THÉORIES DIVERSES

Le sujet qui nous occupe est d'une telle complication qu'on ne peut l'aborder mathématiquement sans négliger certains éléments; la question la plus délicate est de choisir avec discernement les éléments qu'on laisse ainsi de coté. Dans les chapitres qui précèdent, j'ai exposé une théorie qui paraît serrer d'assez près la réalité des choses. Je vais maintenant, à titre de comparaison, examiner les résultats auxquels sont parvenus divers auteurs qui se sont placés à des points de vue plus ou moins différents,

Rolland, dans son mémoire Sur rétablissement des régulateurs de la vitesse {Journal de VÉcole polytechnique, 1870) évalue la force vive du régulateur et l'égale au travail des forces dans le mouvement relatif. Cette méthode est correcte ; mais le travail se trouve représenté par une intégrale dont il est difficile de tirer quelque chose. Aussi l'auteur se borne-t-il à écrire l'équation sans en discuter les conséquences, En 1876 [Comptes rendus de V Académie des Sciences), il annonce qu'il a rédigé sur ce sujet un nouveau mémoire, et il en indique les grandes lignes de la façon suivante : a et d étant deux variables qui définissent la position du régulateur et la vitesse du volant au temps t, on a, pour le

régulateur, une équation de la forme -r— = f (a, a>), et, pour la machine prise isolément

une autre équation — = y (a). Il faut éliminer soit ù>, soit a. Malheureusement f dit

Rolland, cette élimination présente le plus souvent des difficultés considérables, et, par suite, n'est soluble qu'en choisissant convenablement les termes et en se bornant à des solutions approchées. Aussi l'auteur ajoute-t-il qu'il s'est borné à l'étude d'une roue hydraulique dont la puissance puisse être considérée comme proportionnelle à l'ouverture de la vanne. Il est ainsi parvenu « à une équation finale en * et t, linéaire, du troisième degré, à coefficients constants ». C'est manifestement notre équation (5) du chapitre II.

Resal, dans son Traité de mécanique générale, suppose également l'effet de la valve proportionnel à son déplacement, mais il néglige en outre les effets de l'inertie du régulateur, effets dont il paraît nécessaire de tenir compte. En traitant d'ailleurs comme une quantité infiniment petite la variation de vitesse du volant, il parvient à une équation linéaire du premier ordre, facile à intégrer. Le résultat se présente sous une forme très compliquée.

M. Worms de Romilly, dans un Mémoire sur divers systèmes de régulateurs à force centrifuge, inséré en 1872 aux Annales des Mines, développe un calcul fort analogue à celui qui a fait l'objet du chapitre II. Il remarque que l'intégration de l'équation différentielle du troisième ordre introduit un terme de la forme e^ eos (fâO — y) qui est périodique, et dont le maximum augmente en valeur absolue avec le temps. Puis il ajoute : « En pratique, les régulateurs ordinaires ne présentent pas, en général, le caractère d'oscillation divergente que nous donne le calcul ; cela peut provenir de deux causes dont nous n'avons pas tenu compte. La première est le frottement; il nous semble difficile de prévoir quelle peut être son influence. La seconde est que la puissance n'agit pas d'une

manière continue comme nous l'avons admis, mais par une série d'impulsions successives, périodiques, dont l'intensité varie constamment et se reproduit à peu près de même à chaque coup de piston. »

Nous avons montré comment le frottement, en rompant la continuité de l'intégrale, suffit à expliquer l'absence d'oscillations divergentes. Quant au phénomène des impulsions successives, il ne semble pouvoir jouer un rôle appréciable que dans le cas de faibles perturbations ou bien à l'instant où Ton approche de l'état de régime. Nous avons analysé ce phénomène en détail dans le chapitre IV.

Tfiéorie de Wischnegradski.

