capable de vaincre la résistance du mécanisme. Mais, quelle que soit la masse du volant) quelle que soit la résistance à vaincre, on est assuré que les écarts de vitesse ne pourront dépasser des limites parfaitement déterminées sans mettre en mouvement le manchon du régulateur, et, par conséquent, sans corriger l'admission. Avec le principe de Siemens, toute variation de régime développe instantanément l'effort de régularisation, avec son maximum d'intensité. Nous pouvons aisément évaluer cette intensité. Soit A le moment d'inertie du volant principal de la machine (calculé en tenant compte de toutes les masses en mouvement, ramenées au volant). Soit a le moment d'inertie du volant J. Si l'axe transversal E est maintenu immobile et si Ton néglige la résistance propre de la roue intermédiaire C, celle-ci exerce une pression égale sur les roues B et D. Appelons m le moment de cette pression par rapport à chacun des arbres A et J. Appelons, d'autre part, M le moment qui tend à accélérer la vitesse de l'arbre A et y l'accélération angulairedue à M. L'arbre E étant supposé immobile, l'arbre K possède la même accélération y. On a donc les deux relations :

Ay = M — m flY = m,

d'où :

T= r+ï et m =xT-* M -

Le moment qui tend à dévier l'axe transversal E est évidemment 2m ; sa valeur est proportionnelle à celle du moment perturbateur M. Il semblerait donc permis d'espérer que chaque perturbation de régime va se trouver immédiatement corrigée, sans laisser à la vitesse le temps d'éprouver une variation appréciable. Malheureusement, il faut tenir compte des résistances passives. Soit R la résistance du mécanisme de régularisation. L'appareil ne fonctionne que pour les valeurs de 2m supérieures à R, et, par conséquent,

pour les valeurs de M supérieures à } — ^ — l — # Toute perturbation qui ne remplit pas

cette condition laisse le régulateur insensible. On peut dire encore que rien ne vient

contrarier la variation de vitesse tant que l'accélération y ne dépasse pas 5-. Le principe

de Siemens ne limite donc aucunement la grandeur des écarts de vitesse ; il ne limite que la rapidité de ces écarts. On en conclut que le principe de Siemens ne suffit pas à lui seul pour donner une bonne régularisation. La vraie solution consiste à le combiner, dans une juste mesure, avec le principe de Watt.

L'idée de faire concourir l'inertie tangentielle avec la force centrifuge pour obtenir une action plus prompte a été jadis appliquée en France par Foucault, dans un appareil que M. Worm» de Romilly a décrit et étudié (Annales des Mines, 1872). Les tiges portant les boules G, G' sont suspendues à un volant horizontal F (fig. 140) et le manchon B forme écrou sur un pas de vis H H' porté par la tige de réglage de la valve. Cette tige est creuse et concentrique à Taxe DD' du régulateur le long duquel elle peut glisser sans tourner

relativement à lui. Quand l'inertie tangentielle du volant F est mise en jeu, le plan des tiges prend, par rapport à Taxe DD', une déviation qui fait monter ou descendre la tige de réglage à l'intérieur du manchon. M. Worms de Romilly constate que Foucault avait

été fort gêné par la périodicité des oscillations de vitesse dues à ce régulateur, et qu'il avait surmonté cette difficulté en donnant une forme spéciale à la valve d'admission, mais que la mort l'empêcha de mettre son œuvre complètement au point.

En 1871, Ratfard prit un brevet pour un régulateur à double action, centrifuge et tangentielle, dont un modèle est déposé au Conservatoire des Arts et Métiers. L'idée de l'inventeur consiste à rendre les boules mobiles dans un plan perpendiculaire à Taxe de rotation et à guider le mouvement de chaque boule dans ce plan en l'attachant à un bras articulé autour d'une charnière placée à une certaine distance de l'axe. Suivant que la ligne allant de la charnière au centre de la boule se trouve, dans sa position moyenne, perpendiculaire au rayon joignant l'axe au centre de la boule ou confondue avec ce rayon, la boule est influencée presque uniquement par la force centrifuge ou par la force d'inertie tangentielle. En adoptant une position intermédiaire entre ces deux-là, on peut, en quelque sorte, doser à volonté la part des deux forces, lia fig. 1*41 montre une pei spact'.ve du régulateur Rafla rd. Les boules m, m' sont portées

Fig. HO. — Régulateur Foucault.

Fig. 141. — Régulateur lia/fard.

par les bras coudés g, g' mobiles autour des charnières o, o'. Les bras sont conjugués par les bielles h, h' qui assurent leur parallélisme et éliminent en même temps l'action de la pesanteur. Un levier coudé j f relié au bras g par une articulation sphérique, transmet le mouvement des boules à la tige /r, placée à l'intérieur de l'arbre du régulateur, et

celle-ci, au moyen d'un levier /, fait tourner la tige t qui commande ta valve de réglage. La tige k est formée de deux pièces bout à bout, dont une seule participe à la rotation du régulateur. La tension d'un ressort r, réglable par le boulon a, détermine la vitesse de régime. Ce ressort tire sur le levier l par l'intermédiaire d'une chaînette appliquée sur la came n. Une vis * permet de changer la position de la came, en vue de modifier, en cas de besoin, le degré de stabilité du régulateur.

