FONCTIONNEMENT EN CAS DE FAIBLES PERTURBATIONS

Le moment moteur d'une machine à vapeur éprouve, surtout dans le cas dune machine monocylindrique, des variations périodiques de grande amplitude. Il en résulte pour la vitesse des oscillations que le volant atténue dans une large mesure , sans toutefois lès supprimer complètement. A l'état de régime, ces oscillations sont sans influence jsur l'équilibre du régulateur, sans quoi la sensibilité de celui-ci devrait être considérée comme excessive et il serait nécessaire ou bien d'augmenter le volant, ou bien d'accroître les résistances qui s'opposent au déplacement du manchon. Cela fait, on n'est pas encore en droit de conclure que les oscillations de vitesse dues- aux variations périodiques du moment moteur n'altèrent pas le fonctionnement du régulateur pendant le passage d'un état de régime à un autre : car, du moment où le manchon est en train de se mouvoir, les résistances passives sont vaincues par la force centrifuge et dès lors les plus faibles variations éprouvées par celle-ci se répercutent sur les positions successives du manchon. Si donc, à la rigueur, en cas de forte perturbation du régime, on peut admettre que la variation de vitesse moyenne est assez rapide pour masquer l'influence des oscillations à courte période, rien n'autorise à affirmer qu'il en est de même pour des perturbations légères . D ailleurs, pourvu qu'à l'origine d'une forte perturbation l'appareil à boules exerce réellement son action régulatrice, il arrive un moment où l'écart de régime est à peu près corrigé, et l'on rentre alors dans le cas des petites perturbations . Il est donc nécessaire d'examiner ce qui se passe quand le moment moteur moyen diffère peu du moment résistant, cette circonstance devant toujours se réaliser soit dès l'origine de la perturbation, soit au bout d'un temps suffisant.

Pour aider les explications, nous aurons de nouveau recours à la méthode graphique.

Construisons, comme nous l'avons déjà fait, un diagramme dans lequel l'état du régulateur soit à chaque instant représenté en coordonnées rectangulaires par un point figuratif P (fig. 233), ayant pour abscisse la quantité a?, égale au carré w* de la vitesse angulaire et pour ordonnée la distance z du manchon à Tune de ses positions extrêmes. Eu égard aux résistances passives, l'équilibre du manchon subsiste pour chaque valeur de z tant que x demeure compris entre deux limites correspondant respectivement à ^équilibre à ta montée

et à Y équilibre à la descente et représentés par deux points P', P". Quand z varie, ces deux points décrivent deux arcs de courbes que nous assimilerons à deux droites parallèles et que nous arrêterons aux deux droites correspondant aux valeurs limites de z. Le diagramme d'équilibre est alors le parallélogramme M'M'N'N*.

D'autre part, quand le moment résistant est donné, le moment moyen peut, sans que F état de régime soit compromis, osciller entre certaines limites; ce fait d'expérience s'explique, comme nous l'avons déjà vu, par les résistances parasites et par les pertes de charge qui résultent de la marche même du moteur et qui vont en croissant avec la vitesse. On peut même dire que, théoriquement tout au moins, pour une valeur donnée du moment résistant, le manchon pourrait être fixé à demeure, dans une position quelconque, sans empêcher l'établissement d'un état de régime ; la seule chose à craindre serait que ce régime n'entraînât une vitesse excessive. A chaque position z du manchon correspond ainsi une valeur de x du carré de la vitesse de régime. La relation ainsi obtenue entre z et x est figurée par une ligne que nous appellerons la ligne de régime LR correspondant au moment résistant, donné par hypothèse.

Ceci posé, imaginons que, le régime étant établi, le moment résistant éprouve brusquement une diminution légère et constante. Le point figuratif décrit, à l'intérieur du diagramme, un segment horizontal Q'Q" dû aux petites oscillations périodiques de la vitesse corrélatives des oscillations éprouvées par le moment moteur à chaque tour de manivelle ; en même temps le point milieu P de ce segment se déplace de gauche à droite. Si le point P atteint la nouvelle ligne de régime R'L', déterminée par le nouveau moment résistant, avant que le point Q' n'arrive en P', le régime se trouve spontanément rétabli. Dans le

Fio. 234.

Fio. 235.

cas contraire, dès que Q' coïncide avec P', le régulateur entre en action. Il est à remarquer que ceci se produira toujours au voisinage du maximum de vitesse par tour. Or, l'étude détaillée des variations du moment moteur d'une machine monocylindrique marchant à l'état de régime montre que, pour chaque tour, le maximum de vitesse se produit pendant la période de détente. Dans ces conditions, l'effet du déplacement du manchon sera nul dans les premiers instants ; la correction ne commencera à se faire sentir qu'à l'origine de la course suivante.

