CHAPITRE III

RÉGULATEURS CHRONOMÉTRIQUES

Un procédé de régularisation qui, à première vue, semble devoir donner des résultats très précis, consiste à synchroniser la marche du moteur avec celle d'un appareil auxiliaire doué d'un mouvement indépendant et uniforme. Cet appareil auxiliaire sera, par exemple, un petit cheval, de vitesse fixe, faisant tourner un écrou qui peut se visser dans un sens ou dans l'autre sur un arbre mis en rotation par le grand moteur. Les mouvements de translation de l'écrou'sont utilisés pour la manœuvre de la valve, et celle-ci ne peut rester en repos que si la vitesse angulaire de l'arbre est rigoureusement égale à celle de l'écrou. Au lieu d'un petit cheval, on peut, comme l'ont proposé MM. Collin et fils, horlogers, employer une simple horloge. Dans le dispositif qu'ils avaient exposé à Paris en 1878, l'arbre de la machine était mis en relation, au moyen d'un train épicyeloïdal, avec l'aiguille d'une pendule : tant que la marche de la machine ne coïncidait pas avec celle de l'aiguille, un levier dépendant du train épicyeloïdal produisait par son déplacement la manœuvre de la valve ou de la détente variable. Dans un modérateur Siemens appelé chronométric gouernor, datant de 1851 et visible au Conservatoire des Arts et Métiers, la synchronisation est établie par rapport à un pendule conique, dont le mouvement est entretenu par le moteur lui-même, et qui réagit sur l'admission par l'intermédiaire d'un engrenage différentiel. La même idée a été reprise, il y a quelques années, dans la construction du modérateur chronomêtrique Deniau,

Les appareils de ce genre ne se sont pas répandus en pratique, et la raison de cet insuccès me paraît résider surtout dans les oscillations auxquelles ils donnent lieu. Cher-

chons, en effet, la loi du. mouvement d'un moteur ainsi gouverné. Soit w la vitesse, proportionnelle à celle du volant, qu'on veut synchroniser avec la vitesse constante 6>i. L'appareil différentiel commandant l'organe d'admission tourne avec une vitesse proportionnelle à o) — w t . H est évident, dans ces conditions, que le régime ne peut s'établir que si ci> et ci), sont égaux. Mais vienne une perturbation représentée par une diminution constante c du moment résistant. La vitesse du moteur va s'accroître; le .déplacement de la valve va produire une réduction de moment moteur qui, pour chaque élément de temps dt, peut être approximativement représentée par K (w — iù)dl, en appelant K un facteur constant. Si donc rua est la vitesse du volant, et si A désigne le moment d'inertie ramené au volant, on a l'équation :

An -77 = c — K / (O) — Wi)

dt

d'où : .A/i -^j + K (o) — ci>i) = 0.

L'intégration introduit nécessairement des fonctions périodiques du temps : la tendance au mouvement oscillatoire est rendue par là manifeste.

Dans deux notes communiquées en 1896 à l'Académie des Sciences, et insérées aux Comptes rendus, j'ai fait connaître un dispositif qui ne me paraît pas devoir présenter les mêmes inconvénients. Je me suis proposé de faire en sorte que l'intégration introduise, au lieu de fonctions trigonométriques (sinus et cosinus), des exponentielles de la forme e— «*, a désignant une constante réelle et positive. On peut y parvenir de différentes façons. Considérons par exemple deux axes situés dans un même plan vertical, et faisant entre eux un petit angle i. Ces axes tournent en sens contraire avec les vitesses o> eta> t . Le premier, horizontal, AB (fig. 148), porte une vis VV sur laquelle peut se mouvoir un écrou pratiqué au centre d'un disque Fig. 148.

mince D', perpendiculaire à AB. Ce disque touche la génératrice supé- Régulateur chronorieure horizontale TT' d'un tambour tronconique ayant pour axe CD. m rK * ue '

