AQ*=^AN

d'où AQ = S AN -

Mais Xû = — s — .

r 2 aL Par suite AU = rërr^ AN.

L'équation (6), qui représente le mouvement du régulateur à la suite dune perturbation, conduirait, si Ton n'y prenait garde, à de singulières conclusions, Il est aisé de voir que si le volant continue indéfiniment à tourner, et par conséquent si G augmente au delà de toute limite, cette équation indique un mouvement oscillatoire dans lequel l'amplitude des oscillations va constamment et rapidement en augmentant. Ce sont en un mot des oscillations divergentes.

Les régulateurs sans cataracte seraient donc condamnés à une instabilité perpétuelle, ce qui est contredit par l'expérience.

Pour expliquer comment la stabilité du régulateur se concilie avec l'équation (tî) T il suffit de remarquer qu'en réalité, par suite des résistances passives, le mouvement est

essentiellement discontinu. A la fin de la première phase, c'est-à-dire au moment où ^

s'annule pour la première fois, le manchon, empêché par le frottement de revenir immédiatement en arrière, ainsi que l'exige l'équation, reste un instant au repos. Quand ensuite survient la seconde phase, le mouvement est représenté par la même équation générale, mais avec de nouvelles valeurs des constantes arbitraires. Il est donc entièrement indépendant du premier. En particulier, l'exponentielle e~~~ a , qui, sans cela, serait devenue insensible, reparaît avec une valeur égale à l'unité, puisque l'origine des angles est reportée

au début de la nouvelle phase, et pour la même raison, l'exponentielle e* , reprenant au début de chaque phase une valeur égale à l'unité, ne peut croître indéfiniment. En résumé, le frottement joue ici le rôle d'un encliquetage momentané supposant au mouvement de recul, et, par cela même, rompant la continuité que suppose l' emploi d'une seule et même formule.

L'addition d'une cataracte exerçant une résistance proportionnelle h la vitesse reviendrait au point de vue analytique à compléter l'équation différentielle (5) par l'addition

d'un terme en -r^. L'intégrale générale resterait de la forme y = l^e* 1 + C*e** -|- C 3 e ,

*u <**i «a désignant les racines de l'équation du troisième degré en a à laquelle conduit la

substitution y = Ce a . Pour que la valeur de y ainsi trouvée demeure Unie quand G augmente indéfiniment, il est nécessaire et suffisant que a,, jr a , a, soient des quantités

Fig. 231.

réelles négatives, ou imaginaires à partie réelle négative. Cette condition, impossible à remplir dans la théorie que nous avons exposée, attendu que la somme des racines devait être nulle, est au contraire réalisable dans le cas de l'équation complète. On voit en résumé que la stabilité du mouvement nécessite soit l'intervention du frottement, soit l'action d'une cataracte convenablement calculée.

Les choses ne se passent réellement de cette manière que si la résistance due au frottement présente une grandeur suffisante. Sans entrer dans des calculs compliqués, on peut, en ayant recours à la méthode graphique, se rendre compte de cette condition essentielle. Construisons un diagramme dans lequel l'état du régulateur soit à chaque instant

représenté, en coordonnées rectangulaires, par un point figuratif P (fig. 231 ) ayant pour abscisse la quantité x = a> 2 et pour ordonnée la distance z du manchon à l'une de ses positions extrêmes. Eu égard aux résistances j-Pl passives, l'équilibre du manchon subsiste, pour chaque valeur de s, tant que x demeure compris entre deux limites correspondant respectivement à l'équilibre à la montée et à l'équilibre à la descente, et représentées par deux points P', P*. A la suite d'une diminution du moment résistant appliqué à la machine, la vitesse s'accélère. Le point figuratif va d'abord de P en P'. Arrivé en P', il se met à décrire un arc curviligne P'P^ dans le parcours duquel z varie. Le moment moteur diminue progressivement. Plaçons-nous d'abord dans le cas où le manchon dépasse du premier coup la position finale de régime. Au point P,, pour lequel il y a égalité entre le moment moteur et le moment résistant, la vitesse présente un maximum et la tangente est parallèle à oz. Mais, à cause de l'inertie du régulateur, le manchon ne s'arrête que pour une position P s située au-dessus de l'horizontale du point P,. Le point P 2 se trouve toujours à gauche de la ligne d'équilibre à la montée, c'est-à-dire de la ligne P'Q',

dz car, en approchant de P„ on a des valeurs de -^ qui sont positives et tendent vers zéro;

par suite -^ est négatif, et il en résulte, en vertu de l'équation -7— = h (x — !;) que x est

inférieur à $. Si P 2 est en même temps à droite de la ligne P"Q" ou ligne d'équilibre à la descente, le manchon reste nu repos pendant que le point figuratif, grâce à la diminution de vitesse de la machine, parcourt l'horizontale P 2 P 3 . Au point P 3 , situé sur la ligne P"Q", commence une nouvelle lancée P 3 PJP 5 . Dans ces conditions, il y a rupture de l'intégrale, de P, en P r Si au contraire le point P 2 se trouvait à gauche de P"Q\ la rupture disparaîtrait, et les oscillations deviendraient divergentes. Le frottement doit donc être assez grand pour que le point P s tombe à l'intérieur de la zone d'équilibre limitée par les lignes P'Q' et P'Q*.