L'excès moyen du moment moteur étant supposé très faible, la vitesse moyenne ne s'accroît que lentement, et la vitesse réelle, après avoir un peu dépassé la vitesse", d'équilibre, ne tarde pas à redescendre au-dessous de cette vitesse. Le régulateur ne subit donc qu'une impulsion passagère et s'arrête après avoir subi un déplacement dont noué allons bientôt calculer la grandeur. Si ce déplacement est juste suffisant pour corriger l'écart de régime, c'est-à-dire pour ramener le point Q' à gauche de P', la perturbation est terminée.

Si le déplacement est insuffisant, il laisse subsister un certain excès de moment moteur, plus faible que le premier, et alors, par le fait de l'accroissement progressif de la vitesse moyenne, le point Q' ne tarde pas à atteindre de nouveau la ligne M'N', ce qui oblige le régulateur à éprouver un nouveau déplacement analogue au premier. Ces mêmes phases se reproduisent jusqu'à ce que F état de régime soit définitivement rétabli.

Chaque phase de déplacement de marche est représentée par une sorte d'arceau À (fig. 234) et les étapes successives de la régularisation donnent lieu à une suite d'arceaux AA'A'...

Si le déplacement correspondant au premier arceau réduit outre mesure le travail moteur, le point figuratif, après avoir parcouru cet arceau , se meut vers la gauche jusqu'à ce qu'il rencontre en S (fig. 235) la ligne d'équilibre à la descente. À partir de là, il décrit un arceau B, analogue au premier, mais avec une différence essentielle. Tandis que les arceaux de la fig. 234 se produisent en cours de détente, c'est-à-dire sans action immédiate au point de vue de la régularisation, ici le mouvement a lieu dans le voisinage d'un minimum de vitesse de la machine, c'est-à-dire en pleine admission : l'effet régulateur est donc de ce chef beaucoup plus rapide. Suivant que le point S' qui termine l'arceau B, est plus rapproché ou plus éloigné que le point P de la ligne de régime R'L', le parcours PP' ASBS' a un effet utile ou un effet nuisible. Dans le premier cas, il y a toutes chances pour que les oscillations dues au régulateur aillent en s'atténua nt. Dans le second cas au contraire, il est présumable a priori qu'elles s'exagéreront de plus en plus.

Nous allons maintenant analyser de plus près la nature d'un arceau, en supposant que le lancé du régulateur se produise au cours de la détente. Le moment moteur décroît régulièrement pendant la détente, depuis sa valeur initiale M„ jusqu'à zéro. On peut admettre, avec une approximation suffisante, qu'il est représenté dans cette période par une fonction linéaire A7J-B6 de l'angle de rotation 0. Les deux équations (4) s écrivent alors :

L'intégration de la première donne :

Ir (x— x t ) = r (A — N) + B&*.

Si nous convenons de compter l'angle 8 à partir de la position pour laquelle il y a un

dx maximum de vitesse nous devons avoir — = pour G == 0, d'où A = N et par suite :

lr(x— x l )=Bb\

La constante x t qui figure dans cette équation est précisément la valeur maxima de x. Nous trouvons ensuite pour z :

La vitesse d'équilibre du régulateur, atteinte à l'instant où commence le lancé, correspond à une valeur de 8 un peu inférieure à celle du maximum. Soit — e cette valeur de et soient a? , z Q les valeurs correspondantes de x et 3. On a, d'après la définition de ~ :

D'ailleurs Ir {x — X|) = Be 2 .

D'après cela :

d*z Bh.

- = - { V- t >)-ah(z-z ).

Remplaçant comme précédemment ah par />*, on est conduit à l'intégrale générale : z = z 9 + C, cos />0 -f G, sin />0 + — U 1 — e f — -A

Les constantes C< et Cj se déterminent en écrivant que pour 8 = — s, c'est-à-dire au

dz moment où commence le déplacement du manchon, on a z=z et -^ = o. Pour faire commodément cette détermination, changeons en — e, ce qui revient à compter l'angle à partir de l'origine du lancé. L'équation précédente conserve sa forme sauf le remplacement de G 2 par (Q — e) 1 . On trouve alors les deux conditions :

r 2BAe

Si Ton pose pour abréger ^ — 2 =C> il vient finalement,

z = jSù (1 — cos pb) (/>6 — sin/>0) -f- CO*.

dz Le mouvement du manchon s'annule à l'instant où la dérivée -r-, nulle au point de

départ, s'annule de nouveau, c'est-à-dire quand on a :

/>0 — sin />0 — e/> (\ — cos/>0) = o.

En discutant cette équation, on trouve que pour les petites valeurs de e, la plus petite racine non nulle est sensiblement = 3e.

D autre part, la relation entre a? et devient avec la nouvelle origine adoptée pour les angles S :

Ir (x — a? o ) = B0 (0 — 2e),

et sous cette forme on voit que pour une rotation 2e de l'arbre du régulateur le carré x de la vitesse angulaire revient à sa valeur primitive x , qui était la vitesse d'équilibre avant le lancé. Comme les angles de rotation sont sensiblement proportionnels aux temps, on est donc conduit à ce résultat simple :

Si la viies&e initiale d'équilibre ri est dépassée que pendant un temps très court , la tancée du régulateur dure une fois et demie le même temps.

