IU) = M-N

La vitesse angulaire Q, qui figure dans cette équation, est proportionnelle à la vitesse angulaire o de l'arbre du régulateur. On peut donc remplacer il par rtu, r désignant uu facteur constant. Considérons, d'autre part, le mouvement relatif du régulateur, cest-àdire le mouvement étudié en considérant l'arbre de cet appareil comme immobile. Nous devons pour cela tenir compte des forces dites apparentes : force d'inertie d 'entraînement et force centrifuge composée. On peut appliquer le théorème des forces vives sans se préoccuper des forces centrifuges composées, car leur travail est toujours nul. A la vérité, ces forces agissent indirectement, en modifiant les réactions des appuis et par conséquent les frottements; mais nous admettrons que cette influence est négligeable. La force d'inertie d entraînement qui s'exerce en chaque point du système a deux composantes, qui sont la force centrifuge proprement dite et la force d'inertie tangentiellc, La

première est proportionnelle à w a , et la seconde à -7-. Ainsi que nous 1 avons vu en parlant

des régulateurs d'inertie, ces deux forces peuvent intervenir à des degrés très différents. Pour établir des résultats généraux, nous devons les faire entrer simultanément en ligne de compte. Il y a ensuite les efforts de la pesanteur, des ressorts, des frottements : ces diverses forces dépendent uniquement de la position du manchon. Enfin, dans le cas où le régulateur est pourvu d'une cataracte, on doit tenir compte d'une résistance proportionnelle à la vitesse du manchon. Soit z la (distance du manchon à sa position moyenne; En écrivant que la variation de force vive du régulateur est égale au travail des forces qui le sollicitent, on obtient une équation de la forme

4 z (S)']=[ 7 -+ z -"+ z 's +z 'sî*-

dans laquelle Z, Z,, Z„ Zj, Z v désignent des fonctions de z.

Si nous développons cette équation, nous pouvons la mettre sous la forme

En ce qui concerne spécialement la fonction Z,, qui comprend l'elfet des frottements, nous devons noter que ceux-ci changent de signe avec le sens du mouvement, et que, par conséquent, la fonction Z] a des déterminations différentes suivant la manière dont se déplace le manchon. A l'état de régime, Z, est indéterminé, car alors les frottements sont simplement assujettis à ne pas dépasser certaines limites.

Les équations (1) et (2) sont les équations différentielles du mouvement du système.

Le moment résistant N est constant ou variable, suivant le travail demandé à la machine. On doit généralement le considérer comme une fonction connue du temps, fonction qui peut d'ailleurs être continue ou discontinue. La fonction M de 6 qui représente le moment moteur est liée à la position z du manchon. La nature de cette relation est différente suivant que le régulateur est à action directe ou indirecte.

Dans le cas de l'action directe, M est réellement fonction de z et de ti. Cette fonction peut d'ailleurs être fort compliquée, ainsi que nous le verrons bientôt.

Dans le cas de l'action indirecte, il faut concevoir que M est défini par les conditions suivantes. Soient 3, et z à les valeurs de z correspondant à l'embrayage et au débrayage

du mécanisme qui commande la valve. Tant que z est compris entre z, et z,, M est simplement fonction de &, Dès que z atteint Tune de ces deux limites, s, par exemple, M devient en outre fonction du temps écoulé depuis l'instant où s a pris la valeur z\ Tant que l'égalité <z — z x est réalisée, l'équation (2) se réduit à

Z, -f Zjw 2 + Z 3 -j t = o.

Durant cette période, Z, comprend une force F représentant la résistance qui empêche le manchon de dépasser sa position limite. En mettant cette force en évidence, on peut

écrire :

F + Z, + ZX + Z, p { = o.

Si Ton substitue, à chaque instant, dans cette équation, les valeurs de a> 2 et -r- fournies

par l'intégration de l'équation (1), et, si Ion remplace en outre z par la constante z u on obtient une certaine valeur de F. On reconnaît que la période d'embrayage est terminée quand F s'annule et tend h changer de signe. A partir de ce moment, on rentre dans les conditions précédentes, c'est-à-dire que F reste nul, z redevient variable, et M ne dépend plus que de G,

Dans le cas d un régulateur compensateur, il y a une première phase, d'action directe. Puis, pour une valeur déterminée, s t , de z, le mécanisme compensateur entre en jeu. A partir de cet instant, le moment moteur est fonction de 8 et de la quantité z — at, dans laquelle / est le temps écoulé depuis que z a atteint la valeur z u et a désigne une quantité sensiblement cou s tan le, iv présentant la variation de longueur éprouvée, dans l'unité de temps, par la tige de commande de la valve par l'effet de la compensation.

Dans le cas d'un servo-moteur, la fonction Z, comprend un terme S représentant l'action motrice exercée par la vapeur sur le manchon. Ce terme est nul tant que se

trouve réalisée la relation Z, -\- Z^ 5 + Z 3 -7- = o, exprimant l'équilibre du manchon.

Des que cette relation nu plus lieu, S prend brusquement une valeur importante, puis s'annule de nouveau quand l'équilibre est rétabli.

Les équations différentielles (1) et (2) sont, en somme, d'une nature extrêmement complexe. Non seulement ces équations ne sont pas linéaires, non seulement elles renferment, à la fois, les dérivées premières et secondes des inconnues z et 8, mais encore les termes finis sont des fonctions discontinues de z, 8 et /. Il est clair que la solution rigoureuse dun problème ;iinsi posé échappe à toutes les ressources de l'analyse. Tout ce qu'on peut espérer faire, c'est, par des hypothèses simplificatrices, basées sur des considérations pratiques, de dégager quelques conclusions générales, purement approximatives. C'est dans cet ordre d'idées que nous allons maintenant traiter successivement des régulateurs directs et des régulateurs indirects.

Première section. — Régulateurs directs.