Comment traduire analytique ment cette condition? Reprenons l'équation (6), dans laquelle les constantes C et D doivent être déterminées, ainsi qu'on Ta vu, de manière à

dxi (/?/* y v et -j- = j^j = 0. Le point de départ correspond à la position P'. La quantité y Q est, par définition, la distance de P' à l'horizontale P,P A . Si l'on

dy cherche pour quelle valeur de 8, la plus voisine de zéro, la dérivée première -^ s'annule de

nouveau, cm trouve une ejunutité d à laquelle correspond une nouvelle ordonnée y,. Cette

donner, pour 0=0,!/

ordonnée est la distance du point P 2 à la droite PiP A . D'ailleurs, à un instant quelconque, on a :

Pendant l'ascension du manchon, [x — £) est la distance horizontale du point figuratif

à la ligne d'équilibre P'Q' ; pour le point P 2 cette distance, en valeur absolue, est P^P'**

d^z d^u tï^ n

En outre -r— ne diffère pas de -^. Il faudra donc calculer la dérivée seconde -ri corres-

pondant à la valeur 6 = 4 et écrire que le rapport entre cette dérivée seconde et la largeur P' 2 P 3 de la zone d'équilibre est, en valeur absolue, inférieure à h. Comme cette largeur dépend de la grandeur du frottement, on connaît ainsi le minimum de frottement nécessaire pour la stabilité.

On peut construire la courbe ayant pour coordonnées rectangulaires G, y et définie par l'équation (6). Au point qui, dans cette courbe, correspond i\ P 21 la tangente est

parallèle à l'axe des abscisses et le rayon de courbure R a pour valeur l'inverse de —- Si

on détermine graphiquement ce rayon, la largeur de la zone d'équilibre doit être supé-

, 1 neure à -^7.

Dans le cas où le manchon, après s'être mis en route, s'arrête avant d'avoir atteint la position finale de régime, le point figuratif présente un parcours tel que PP'P 2 P 8 (fig. 232). Dans la position P 2 , il se trouve, comme pour le premier cas, à gauche de la ligne d'équilibre P'Q' ; mais il revient ensuite vers cette ligne, en suivant Thorizontale P 2 P 3 , au lieu de se porter vers la seconde ligne d'équilibre. Cette différence ne modifie d'ailleurs pas les précédentes conclusions; ici encore le rupture d'intégrale exige que P 2 soit à droite de P"Q", sans quoi le manchon, aussitôt arrêté, se mettrait à redescendre.

Imaginons maintenant que le régulateur soit mixte, c'est-à-dire établi de façon à faire intervenir l'inertie tangentielle en même temps que la force centrifuge. Le second membre de la dernière équation (i) doit alors

être complété par l'addition d'un terme proportionnel à -7-, c'est-à-dire à w— ou encore

1 dx

~ -7-. Cette équation prend donc la forme

(Pz ( ,>dx\

3 désignant un coefficient qui, pour de faibles déplacements du manchon, peut être regardé comme constant. L'équation finale (5) devient :

Le coefficient p* est donc simplement remplacé par p i -j- <y 3 : . D'après cela :

La mise en jeu de V inertie tangentielle ne modifie pas essentiellement la forme de l'équation différentielle.

Il ne faudrait cependant pas conclure de là qu'il est possible, étant donné un régulateur mixte, de construire un régulateur purement centrifuge capable de se comporter de la même manière. L'intégration de l'équation différentielle introduit des constantes arbitraires qui doivent être déterminées d'après les conditions initiales , et celles-ci ne sont pas les mêmes dans les deux cas. Pour les régulateurs centrifuges, l'accélération est nulle au début de la perturbation ; au contraire, avec un régulateur mixte, l'accélération prend immédiatement une valeur finie.

L'équation (10) montre qu'avec un régulateur mixte l'allure de la machine peut être stable lors même que la quantité représentée par p 1 est nulle ou négative. On peut donc faire en sorte tjue la vitesse de régime soit constante quelle que soit la charge et même que la vitesse de régime augmente avec la charge. C'est là un avantage important des régulateurs mixtes. Nous exposerons plus loin, d'après M. Stodola, une théorie complète des régulateurs volants qui forment la plus intéressante catégorie de régulateurs mixtes.

Les considérations développées dans ce chapitre s'étendent, dans une certaine mesure, au cas où le moment moteur est une fonction continue quelconque de la position du manchon ; il suffit de regarder le coefficient X comme susceptible de prendre des valeurs différentes suivant la hauteur à laquelle se trouve le manchon à l'instant où commence la perturbation ; mais il est clair que la théorie n'est plus alors applicable qu'à des perturbations assez légères pour ne pas altérer sensiblement la valeur de a. M. Minel a remarqué qu'on peut, en donnant une forme convenable à la valve, faire en sorte que son coefficient d'action varie avec le régime, de manière à assurer le même degré de stabilité pour toutes les allures : tel est l'objet des formes de valves indiquées, d'après cet ingénieur, au chapitre IV (§ 2) de la première partie. En vertu de la formule (8), il faut pour cela que XQ soit constant, c'est-à dire que X doit varier en raison inverse de la vitesse de régime.