J. Wischnegradski, professeur à l'Institut technologique de Saint-Pétersbourg, a présenté, en 1876, à l'Académie des Sciences de Paris, un Mémoire sur la théorie générale des régulateurs, qui a été ultérieurement publié en russe dans le Messager de l'Institut technologique, en allemand dans le Civil Ingénieur, et en français dans la Revue universelle des Mines (2° série, tome IV). L'auteur considère un régulateur à force centrifuge pourvu d'une cataracte, et il admel que le moment moteur varie proportionnellement au déplacement du manchon. Dans ces conditions, il parvient à une équation différentielle complète de troisième ordre à coefficients constants, ou du moins regardés comme constants, qu'il écrit :

(Pu . ..cPu , XT du , KgL Kg . - x

en appelant :

u le déplacement du manchon ;

pp la valeur normale du moment de la résistance ;

Qp la valeur actuelle de ce moment (supposée constante) ;

L un coefficient positif tel que Lu mesure la variation de moment moteur due au déplacement u;

I le moment d'inertie du volant;

Q) la vitesse angulaire normale du volant ;

Kg le coefficient par lequel il faut multiplier le rapport de la différence des vitesses effective et normale de la machine à la vitesse normale, pour obtenir la part d'accélération du manchon due à la force centrifuge ;

M le coefficient par lequel il faut multiplier la vitesse du manchon pour obtenir le

ralentissement dû à la cataracte ;

N r^- le coefficient par lequel il faut multiplier u pour trouver le rapport entre l'excès

de la vitesse d'équilibre correspondante sur la vitesse normale et la vitesse normale. Si l'on nomme 6', 6", 6'" les trois racines de l'équation caractérisque

e 3 + Me* + Ne + ^ = o,

et si on laisse de côté les cas particuliers où il y aurait des racines égales, l'intégrale générale est

a = (P ~ Q) P + Ce 6 '' + De" + Ee".

Les trois constantes arbitraires C, D, E se déterminent en écrivant que, pour t =s= 0, u est nul, ainsi que ses deux premières dérivées.

Deux cas sont à distinguer, suivant que les trois racines sont réelles ou suivant qu'il y a deux racines imaginaires.

Premier cas. — Trois racines réelles. — Les coefficients de l'équation étant tous positifs, les racines sont négatives. La quantité u varie toujours dans le même sens et

tend asymptotiquement vers la limite u = — — = — — qui correspond à Tétat final de

régime.

Deuxième cas. — Deux racines imaginaires a + $- — La valeur de u peut se mettre sous la forme

u = (p — Q)p | c /t | ( D cos y ^ E sin ^ e *t.

Suivant que la partie réelle a des racines imaginaires est positive ou négative, le dernier terme de cette formule représente des oscillations divergentes ou des oscillations convergentes. Ces oscillations se combinent avec le mouvement progressif correspondant

au terme Ce , et, quand la constante a est négative, le mouvement résultant nest réellement oscillatoire que si cette constante a une valeur absolue inférieure à celle de ô'< Lorsqu'il y a convergence, la limite de u est la même que dans le premier cas,

La théorie de Fauteur, irréprochable dans le premier cas, est au contraire en partie nadmissible dans le second. Nous nous sommes déjà expliqué sur ce sujet dans le chapitre IL Du moment où il y a changement de signe dans le mouvement, l'action du frottement varie brusquement, et une seule intégrale n'est plus susceptible de représenter les phases successives; il faut, pour chaque phase, déterminer de nouveau les constantes C, D, E, en reportant l'origine du temps au début de la phase.

Cette réserve faite, cherchons avec Wischnegradski comment on peut distinguer auquel des deux cas on a affaire. Si Ton pose

l'équation caractéristique prend la forme

? 3 + a? ? « + yep + 1 = 0.