Le rayon p du disque D' est égal au rayon moyen du tambour et, à l'état de régime, le contact a lieu sur le parallèle moyen PP'. On admet qu'il n'y ait pas de glissements, résultat qu'on obtiendrait en striant au besoin les deux surfaces. Dès lors, le disque, entraîné par le tronc de cône, tourne avec la vitesse u) l7 et si o> est égal à &>,, la vis et l'écrou, animés de la même vitesse angulaire, ne prennent aucun déplacement relatif. Faisons maintenant varier u> d'une manière continue. Le disque va se mettre en mouvement, parallèlement à AB. Au bout du temps t, le point de contact avec le tambour sera venu en Q, à une distance x du point initial P. Nous compterons cette distance positivement dans le sens des rayons croissants du tambour. Au point Q, le rayon du tambour est

p -f-xsin i. La vitesse angulaire du disque est : ( É-HI J Wl . La vitesse relative de la

oc sin i vis par rapport à l'écrou est : w — w, . ci> t . Si donc on appelle h le pas de la vis, et

si le filetage est fait dans un sens convenable, on a :

, |N dx . / srsinî \ (1) =*(«„, —^J.

Il est évident que a?, nul à l'instant initial, devient, au moins au début du mouvement, positif si, comme nous le supposons^ o> est supérieur à a> la

Concevons maintenant que le volant de la machine soit relié cinématiquement à l'arbre AB et tourne avec une vitesse Q = na>, n désignant un nombre constant. Soit A son moment d'inertie. A l'état de régime, û est constant, au moins quant à sa valeur moyenne par tour. A la suite d'une diminution brusque et constante, c, du moment résistant, la loi du mouvement serait donnée sensiblement, en l'absence de tout régulateur, par la formule :

An Tt = c -

Si, par un moyen quelconque, le régulateur diminue à chaque instant le moment moteur d'une quantité \x proportionnelle au déplacement du disque précédemment considéré, l'équation du mouvement devient :

(2) An-j- = c — Xx.

La combinaison des équations (1) et (2) donne ."

d 2 x /k^ sin i dx \h hc

W d? + ï~Jt + AÏ x — A^

Imposons-nous la condition :

//le*! sin *V 4/iX

Alors les racines de l'équation du second degré :

sont réelles et négatives. En les désignant par — a et — g (a > g), et tenant compte de ce

dx que, à l'état initial, x et -jt sont nuls, on trouve sans peine :

ac -p*p e -«r

XL « - e J

D'après cela, x et o> tendent asymptotiquement, sans trace d'oscillation, vers les valeurs limites :

. a + ? /j , csinA

va leurs qui sont pratiquement atteintes au bout d'un temps très court, pour peu que a et 3 soient de grandeurs sensibles, et sensiblement différents entre eux. Ces valeurs peuvent se mettre sous une forme plus expressive. Soit en effet M le moment résistant à l'état de régime moyen, et soit s la valeur asymptotique de x pour laquelle le moment moteur se trouve entièrement supprimé. Soit (^ la vitesse angulaire correspondante au déplacement*.

On a :

/ . , M sin i\ I . . s sin i\

et tN = ttl ^i + __J ==Wl ^+j,

d'où, pour un état quelconque :

L'écart maximum de vitesse u) t — u> 2 peut, théoriquement, être rendu aussi petit qu'on le veut : il suffit, après avoir choisi cet écart, d'établir entre les constantes /, s et p

la relation — — \ = . Quand à l'inégalité fondamentale (4), on peut l'écrire sous la

forme :

s \(*>| / A thù^

ou bien :

h(u % y 4M/i *\g>i /AU*'

Soient r le rayon du cylindre sur lequel est tracée l'hélice directrice de la vis, et e l'inclinaison de cette hélice sur les génératrices. On a : A = 2-rcotg£. Nous pouvons prendre, par exemple, e = 45°, d'où : h = 2zr. L'inégalité précédente devient alors :

r 4Mn