CHAPITRE I

Équations du problème

Nous allons d'abord examiner le cas d'un régulateur direct, du type de Watt, dépourvu de cataracte et relié à la valve d'étranglement d une machine à vapeur à détente fixe. En supprimant dans l'équation (2) les termes qui correspondent à l'inertie tnngentielle et à la résistance de la cataracte, on peut écrire :

Une première simplification consiste à regarder comme constant le moment d'inertie I de la machine par rapport à l'arbre principal. Cette hypothèse est admissible, pourvu que le volant proprement dit ait une puissance suffisante, condition toujours remplie en pratique. Nous admettons en outre que le manchon n'éprouve, de part et d'autre de sa position moyenne, que de faibles déplacements, et que, par suite, les fonctions Z, Z\ Z H Z t peuvent être remplacés par leurs valeurs moyennes.

~Tt )

en

présence de 2Z - 1 -.

ai 2

Bornons-nous au cas du régulateur isocèle. Soient P le poids d'une boule, Q celui du

manchon, © l'inclinaison des tiges sur la verticale, l la longueur des tiges, y la distance

du manchon au sommet. On a la relation : y = l cos © d'où :

dz dy , . dtp

Tt=Tt = - lsin *Jf

La force vive de déformation est : 2 - P l -£ j -\ ( -^ \ , c'est-à-dire - { ^ )

Q -f- . t ). Comme sin 2 <p est égal ai — ^-, la fonction Z a pour valeur — ( Q -|- ■ - — 1

d'où : Z' = — -n- — ^-r-=— = — ; — ?. Toutes choses égales d'ailleurs, V estd autant moindre

que les boules sont plus légères. La masse - du manchon figure dans Z sans figurer

dans Z'. C'est donc surtout dans le cas des régulateurs à grosse masse centrale qu'on est fondé à négliger Z' en présence de Z.

Au contraire, avec des boules lourdes et un manchon léger, comme c'est le cas pour l'appareil primitif de Watt, cette simplification n'est plus légitime; mais on peut alors

s'y prendre d'une autre manière : il suffit d'adopter pour variable, au lieu de z, l'angle d'inclinaison ç. L'expression de la force vive devient dans ces conditions :

|dP+Q-*,)(Sy-

2PZ* / Q . \

La fonction Z se trouve remplacée par I 1 -\- ~p sin 2 ^ ) fonction sensiblement constante quand le poids du manchon est insignifiant par rapport à celui des boules.

Dans T ouvrage Régularisation du mouvement dans les machines, qui fait partie de l'Encyclopédie des aide-mémoire, j'ai discuté en détail la valeur relative des deux termes qui figurent dans la variation de la force vive de déformation, et j'ai établi que, pour le régulateur de Watt à faible masse centrale, il est réellement permis de négliger le terme correspondant au curré de la vitesse. Dans cette discussion, assez délicate, j'ai pris comme variable langle d'inclinaison des tiges. Ce que nous venons de dire ici permet d'ajouter que, dans le cas des régulateurs à grosse masse centrale, la simplification est encore possible à condition de prendre pour variable le déplacement du manchon. Ce changement de variable ne modifie d'ailleurs pas la forme générale de l'équation : les fonctions de f se trouvent simplement remplacées par des fonctions de z.

Nous admettons, en résumé, que dans la seconde des équations (3), on peut faire

abstraction du terme El y ] . Si l'on pose en outre Z, = 2BZ et Z s = 2AZ, Ton peut écrire :

En vertu des hypothèses faites, les quantités I, A, B sont regardées comme constantes.

dG En tenant compte de la relation <o = -7-, on peut prendre comme variable indépendante l'angle en fonction duquel est exprimé le moment moteur M. On a :

et

ou

du> dt^

de dt ~~df

dz

dt ~

dz rfO dz diïlt — " dô~'

rf's d

{ dO 9 d 2 z , rfo> dz

^Tt ={ù d^ +(4> dë"rfë

Posons a) 2 = x y

,, , r\ ^<*> dx

dô dô

Il vient ainsi

1 t dx ., XT d*z , 1 dx dz . . n

dx Remarquons que -=- peut être rendu aussi petit qu'on le veut, a condition d'augmenter

I, c'est-à-dire de donner au volant une puissance suffisante. On est donc fonde a admettre

qu'avec une machine convenablement établie le terme ^ -tt-tt est négligeable en présence

de x -j— , surtout si la dérivée *-£■ n'est pas trop grande. Or -7^ = - -5- j celte équation représente donc, à chaque instant, le rapport entre la vitesse du manchon et la vitesse de l'arbre du régulateur. Donc, à moins que le régulateur n'ait une promptitude d'action considérable, le premier membre de la seconde équation peut être réduit à son premier

d 2 z terme. On peut d'ailleurs, dans le produit x -3-^, remplacer x par sa valeur moyenne r .