La condition de réalité des trois racines est fournie par l'inégalité

Construisons la courbe représentée par le premier membre égal à zéro. Celte courbe, réduite aux valeurs positives de a?, y (qui seules nous intéressent) s est dessinée en DE F

(fig. 237). Elle possède un point de rebrousseraient au point E dont les coordonnées sont 3, y = 3. Les positions situées à l'intérieur de l'angle DEF correspondent au cas de trois racines réelles. En dehors de cet angle, il y a deux racines imaginaires.

Fig. 237.

Lorsque l'équation en ç a deux racines imaginaires y ± *3 et une racine réelle ?', on peut, en se servant des relations connues entre les coefficients et les racines, écrire les trois relations

d'où

Sous cette forme, on voit que y a le même signe que 1 — xy. La condition nécessaire et suffisante pour que y (et par conséquent a) soit négatif est donc

c'est-à-dire que le point figuratif doit se trouver dans la concavité de l'hyperbole équilatère GHK.

Enfin, pour que a soit, en valeur absolue, inférieur à 8', et, par conséquent, pour que le mouvement soit oscillatoire, il faut que la valeur absolue de y soit inférieure à celle de y'. En cherchant le lieu des points pour lesquels y = y, on trouve aisément :

2& gX y + 27 = 0.

C'est la courbe LMEN de la fig. 237. Les mouvements oscillatoires ont lieu pour les points situés au-dessous de cette courbe. La courbe LMEN se raccorde en E avec la courbe DEF.

En résumé :

Dans la région située au-dessus de la ligne LMEF, le mouvement est asymptotique.

Dans la région comprise entre cette ligne et l'hyperbole GHK, le mouvement est oscillatoire et convergent.

Dans la région comprise entre l'hyperbole et les axes, le mouvement est oscillatoire et divergent.

Je répète encore que ces conclusions ne sont admissibles qu'en ce qui concerne la distinction des mouvements asymptotiques et des mouvements oscillatoires.

Ce qu'il faut surtout retenir, c'est la possibilité de construire des régulateurs ne présentant aucune tendance au mouvement oscillatoire. Cette possibilité est subordonnée à l'emploi d'une cataracte suffisamment puissante. La régularisation se fait alors d'une façon progressive, sans jamais dépasser le but, mais elle a lieu nécessairement avec une certaine lenteur.

La vitesse limite de la machine est aisée à calculer, à condition d'admettre que les résistances passives ne croissent pas sensiblement avec cette vitesse. On trouve :

N(/)-Q)p- + K Lg

La vitesse limite est donc indépendante de la puissance de la cataracte.

En comparant la théorie de Wischnegradski avec celle qui a été développée au chapitre II, on constate que la différence consiste surtout dans le rôle essentiel attribué par l'auteur russe à la cataracte. En tenant compte du renversement du frottement à chaque oscillation, nous avons été conduits à considérer un régulateur comme stable quand le manchon s'arrête, à la fin de sa première demi-oscillation , après avoir dépassé la position de régime d'une longueur inférieure à l'écart initial, et nous avons trouvé que, sans cataracte, le rapport entre les deux écarts dépend uniquement de la fonction que nous

avons nommée - . Wischnegradski n'a pas calculé ce rapport, qui n'intéressait pas directs tement sa théorie. Mais il est aisé de s'assurer qu'en réalité *y ne diffère pas du nombre

appelé par lui y. Pour faire cette vérification, on n'a qu'à employer les formules

(i) = Q = Tii)

Kff~ 2u>* Kff = 8Ao) s L = X

qui tiennent compte de la différence des notations.

Théorie de Hirsch.

Hirsch, dans son Cours de machine professé à V Ecole des ponts et chaussées (édition autographiée, 1877-78) néglige l'inertie des boules; en outre, il considère l'action de la

valve comme discontinue, ce qui rapproche sa théorie de celle^que nous avons développée au chapitre III. On peut la résumer de la manière suivante.

