HYPOTHÈSE D'UNE ACTION PROPORTIONNELLE AU DÉPLACEMENT DU MANCHON

On suppose ici que si z Q désigne la position du manchon pour laquelle la valve est complètement fermée, le moment moteur est représenté à chaque instant par l'expression X (s ft — s), dans laquelle X désigne un facteur constant. Soit z % la valeur de z qui convient au nouvel état de régime, et pour laquelle, en d'autres termes, il y a égalité entre le moment moteur et le nouveau moment résistant. Celui-ci, étant supposé constant, a pour valeur X (z» — s,). La première équation (4) devient donc :

1 dx

2 ïr dê = X ( 5o — *} ~ x (* — *■) =X ( Zl ~ z )'

Dans la seconde équation (4) Ç désigne une fonction de z, et Ton peut écrire : -j-

~^7^" ^ oua poserons -T- = a , et nous considérerons cette quantité comme pratiquement constante dans les limites de variations de z f . Dès lors, si Ton élimine x entre les

1, Cette hypothèse revient â négliger la courbure des lignes d'équilibre définies au chapitre l de la première partie. Voici trois diagrammes empruntés à M. Lebeau {Formules pratiques, Liège, 1890), et qui permettent de se rendre cogtpte du de^ié d'approximation. Dans ces diagrammes, les abscisses sont, à une constante près, propor-

deux équations (4), on est conduit à l'équation différentielle du troisième ordre , à coefficients constants :

d*z , , dz . 2\h . x

rfe 3 ^ rfe ' Ir

Posant, pour abréger :

an = p 2 -ï — = cr

il vient

. d Jl.

Le coefficient de -j- étant positif, l'équation u 3 -|- p t u -\- q* = o a une seule racine

réelle, et, comme le produit — q 3 des trois racines est négatif, cette racine réelle est négative. Désignons-la par — s et soient a + »3 les deux racines imaginaires. On a les relations :

(a» + fl») , = 7*

d'où

a est nécessairement positif. Le signe de {3 est arbitraire ; nous le supposerons également positif. En appelant C, D et y trois constantes arbitraires, on trouve aisément l'intégrale générale :

y = Ce- 2aG + De a6 cos (00 — y).

Pour déterminer les trois constantes C, D, y, il faut avant tout connaître la valeur initiale y de y, c'est-à-dire la distance à laquelle le manchon se trouve de la position correspondant au nouveau régime, au moment où commence la perturbation. Cette distance mesure précisément l'importance de la perturbation. On remarquera ensuite qu'au début de la perturbation la vitesse du manchon est nulle. Il en est de même de son accélération,

tionnelles aux vitesses angulaires, et les ordonnées aux inclinaisons des tiges. Les \\p 330, 330 bh et Î3Q ter se

Fio. 230.

Fio. 230 bis.

Fio. 230 ter.

rapportent respectivement à un régulateur de Watt (à suspension sur l'axe), à un régulateur Béer et à un régulateur Pichault. Avec des abscisses proportionnelles aux carrés des vitesses, les courbures seraient un peu plus prononcées.

attendu* que celle-ci est mesurée par l'écart entre la force centrifuge actuelle des boules et celle qui serait capable d'équilibrer les autres forces, écart nul à l'instant où le manchon commence à se mouvoir. Comme la vitesse et l'accélération du manchon ont pour expressions respectives w -^ et w 2 -^ -f- u> -7- -^ on voit que si elles sont nulles, il en est de même

des dérivées-^, -r?-

En écrivant que ces diverses conditions sont remplies et en convenant en outre de mesurer l'angle 6 à partir de la position qui correspond au début de la perturbation, on trouve sans peine :

et le mouvement du manchon est dès lors entièrement connu.

Imaginons que Ton multiplie a et g par un même nombre arbitraire n et qu'en même

temps on change 6 en -. Pour une perturbation donnée, et par conséquent pour une valeur

donnée de y les constantes C, D, y restent les mêmes et l'équation (6) n'est pas modifiée. Par suite, les écarts qu'éprouve le manchon de part et d'autre de sa position moyenne, conservent les mêmes valeurs, car ces écarts sont obtenus en cherchant pour quelles valeurs de y

s'annule la dérivée -~. Mais la fréquence des oscillations diminue à mesure que Ton fait

croître le nombre n, puisque les valeurs de pour lesquelles le manchon s'arrête et rebrousse

chemin correspondent dans tous les cas aux mêmes valeurs de -. D'ailleurs, on a :

et cette expression ne change pas quand on remplace « et 3 pour m et n{ï. On est ainsi conduit à cette conséquence fondamentale :

Le rapport - est une caractéristique des propriétés du régulateur : deux appareils

pour lesquels ce rapport a la même valeur sont dynamiquement équivalents, en ce sens qu'à la suite d'une perturbation donnée ils effectueront , avant de s'arrêter, des déplacements corrigeant, dans la même proportion, iécart de régime. Seulement ils n'agiront pas dans le même temps; la rapidité d'action est en raison inverse de la grandeur absolue des constantes a g.