Proposons-nous de déterminer par le calcul les actions comparées de la force centrifuge et de la force d'inertie tangentielle dans un régulateur disposé comme celui de Haffard. A cet effet, imaginons d'abord qu'il s'agisse d'un disque plat, de contour d'ailleurs quelconque, susceptible de pivoter autour d'un point C de son plan (fîg. 142). Joignons le point C à un autre point du plan. Appelons a la longueur OC et supposons que OC soit assujetti à tourner autour de avec une vitesse angulaire w. Les mouvements du disque autour de C peuvent être étudiés comme si OC était fixe, à condition de joindre aux forces réellement appliquées en chaque point M trois forces apparentes qui sont : la force centrifuge, la force d'inertie tangentielle et la force centrifuge composée. Cette dernière, par définition, est toujours perpendiculaire à la vitesse relative. Comme ici le mouvement relatif est une rotation autour de C, la force centrifuge composée est dirigée suivant OC. Son moment par rapport à C est donc nul, et il n'y aurait lieu d'en tenir compte que si l'on voulait évaluer la réaction du pivot C. La force centrifuge proprement dite est dirigée suivant le prolongement de OM. Sa valeur est mw*p, en désignant par m l'élément de masse existant au point M et par p la distance om. Son moment par rapport à C est mo>*p X a sin 0, expression dans laquelle 6 représente l'angle MOC. Reste la force d'inertie

tangentielle, perpendiculaire à OM et égale à mp -r-. Le moment de cette force par

rapport à C est mp -j- (p — a cos 8). Posons maintenant MC = r, et soit ? l'angle de CM

avec le prolongement de OC. Nous avons : p sin 6 = r sin ç et p cos 6 = a -(- r cos <p. D'après cela, la somme des moments des forces apparentes appliquées en M est, par

rapport à C : mupar sin © -|- m -7- (r* -(- ar cos <p), et, pour l'ensemble du disque, il vient,

en appelant L le moment résultant :

L = auPZmr sin © -{- -7- finir 1 -\- aSmr cos ©).

Soit M la masse totale, soient R et $ les coordonnées polaires du centre de gravité du disque par rapport à C (l'axe polaire étant OC) ; soit K le rayon de gyration. On a :

i'mr sin © = MR sin <I>

Zmr* = MK*

Donc

rfu>

L = Mw'aR sin <f> + M -^ (K 2 -f aR cos *)

Tel est le moment qui, pour une position donnée du disque, tend à faire pivoter celui-ci autour de G.

Le premier terme du second membre représente le moment dû à la force centrifuge ; le second terme donne le moment dû à la force d'inertie tangentielle. A l'état de régime

-7- est nul. Si Ton désigne par (i> la vitesse moyenne de régime et par <î> la valeur correspondante de <£, le moment se réduit à Mo> 2 aR sin <I> ; il doit être équilibré par l'action d'un ressort approprié. Quand sin <ï> est nul, l'appareil fonctionne presque exclusivement sous l'action de la force tangentielle. Quand au contraire c'est l'expression K* + aRcos 4> qui est nulle ou négligeable, la force centrifuge agit à peu près seule.

Au lieu d'un disque plat, on peut avoir un corps de forme quelconque ; le même calcul demeure applicable pourvu qu'il y ait symétrie par rapport à un plan perpendiculaire à Taxe de rotation. Dans le cas particulier d'un corps dont le centre de gravité coïncide

avec le centre G de pivotement, on a R = o et le moment L se réduit à MK* — : il est

indépendant de la force centrifuge et de la distance du centre C à l'axe du volant.

Au lieu d'une seule masse, il peut y en avoir deux, mobiles autour de deux pivots distincts, et réunies par des bielles de manière à former un système à liaisons complètes. Si l'axe de rotation n'est pas vertical, il est utile, pour éliminer l'action de la pesanteur, que le centre de gravité de l'ensemble ne puisse s'écarter de cet axe. Cependant, quand la rotation est très rapide, l'action de la pesanteur devient négligeable en présence de celle de la force centrifuge. Pour faire la théorie d'un pareil système, on calcule d'abord les moments résultants des forces apparentes par rapport à chacun des deux pivots, en supposant les deux masses séparées Tune de l'autre, puis, par le théorème des travaux virtuels, on détermine sans peine le moment supplémentaire qu'il faudrait appliquer à Tune des masses pour remplacer l'effort que l'autre masse lui transmet par l'intermédiaire des liaisons.

Les régulateurs d'inertie sont employés parfois pour limiter les accélérations brusques de certains moteurs qui ont à vaincre des résistances très rapidement variables. Cette idée, qui paraît remonter à Poncelet, se trouve réalisée notamment dans le régulateur de Miller et Knills mentionné par Ledieu (Nouvelles machines marines). Le volant assez puissant et animé dune rotation rapide, est rattaché par un ressort en hélice à une poulie montée sur le même arbre, et destinée à recevoir, par l' intermédiaire d'une courroie, l'action de la machine. Quand le mouvement s'accélère, l'inertie du volant intervient ; les positions respectives du volant et de la poulie se trouvent modifiées ; ce déplacement angulaire relatif est transformé au moyen d'une vis en déplacement longitudinal d'un manchon que des leviers convenables relient à l'organe d'admission. L'élasticité de la courroie empêche le volant d'intervenir brutalement ; il est même prudent de permettre à la courroie un léger glissement sur la poulie. Quand l'état de régime se trouve rétabli, l'inertie du volant cesse de se manifester, et la tension du ressort le ramène nécessairement à sa position primitive. Un semblable régulateur ne dispense aucunement de l'emploi du régulateur à force centrifuge, puisqu'il est incapable de modifier d'une façon permanente le travail moteur.

Nous n'insisterons pas davantage, pour l'instant, sur les régulateurs d'inertie. L'étude des régulateurs dans le volant montrera bientôt d'autres applications de l'inertie tangentielle, et nous donnera en outre l'occasion d'établir que le soi-disant principe de Siemens était connu bien avant 1845. Rappelons, en terminant, que le régulateur Replogle, précédemment décrit (fig. 103) nous a déjà fourni un exemple de la mise en jeu de l'inertie tangentielle.

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