On veut atteindre un régime final, pour lequel on connaît le travail moteur par course <£", le travail résistant par course R, et la vitesse angulaire a>. On :a nécessairement £"= R. Soient, pour un instant quelconque de la période transitoire, S"' le travail moteur par course, <■>' la vitesse angulaire au commencement de la course, et </ la vitesse angulaire à la fin. Le travail résistant est censé avoir déjà acquis sa Valeur définitive- R. On suppose en outre u/ > o><

On admet que le travail moteur par course est une fonction 9 (u/) de la vitesse angulaire au début de cette course, et Ton écrit :

(en négligeant les puissances de <*/ — a> supérieures à la première).

J je?*

La fonction 9 doit croître quand u diminue : donc -j- est négatif. Soit -7— sa valeur absolue. En remarquant en outre que 9 (o>) = fT= R on peut écrire :

L'équation des forces vives donne, d'autre part :

ou bien

CO G)' I G)"-j-<i)' "

Si Ion remplace approximativement — ~I — par o> et si Ton pose : .

' àV T

il vient

t/ — (i) / = a((o / — w), ou bien

Cette équation montre que si o- = 1 , on a, au bout dune seule course w = (/ et par conséquent l'état de régime est atteint dès la première course. Si <y est différent de l'unité, la répétition du même calcul donne au bout de n courses

Si a<Cli a) — o>n tend vers zéro : la vitesse tend vers sa valeur finale en décroissant constamment, et ne l'atteint théoriquement qu'au bout d'un temps infini, si a est plus grand que un } mais plus petit que 2, la vitesse tend encore vers la limite w, mais en prenant des valeurs alternativement plus grandes et plus petites. Enfin, si a<C ; 2,. l'appareil pré-

sente des oscillations divergentes. En résumé, la stabilité du régulateur ne peut exister que pour les valeurs de <j inférieures à 2, et la rapidité d'action est d'autant plus grande que <y est plus voisin de l'unité.

Pour comparer ce résultat avec ceux qui ont été trouvés précédemment, il faut faire attention que u> représente ici la vitesse du volant, désignée auparavant pas m, et que, de plus, la position de la valve est regardée par Hirsch comme en relation directe et immédiate avec la vitesse angulaire : ce qui revient à confondre x avec £. On a, dans ces conditions :

dK 2 dx r*

d<5 dz

d'ailleurs,

frétant le travail moteur dans une course

et N le moment résistant

moyen,

vient

d'où

dfr

= i:rfN —iz'hdz

Finalement

Tel est le coefficient considéré comme caractéristique dans la théorie de Hirsch.

Cette théorie, séduisante par sa simplicité, exige que les boules, au commencement de chaque course, se trouvent sensiblement dans la position d équilibre correspondant a la vitesse actuelle du volant (# = £), malheureusement il n'en est rien. En prenant un exemple particulier j'ai trouvé [Régularisation du mouvement dans les machines), qu'on pouvait ainsi commettre, sur le travail moteur développé dans une course, une erreur atteignant la moitié du travail maximum, c'est-à-dire la totalité du travail en marche moyenne. On doit donc absolument faire entrer en ligne de compte les effets de l'inertie. Ajoutons que Terreur dont il s'agit n'est pas de celles qui pourraient être corrigées par l'emploi d'une cataracte. Un appareil de ce genre retarde la mise en mouvement, et ne ferait qu'augmenter au bout d'un instant la distance entre la position réelle des boules et la position supposée.

Méthode de M. Dwelshauvers-Bèry .