Si maintenant on calcule l'importance du déplacement éprouvé par le manchon, on trouve, pour = 3e :

z ='z — j ÇpV.

La constante C, qui figure dans cette expression, peut s'évaluer en fonction de la

quantité x x — x dont le carré de la vitesse angulaire s'élève en dessus de sa valeur initiale. Nous avons en effet

Donc

P Bh h(x i —x a ) — Irp* ph*

Z = j5 4--7-/lc 2 (a?, Xf>).

On peut encore donner à cette expression une autre forme. Nous avons représenté par A-|-B8 le moment moteur pendant la période de délente. Si D désigne l'angle dont tourne Y arbre du régulateur pendant cette période et M la valeur du moment moteur à l'origine de la détente, l'expression A-j-Bô doit varier de M à zéro, quand augmente

de D. On en déduit la relation : — BD = M, d'où e 2 = Ir (*» — sO ^ IrDfo — g Q )

et par suite :

, 9 Ir/tD (a? t — ,r Q )*

z - Zo + J M~ '

Supposons qu'au maximum de vitesse de la course précédente, la vitesse d'équilibre ait été exactement atteinte et désignons par AN l'écart entre le moment moteur moyen et le moment résistant.

D'une course de piston à la suivante, c'est-à-dire pour une rotation x du volant, la force vive IQ* de la machine éprouve l'accroissement 2^AN ; mais Q* = r*x.

Donc r 1 (x t — x )= — = — .

Il vient alors :

Q f AD (AN)*

Tel est le déplacement éprouvé par le manchon. En continuant à désigner par X le rapport entre la variation du moment moteur moyen et le déplacement correspondant du manchon, on voit que le lancé dû au phénomène que nous étudions se traduit par une variation du moment moteur moyen qui est égale à :

Cette expression permet de mesurer la rapidité avec laquelle le régulateur intervient pour corriger les écarts de régime quand il s'agit de perturbations assez faibles pour que le manchon ne se déplace que par saccades correspondant aux maxima de vitesse de la machine.

On remarque que la variation du moment moteur est pro port ionh elle à =-?.

Il est intéressant de comparer, au point de vue qui nous occupe ici, Faction d'une valve d'étranglement et celle d'une détente variable. A cet effet, construisons un diagramme (fîg. 236) dans lequel les abscisses soient proportionnelles aux angles de rotation du volant, tandis que les ordonnées mesurent les moments moteurs. Une course de piston correspond à une rotation w; représentons-la par la longueur OA, Soit OB la rotation qui correspond à l'admission et par conséquent BA la rotation qui correspond h la détente D. Au point B, le moment moteur a une valeur BG = M. On peut, avec une approximation

assez grossière, mais suffisante pour notre objet, admettre que le moment moteur, nul aux deux extrémités de la course, croît proportionnellement à la rotation, suivant la ligne droite OC, puis décroît de même suivant la ligne droite CA. L'aire OCA mesure le travail moteur pour une course de piston, et à l'état de régime, ce travail est égal au travail résistant. Pour réduire le travail moteur dans une proportion déterminée, la valve d'étran-

Fio. 236.

glement abaisse le point C dans la position C", sans modifier l'abscisse OB. Le régulateur de détente amène le point C en G' sur la droite OC, de telle façon que C'C soit parallèle à OA. La détente prend la nouvelle valeur AB' = D'. Soit M' la valeur commune des moments

B'C et B"C". Le rapport ^ éprouve dans le cas de la valve d'étranglement, la variation

™ — z-jj= — Krrrr, — - Dans le cas de la détente variable, ce même rapport éprouve la

. .. D' D A % variation ^ — Ti . Or -

= Tr , d'où

— d — sr

Comme D est inférieur à x,

on voit que le rapport =r-=. augmente plus vite dans le second cas que dans le premier.

Par conséquent, s'il est vrai que, dans les deux cas, la régularisation par saccades est d'autant plus active que la machine marche à plus faible charge, cet effet est beaucoup plus prononcé avec la détente variable qu avec la valve d'étranglement. Ici encore, nous constatons que le régulateur de détente est influencé, plus fortement que le régulateur à détente fixe, par l'état de régime existant au début de la perturbation.

Observons enfin qu'on ne doit pas, sous peine d'exagérer la tendance du système aux oscillations à courte période, accepter pour l'expression (1) une trop grande valeur. Cette

condition limite, en particulier, le coefficient X, égal comme nous le savons à y^r. Il y

aurait donc inconvénient, sous ce rapport, à réduire outre mesure la course 2L du manchon. Nous nous sommes borné dans cette étude au calcul du premier arceau. L'examen des circonstances qui accompagnent la production des arceaux successifs nous entraînerait trop loin sans grand résultat pratique. On trouvera cet examen dans l'ouvrage « Régularisation du mouvement dans les machines ».