B^=F-Q = F.-Q+K Y = K T -BR

d'où, en remplaçant y par sa valeur, intégrant deux fois, et remarquant que g et -jjj sont nuls a l'instant initial :

/K \ <• KR..

= [^ — B j R 2 — §T ( 4 — cos s/ )-

Mais K — BS 4 = ^(/t — K).

Par conséquent :

Cette formule montre que la valeur de 3 renferme généralement un terme variant comme le carré du temps, et que, par conséquent, le mouvement troublé ne peut être stable : il n'y a d'exception que si les deux coefficients h et K sont rigoureusement égaux.

Le calcul précédent a été fait en supposant que la puissance dépende uniquement de y et ne varie pas à la vitesse. Nous savons qu'il n'en est pas ainsi en réalité, et l'on conçoit que cette circonstance puisse, dans une certaine mesure, remédier à l'instabilité du moteur. Dans tous les cas, on voit que l'appareil, pour fonctionner convenablement, exige l'égalité, aussi complète que possible, des coefficients h et K. Si l'on pose h = K, la

valeur de S* se réduit à -=5 ; il faut donc, pour la stabilité, que h et K soient positifs.

Un appareil décrit en 1885 dans The Engineer, sous la signature : Anchor, se rattache au système de Poncelet. L'arbre moteur est divisé en deux parties. L'une d'elles,

Fie. 144. — Régulateur Anchor.

A, présente une succession de brisures hélicoïdales B (fig. 144). Sur l'autre partie est monté un manchon D, susceptible de glisser, mais non de tourner, par rapport à elle, et terminé par des brisures qui s'emboîtent dans celles de A. Un ressort en hélice, placé dans le manchon, appuie celui-ci contre A. Les efforts de torsion transmis d'une partie de l'arbre à l'autre, ont pour effet de faire plus ou moins grimper les brisures du manchon sur celles de A, et le mouvement de glissement imposé par suite au manchon est utilisé

pour actionner la valve d'admission. L'inventeur propose l'application de cet appareil aux hélices de navires, mais il reconnaît que l'essai n'en a pas été fait.

Le régulateur Fraysinier et Tourtay (1886), étudié en vue des installations électriques, rentre dans le même type. La courroie de commande P (fig. 145) passe sur une poulie solidaire du manchon M qui, pour entraîner l'arbre A, est obligé de refouler à droite et à gauche, par des rampes hélicoïdales H, deux manchons pressés en sens

M rt

ri h

Fig. 145. ~ Régulateur Fraysinier et Tourtay.

contraire par des ressorts M". Ces mouvements de refoulement servent à manœuvrer l'organe de réglage au moyen des leviers L. La symétrie de l'appareil a évidemment l'avantage d'éviter tout effort latéral sur les paliers de l'arbre A.

En 1897, un mécanicien de la flotte, M. Bayle, a repris encore la même idée, en vue

Fig. 146. — Régulateur Bay le.

principalement de régler les moteurs des dynamos pour l'éclairage des navires de guerre. Deux ressorts puissants, formés de rondelles Belleville, réunissent le volant V (fig. 146) à un disque V terminant l'axe de la dynamo. Le changement de position relative de ces deux pièces, sous l'influence d'une variation de résistance, met en mouvement un train épicycloïdal T. Le pignon 2 roule alors sur la couronne T' et déplace ainsi le pignon 3 qui

engrène avec la denture extérieure de l'écrou M vissé sur l'arbre. M prend, par suite, un mouvement de translation qui se transmet au collier C. Celui-ci, au moyen de la fourche d, de la tige f et du levier g, agit sur une coulisse de réglage (non figurée). Le coulisseau porte un index dont le déplacement, devant une graduation de la coulisse, indique a chaque instant la puissance développée.

Poncelet a fait remarquer qu'on pouvait adapter son dispositif à un axe indépendant de la machine, mais qui en recevrait directement le mouvement de rotation, comme cela a lieu dans le régulateur à force centrifuge, et qui porterait un volant à ailettes, dont la résistance, croissant rapidement avec la vitesse, produirait la torsion relative des deux parties de l'arbre. Sous cette dernière forme, qui ne prête pas aux mêmes objections théoriques, Tidée de Poncelet a reçu une réalisation complète dans le régulateur t!e Du rhum pour machines à vapeur destinées à l'éclairage électrique.

Régulateur Durham.

D'après la description donnée en 1882 dans The Engineer, le régulateur Durham comporte un arbre horizontal divisé en deux parties : Tune d'elles reçoit son mouvement

Fie 147. — Régulateur Durham.

de rotation de la machine ; l'autre porte des ailettes mobiles dans un tambour plein d eau A (fig. 147). L'accouplement des deux parties se fait au moyen d'un manchon B, fixé sur la première partie, et disposé de manière à faire écrou sur un pas de vis F porté par la seconde partie. Un ressort spiral est logé dans le manchon, et sert d'intermédiaire pour transmettre l'action motrice de la première partie à la seconde. Dès que la vitesse tend à s'accélérer, le ressort spiral se bande davantage, le manchon tourne par rapport à la vis, el prend un déplacement dans le sens de l'axe. Des nervures portées extérieurement par le manchon, perpendiculairement aux génératrices, mettent alors en jeu une roue d'engrenage R et, par suite, une transmission DK qui manœuvre le tiroir de distribution d'un

cylindre C. Celui-ci joue le rôle d'un servo-moteur : la tige I de son piston est en relation avec la valve d'admission de vapeur.

On conçoit qu'un système ainsi établi présente un très haut degré de sensibilité et de rapidité d'action. Cependant, il n'échappe pas à l'inconvénient de ne donner une vitesse de régime constante qu autant que la pression demeure invariable dans la chaudière. Désignons en effet par F le moment de torsion dû à la tension du ressort spiral. A l'état de régime, ce moment est égal au moment résistant des ailettes, lequel peut être représenté par une fonction f (V) de la vitesse. Le moment moteur moyen, égal lui-même à F, dépend à la fois de la pression H de la vapeur, de l'ouverture de la valve, qui est déterminé en fonction de F, et aussi, dans une certaine mesure, de la vitesse V. Nous le représentons par <p (H, V, F). On a donc les deux équations :

F = /(V) = 9 (H,V,F), d'où, en éliminant F :

Il y a ainsi une relation déterminée entre la pression H et la vitesse V. En réalité, la vitesse n'éprouve que des oscillations très faibles, parce que, d'une part, la fonction f (V) varie très rapidement pour de petites variations de V, et parce que, d'autre part, la pression H peut être maintenue pratiquement constante. Néanmoins, il est bon d'avoir un moyen de rétablir l'allure normale en cas de changement de pression ; on y parvient en modifiant à la main la liaison entre le manchon et le tiroir du cylindre C.