M. Dwelshauvers-Déry [Étude expérimentale dynamique de ta machine à vapeur, Encyclopédie des aide-mémoire, 1894) commence par procéder à la façon de Rolland, et déclare qu'on ive peut rien tirer « au point de vue mathématique pur » de l'équation des forces vives à laquelle il parvient. Pour tourner la difficulté, il fractionne alors la variation éprouvée par l'inclinaison des tiges du régulateur en une suite de petits écarts, qu'il prend égaux à trois degrés, et il admet que chacun de ces angles est décrit par le régulateur avec une vitesse uniforme. Il se borne d'ailleurs à examiner le cas où la perturbation survient juste au commencement de la détente, et il suppose que pendant cette détente, la vitesse reste constante et égale à la moyenne de ses valeurs initiale et finale : hypothèse fort critiquable, car la vitesse n'intervient que par son excès sur la vitesse d'équilibre, excès qui éprouve des variations relatives illimitées. Il parvient ainsi à calculer, de proche en proche, les valeurs de l'inclinaison en fonction du temps. Cette méthode a le double inconvénient de s'appuyer sur des suppositions par trop éloignées de la vraisemblance, et d'accumuler les erreurs commises pour chacun des intervalles successifs. En outre, si elle se prête à l'examen d'un cas particulier, elle ne permet pas d'établir des formules générales.

Travaux de M. Marié.

M. Georges Marié est l'auteur d'une suite de mémoires qui ont paru en 1878, 1887, 1896, dans les Annales des mines et dont l'ensemble a été, en 1895, couronné par l'Académie des sciences (prixFourneyron), conjointement avec mon étude sur la régularisation. Je résumerai ici les grandes lignes du mémoire de 1898, qui reprend et complète la théorie exposée dans ceux Je 1878 et 1887.

L'auteur commence par considérer une machine idéale pour laquelle la vitesse a> du volant serait comprise entre deux limites cot et o* et qui satisferait aux six conditions suivantes :

1. La position du manchon est fonction de la seule variable w. Le manchon est relié directement à l'organe de réglage de la distribution. L'admission est nulle quand le manchon est au haut de sa course et supérieure à celle qui donne un travail moteur égal au travail résistant maximum, quand le manchon est au bas de sa course.

2. Le manchon n'est aucunement influencé par les frottements et par l'effort nécessaire pour le réglage.

3. Le moment moteur et le moment résistant sont l'un et l'autre constants par rapport à Taxe du volant.

4. Le manchon fait varier le travail moteur aussitôt qu'il se déplace.

5. Le manchon n'est pas influencé par son inertie propre, non plus que parcelle des autres pièces du régulateur.

6. Les variations du travail moteur sont sensiblement proportionnelles aux déplacements du manchon.

Si toutes ces conditions sont réalisées, il est évident que la vitesse <*> ne pourra jamais sortir des limites u), et co*.

En pratique, on s'éloigne plus ou moins de ces six conditions, et de là résultent des perturbations de diverse nature. M. Marié étudie séparément quatre genres de perturbation.

Ici 7 une remarque s'impose, et, pour la formuler, je reproduirai les termes du rapport de M. Léaute sur le concours du prix Fourneyron (1895). Après avoir caractérisé la méthode de M. Marié en disant qu'elle consiste à « rechercher les diverses causes qui peuvent amener des oscillations dans le fonctionnement du régulateur, les prendre à part successivement, et, dans chaque cas, voir quelles valeurs il faut donner aux éléments qui caractérisent le volant et le régulateur pour éviter ces oscillations ». M. Léauté ajoute : « Prendre dans un problème les divers éléments qui y interviennent et les étudier à part pour éviter ainsi la complication qui résulte de leur superposition est une manière d opérer qui paraît simple et qui est fort dangereuse ; on pourrait en citer comme exemple le problème de la régulation lui-même; c'est ce mode de disjonction des questions qui la obscurci et qui a permis pendant quelque temps la grave erreur des régulateurs isochrones, n

Quoi qu'il en soit, nous allons passer en revue, avec M. Marié, les quatre principaux genres de perturbation.