Les coefficients p et q sont définis par les deux égalités :

ah = P 1F = q

d'où

Si Ton se reporte à la définition de h, on trouve h=^~~. Rappelons que Z et Z t

sont deux fonctions de Z dépendant uniquement du mode de construction du régulateur, tandis que x désigne le carré w 2 de la vitesse moyenne de son arbre. Si Ton pose pour

abréger ^j = b on a :

I 2 rVA I*M*»A

Dans cette formule, a et b sont des données de construction du régulateur, La

constante a est égale à -^ ; c'est le rapport entre la variation du carré de la vitesse angu-

laire de régime et le déplacement correspondant du manchon, lorsqu'on passe d'un régime à un autre. Si l'équation d'équilibre du régulateur est mise sous la forme Au** + 8=0,

on a Ç = — — , d'où a = — j" ( T )• Précédemment, nous avons défini le coefficient de

stabilité d'un régulateur centrifuge par l'expression S = A -t^ ( -r- ) — ~- 0" vo ^ V&

y a un lien intime entre le coefficient a envisagé ici et le coefficient de stabilité, B mesurant, ainsi qu'il a été dit, la puissance du régulateur, le coefficient a est le rapport entre le coefficient de stabilité et la puissance multiplié par io*. De son côté, le coefficient b

a pour valeur ?r4. L'équation (3), qui peut s'écrire approximativement

O La

montre qu'une variation Aw 2 du carré de la vitesse angulaire survenant pendant l'état de

régime, fait naître une accélération -£ égale à ^ iw', c'est-à-dire à 4 AAu*. On peut donc

ut À /j

considérer b comme mesurant la promptitude d'action de l'appareil,

La constante I (moment d'inertie) est une donnée de construction de la machine. Les constantes r et X présentent un caractère mixte ; elles dépendent de la corrélation établie entre le régulateur et la machine. Pour r, la chose est évidente, car cette lettre

désigne le rapport — entre la vitesse de l'arbre du volant et la vitesse de l'arbre du régu-

lateur. Pour X, il faut y regarder d'un peu plus près. Nous avons représenté le moment

moteur moyen par l'expression X (z Q — z) y et nous avons admis par là qu'un déplacement

dz du manchon produit, en valeur absolue, une variation \dz du moment moteur. Si donc

on désigne par 2L le chemin que doit parcourir le manchon pour faire varier le moment

moteur depuis sa plus grande valeur jusqu'à zéro, et si Ton admet que la valeur maxima

2 N N du moment moteur est le double de la valeur N en marche moyenne, on a X = «- ~ T-

mm 1 i 1 J

D'ailleurs, en appelant C le nombre moyen de chevaux indiqués, on peut écrire 75 C = NQ, Donc X = -f-TT- U en résulte :

Vr>a*bL*

5.625 C»' La discussion détaillée de l'équation (6) est assez pénible, et je renverrai, sur ce

point, à T ouvrage déjà cité. Régularisation du mouvement dans les machines. Je me borne à indiquer ici quelques résultats.

Le chemin parcouru par le manchon est égal au produit de y Q par une quantité dépendant uniquement du rapport -. Si le rapport - est égal k j^^ la régularisation est sensiblement obtenue du premier coup, c'est-à-dire que le manchon, une fois lancé, s'arrête dans une position voisine de celle qui convient au nouvel état du régime ; son déplacement ne laisse subsister que 6 p. 100 de la différence entre le moment moteur et le moment

résistant. Pour 7 = 0,105, la régularisation serait presque parfaite. Si - devient plus

a 1 grand, le but se trouve dépassé. Avec la valeur -=■=-, il n'y a plus de régularisation :

l'écart change de signe sans changer de valeur absolue. Enfin, pour la valeur limite

- = -T3L, qui donne p = 0, l'écart final est, en grandeur absolue, presque cinq fois plus

grand que l'écart initial. L'hypothèse p = entraîne a = 0, c'est-à-dire que le coefficient de stabilité est alors nul. C'est le cas des régulateurs isochrones.

En somme, la valeur la plus favorable de - est, en chiffres ronds, j-rr. La formule (7)

fait d'ailleurs connaître — en fonction de -, et l'on trouve que, pour - = jtt, on doit avoir

*~ = 22. Par suite, en vertu de la formule (8), la relation la plus convenable entre les divers éléments de la machine et du régulateur est fournie par l'égalité

Pr'a'AL» = 75 a X 22 X C 1 = 123.750 Q.

Si Ton voulait seulement éviter les oscillations divergentes, il suffirait de faire en

sorte que l'écart final ne dépassât pas l'écart initial, et l'on prendrait alors - égal à j,

doù4 = ^90.

La valeur du rapport -, choisie d après ces considérations, ne fait encore connaître

qu'une seule relation entre les diverses grandeurs dont il dépend. L'équation (9) montre

que» pour une machine donnée, on peut, sans altérer — , faire varier à volonté les quantités

p, a T A, L qui caractérisent le régulateur employé, à la seule condition de laisser intact le produit r^a'AL*. Si Ton se donne en outre l'écart des vitesses extrêmes de la machine, on

en déduit la valeur du produit r*aL. Car -=— = a, ce qui peut s'écrire -7- = r*a ; d'où, en

appelant Q, et Q t les vitesses extrêmes :

Q,* — Q 2 « = 2Û (Q, — û 2 ) = 2r*aL.

Connaissant r*a*AL' et r'aL on connaît aussi ab.

L'expression r'aL, que nous rencontrons ici, se présente également si Ton cherche vers quel état de régime tend la machine à la suite d'une variation AN éprouvée par le

moment résistant. Le régime final s'établit pour un déplacement z du manchon vérifiant la relation \z = AN. La variation correspondante de o>* est az. On a donc :

l ) 2 = ajs = - AN.

La variation correspondante du carré de la vitesse de la machine est