Ceci fait, posons : A = hx et B = — hx %. Nous parvenons au système

de

h est un coefficient dépendant du mode de construction. Nous le regarderons comme

sensiblement constant. On s'assure aisément qu'en pratique, avec le type de Watt par

exemple, ce coefficient est réellement peu variable dans les limites de déplacement du

dH manchon. \ est évidemment la valeur de x pour laquelle -r— s'annule. Comme^n'estautre

chose que to 2 , on voit que Ç représente le carré de la vitesse de régime. En tenant compte

des transformations effectuées, on trouve aisément que \ est égal à — ^ Suivant que le

Lit

mouvement du manchon a lieu dans un sens ou dans l'autre, la quantité ; possède, h cause des frottements, deux valeurs- distinctes £, et $ 2 correspondant aux deux lignes d'équilibre à la montée et à la descente définies dès le début de la première partie. Pratiquement, la différence £, — £ 2 peut être regardée comme constante.

Il faut maintenant se rendre compte de la nature de la fonction M, qui représente le moment moteur. A l'état de régime ce moment, dans une machine rotative, est sensiblement constant; mais il n'en est pas de même dans le cas des machines à cylindres. En particulier, avec un seul cylindre, le moment moteur pour un tour de volant part de zéro et revient à zéro après avoir atteint un certain maximum, La loi de variation est d'ailleurs fort compliquée, elle dépend à la fois du cycle suivi par la vnpuur et tic In liaison établie entre le volant et la tige du piston. Tout ce qu'on peut dire, c'est que, a l'état de régime, la valeur moyenne de M pour un tour est égale à la valeur du moment résistant N, regardé comme constant. Puisque M est périodiquement variable t x ne peul non plus être constant, mais ses variations relatives sont d'autant moindres que le coelïicient I a une valeur plus considérable, et, si la puissance du volant est suffisante, on peut admettre qu'a l'état de régime les petites oscillations de la valeur <r sont négligeables. L'état de régime est caractérisé, en somme, par ces deux faits que la valeur de M est égale à N et que la valeur absolue de x s'écarte fort peu de la valeur moyenne £ autour de laquelle elle oscille.

L'état de régime étant établi dans ces conditions, imaginons que le moment résistant N vienne à changer et éprouve, par exemple, une diminution brusque que nous représenterons par A. La valeur moyenne de M devenant supérieure à N, la vitesse du moteur

va s'accélérer- En l'absence de tout régulateur, elle irait en croissant jusqu'à ce que l'accroissement de vitesse eût pour effet de développer des pertes de travail (provenant par exemple de la résistance de l'air, du laminage de la vapeur, etc.) capables de neutraliser A. Grâce au régulateur, les choses se passent autrement. M est fonction de z, et z vnrie avec ar, M dépend donc de a?, et Ton conçoit dès lors qu'un nouvel état de régime puisse s'établir avec de nouvelles valeurs de x et de z.

En réalité, le moment moteur d'une machine à vapeur ne dépend de la position du manchon que d'une façon intermittente. Le manchon n'intervient que pour régler soit la pression d'admission dans le cylindre, soit la durée de l'admission, suivant qu'il s'agit d'une valve d'étranglement ou d'un régulateur de détente. Dès que la détente est commencée, l'action du régulateur se trouve suspendue au moins sur lune des faces du piston. Pendant la période d'admission elle-même, on peut, dans le cas d'une valve d'étranglement, admettre, au moins à titre de première approximation, que le moment moteur varie proportionnellement aux variations de z. Pour un régulateur de détente, il n'en est plus de même : le moment moteur est totalement indépendant de z pendant l'admission ; l'influence du manchon ne se fait sentir qu'en substituant plus ou moins vite la période de détente à la période d'admission.

On conçoit que de pareils effets ne sont guère susceptibles d'être traduits en formules; le seraient-ils, que les résultats auxquels on parviendrait présenteraient trop de complication pour se prêter à des conclusions pratiques. C'est pourquoi tous les auteurs qui se sont occupés de la question ont reconnu la nécessité de substituer au problème réel un problème simplilié qui s'en rapproche plus ou moins. Dans les chapitres suivants nous examinerons successivement les principales hypothèses qui peuvent être faites.