Perturbations du premier genre. — Ces perturbations sont dues à la variation périodique éprouvée par le moment moteur dans l'intervalle d'un tour du volant. Pour les rendre insensibles, il faut, d'après M. Marié, faire en sorte qu'à l'état de régime, l'écart relatif des vitesses extrêmes du volant soit notablement plus petit que l'écart relatif des vitesses correspondant aux positions extrêmes du manchon. (Il semblerait plus juste de dire que 1 écart des vitesses du volant doit être inférieur à l'écart des vitesses entre lesquelles le ma ne bon peut rester immobile grâce à la présence des résistances passives opposées à son déplacement.) Si le volant est trop faible, il se produit des oscillations rapides du

manchon et de l'organe de réglage de la distribution, ce qui trouble la marche de la machine. Cependant, il faut remarquer, avec M. Marié, que quand on emploie des régulateurs très lourds, et lorsque la vitesse de rotation est grande, cet inconvénient est très atténué, à cause de l'inertie du régulateur, qui est incapable de suivre toutes les petites variations de la vitesse. D autre part, quand le régulateur est rais en mouvement par une courroie, l'élasticité de cette courroie lui permet de tourner plus régulièrement que le volant, ce qui diminue encore les oscillations du manchon. Enfin le frein à huile et tous les frottements servent aussi à diminuer les oscillations du manchon dues à cette cause.

Perturbations du second genre. — Elles sont dues aux forces d'inertie mises eu jeu pendant le déplacement du manchon. Pour faire leur théorie, M. Marié commence par évaluer la vitesse maxima du manchon dans le cas le plus défavorable. 11 suppose que le manchon passe d'un seul coup de sa position inférieure à sa position supérieure, et que, pendant toute la durée de ce déplacement , le travail moteur est égal à son maximum tandis que le travail résistant est nul. Soient M la masse de la jante du volant et Y sa vitesse. Admettant que la force vive du système est sensiblement MV% appelant V\ et V s les val.eurs extrêmes de V, désignant par T le travail moteur maximum par seconde, et par x le temps employé par le manchon pour parcourir sa course totale , on est conduit à l'équation

M (W — V,*) = 2Tr.

Observons que cette équation, pour être exacte, exigerait que la vitesse du volant fût, à chaque instant, exactement celle qui correspond, dans F état de régime, à la position du manchon, hypothèse incompatible avec l'existence des forces d'inertie dont on veut justement évaluer l'effet. Il n'y a aucune raison pour que le manchon atteigne le haut de sa course en même temps que le volant arrive à la vitesse V s . Cette réserve faite, si Ton remplace T par 4>X 75 ($ désignant la force maxima en chevaux) et si Ton pose

W = Vl + V ' E = V * ~ S

2 ' tt V t + V/

on peut écrire

- MW !

x — — *~ X ÏT

W est sensiblement la vitesse de régime de la jante du volant ; E est l'écart relatif des vitesses extrêmes.

Considérant le temps x que met le manchon à parcourir sa course c, la vitesse

moyenne du manchon est donnée par le rapport -.

M. Marié ajoute que cette vitesse moyenne çst en même temps vitesse maxima, et pour l'établir, il cherche à faire voir que le mouvement du manchon est uniforme. Voici son raisonnement :

Le travail moteur étant maximum et le travail résistant étant nul, le volant prend un

mouvement uniformément accéléré, et l'on a m — A -|- B/, A et B étant des constantes.

D'ailleurs, dans le régulateur de Watt ou dans celui de Porter, la distance l du manchon au

K sommet du régulateur est en raison inverse de w* d où /= -a* Par diiîérentiation on obtient

Lbcoiuiu. — Régulateurs des machines à v*peur r 16

- U2 — la vitesse -*- ci ascension du manchon, qui est en raison inverse du cube de a> ; la vitesse w

tx p

étant comprise en ire des limites assez rapprochées, il en est de même de la vitesse d'ascension.

Ici encore, l'influence de l'inertie est indûment laissée de côté ; en réalité, le manchon, pendant son mouvement, est fort loin d'occuper à chaque instant la position que lui donnerait, s'il était au repos, l'action de la force centrifuge combinée avec celle de la

pesanteur et par conséquent la formule / = ~ n'est nullement applicable. Si la vitesse

du manchon était en raison inverse du cube de <i>, comme le veut cette formule, le maximum aurait lieu au début de l'ascension; loin de là, elle est rigoureusement nulle à cet instant, puisque le manchon ne peut acquérir une vitesse finie qu'au bout d'un trajet fini.

Après avoir déterminé, dans les conditions que nous venons de dire, la vitesse du manchon, M. Mario cherche comment on peut calculer un frein propre à arrêter cet organe au bout d r un parcours Xc, qui soit une fraction donnée de la course totale c. La résistance du frein est supposée égale à une constante F. Prenant, par exemple, le cas du régulateur de Porter, dans lequel le poids des boules est négligeable en présence du poids Q du manchon, et écrivant que la demi-force vive maxima est détruite par le travail du frein, on obtient l'équation

Mais il faut que le frein, par sa puissance même, ne trouble pas sensiblement la

marche du régulateur, et, pour cela, que la perturbation relative de vitesse due à son

action soit une fraction donnée ^ de l'écart de vitesse du régulateur. Cette perturbation,

F dans le cas du régulateur de Porter, a pour mesure ^-. On écrira donc :

et par suite :

ig\\»E'

Si Ton rapproche cette formule de celle qui exprime x en fonction de la force en chevaux et si Ton pose

MW*

V= — ^ — > dou : x = yx

il vient finalement :

75 I o__ I c y — 4 VV^E 3- V W

Telle est, d'après M. Marié, la formule de corrélation à laquelle conduit la considération des perturbations du second genre. La quantité y qu'elle permet de calculer, n'est autre chose que la demi-force vive du volant par cheval de force motrice maxima de la machine. Des formules analogues s'établissent aisément pour les autres types de régulateurs.

Si le frein est calculé de cette manière, on peut, jusqu'à un certain point, admettre que le manchon s'arrêtera au bout du parcours ac. Mais il faut observer qu'au moment de l'arrêt, le régulateur' ue se trouvera généralement pas dans la position qui correspondait au rétablissement de l'état de régime ; après s'être arrêté un instant, le manchon se mettra de nouveau en mouvement et effectuera des oscillations plus ou moins prononcées.

Proposons-nous de comparer les résultats de cette théorie avec ceux que fournit l'étude mathématique exposée au chapitre IL Nous avons trouvé que le chemin parcouru par le manchon depuis sa mise en route jusqu'à son premier arrêt est égal au chemin nécessaire pour corriger l'écart de régime, multiplié par un facteur dépendant uniquement du

L 1 W6L a rapport — ^ — ^

Dans la théorie de M. Marié, l'inverse du rapport entre le chemin parcouru et la course

totale est mesure par le nombre -, et Ton a

k~ z 36c ~ 144 ci* ' Pour revenir aux notations du chapitre II, on doit poser

MW» =

IÛ* = IrV

— (i>i aL

ii> G) -

M*WVE a

IVffVL

d ' où ~7¥~ -SCV'

Par conséquent, dans le coefficient caractéristique, le facteur h se trouve (eu laissant

% de côté le nombre 4} remplacé par -~. C'est là une profonde dissemblance entre les deux

théories, car le facteur £, qui dépend de la promptitude d'action, n'a aucune relation avec le facteur jjl déterminé par Y importance du frottement. Ainsi que nous le savons, le frottement ne joue en réalité aucun rôle tant que le manchon progresse dans le même sens parce qu'il est équilibré, dès le départ, par la force centrifuge. En outre, la théorie de M, Marié donne un parcours indépendant de la distance à laquelle le manchon se trouve originairement de la position finale de régime; et ceci encore est en contradiction avec les conclusions tirées de l'analyse mathématique du phénomène.

L'action F du frein a été supposée constante. En réalité, avec un frein à huile, la résistance est sensiblement proportionnelle à une puissance constante de la vitesse. M, Marié conseille de lui donner des dimensions telles qu'il otfre le même travail résistant total que le frein constant pour le même parcours Xc, Il y aura, au début, une perturbation relative de vitesse un peu plus grande qu'avec une résistance constante. En revanche, le manchon ne sera plus troublé par le frein lorsqu'il se rapprochera de sa position d'équilibre.

Dans le cas d'un régulateur de Porter additionné d'un ressort, l'équation —— ( - )

= FXc subsisterait sans modification ; mais l'équation jjlE^^ deviendrait ^E= b

R désignant la pression exercée par le ressort sur le manchon, et la formule de corrélation prendrait la forme y ^= 6 %/ ^—^i \/ /TTTfi' ^ n vo ^ a " ls ^ <I ue ^ a présence du

ressort a le grand avantage de réduire la puissance de volant nécessaire pour combattre les perturbations du second genre. Cette remarque s'étend, d'une manière générale, à tous les régulateurs pourvus de ressort, et elle s'explique, d'un mot, par le fait que les ressorts fonctionnent sans inertie sensible.

Perturbations du troisième genre, — Ce sont celles qui résultent des frottements du régulateur et des résistances de toute nature, y compris la réaction de l'organe de déclic (quand le régulateur en comporte un).

Pour que les frottements n'aient pas d'influence fâcheuse sur la marche du régulateur, il suffit, d'après M. Marié, que l'écart relatif de vitesse qu'ils permettent dans une position donnée du manchon soit sensiblement plus petit que l'écart relatif des vitesses correspondant aux deux positions extrêmes. Cette condition est toujours remplie en pratique quand le régulateur est bien construit, c'est-à-dire quand les pièces se meuvent aisément. Seuls, les appareils qui, comme celui d'Andrade, comportent des glissements relatifs, pourraient donner des mécomptes à cet égard.

Dans le cas où il y a un déclic, le régulateur, pour faire fonctionner cet organe, doit dépenser un certain travail T correspondant d'une part aux résistances passives, d'autre part à la force vive avec laquelle le déclic se met en mouvement après avoir abandonné la tige de distribution. Si l'on suppose connu ce travail, on peut, comme dans le cas des perturbations du second genre, écrire la relation

FXc = T.

D'ailleurs, avec les notations déjà employées, Ton a, dans le cas du système Porter :

Ces deux équations déterminent la puissance F du frein et le poids Q du manchon.

Perturbations du quatrième genre. — Quand il se produit, pendant la détente, une variation du travail résistant, la vitesse change, et ce n'est qu'à la Gn de l'admission suivante que le régulateur peut agir pour faire varier le travail moteur. De là une cause de perturbation que M. Marié range dans son quatrième genre. Après avoir rappelé que Hirsch est l'auteur d'une théorie où le jeu du régulateur est étudié à ce point de vue, M. Marié aborde à son tour la même question par un procédé un peu différent.

Soit d'abord le cas d'une machine monocylindrique capable de fournir, pour chaque révolution du volant, un travail maximum égal à 2T. On suppose que le travail résistant ne dépasse jamais cette même limite. Il peut arriver que, pendant la détente, une diminution subite du travail résistant permette au volant d'acquérir une vitesse V s assez grande pour porter le manchon au bout de sa course et rendre ainsi l'admission impossible. Si ensuite le moment résistant atteint brusquement une valeur égale au maximum' du moment moteur, et si le volant exécute une demi-révolution dans ces conditions, sa vitesse s'abaisse jusqu'à une limite Y, définie par la formule

On peut déterminer M de telle façon que V, soit la vitesse correspondant à la position inférieure du régulateur. De cette façon, même dans l'hypothèse la plus défavorable,

la vitesse ne sera pas sortie des limites correspondant à la course totale du manchon. Si Ton pose, comme précédemment

l'équation peut s'écrire