VI
En ajoutant ces deux solutions particulières, on obtient une solution qui contient trois constantes arbitraires A, B C et qui constitue, par suite, la solution la plus générale
de l'équation différentielle du troisième ordre dans l'hypothèse X == -r*.
Le mouvement asympto tique ne peut exister seul : car il ne donne une vitesse nulle qu'au bout d un temps infini, tandis qu en réalité, à l'origine de la perturbation, le manchon du régulateur part du repos. Le mouvement harmonique, au contraire, peut très bien
se produire seul. Il correspond à des oscillations indéfinies ayant pour période tt t / j-,
comme celles d'un pendule de longueur -7^ . Dans le mouvement le plus général, il y
a superposition du mouvement harmonique et du mouvement asympto tique ; mais celuici s'affaiblit rapidement, de telle façon que le régulateur tend toujours vers le mouvement purement harmonique.
Supposant ensuite que la constante X soit supérieure à -£-, l'auteur considère comme
évident que la force vive des oscillations s'anéantira par l'excès de travail de la cataracte et que, par suite, les amplitudes des oscillations diminueront, en sorte que le mouvement se
rapproche de l'état de régime. Si au contraire X < -7-, les oscillations augmenteront L'ac-
tion de la cataracte est représentée, dans ces calculs, par X -j- , M. Gretchaninow est
ainsi amené à conclure que, sans cet appareil, le mouvement de la machine ne peut être stable. Nous avons, au chapitre II, expliqué pour quel motif cette conclusion ne saurait être acceptée.
Au sujet de l'influence qui peut être due aux variations de vitesse angulaire provenant du mécanisme de la bielle et de la manivelle, M, Gretchaninow formule une remarque intéressante : ces variations ont un rôle utile en ce sens qu'elles contribuent à amortir la force vive acquise parle régulateur dans son mouvement relatif. Un frottement constant ne peut remplir cet objet, parce qu'il est équilibré, pendant le déplacement du manchon, par l'excès de force centrifuge développé avant le départ. Le frottement n'intervient donc que par sa partie variable. Or les variations périodiques de vitesse angulaire, si faibles qu'elles soient, ont justement pour effet de modifier la grandeur de frottement : car celui-ci est en rapport avec les pressions éprouvées par les appuis, pressions qui dépendent de la force centrifuge.
Un deuxième cas étudié par Fauteur est celui où le mouvement se fractionne en phases successives telles que le moment moteur pendant chacune d'elles soit constant et proportionnel au déplacement approuvé par le manchon à l'origine de cette phase; chaque phase est supposée correspondre à un demi-tour de l'arbre de la machine* On reconnaît ici les données adoptées dans la théorie de Hirsch; mais M. Gretchaninow traite le problème en tenant compte de l'inertie du régulateur, que Hirsch avait indûment négligée.
Soit a? la distance du manchon a la position de régime, au début de la phase considérée. On admet que le moment moteur conserve, pendant toute la phase, une valeur constante, proportionnelle à j? et que, par suite, la vitesse angulaire varie proportionnellement à xt, La force centrifuge peut être regardée comme variant dans le même rapport. Si doncp est la valeur initiale de son action sur le manchon, cette action sera, pu temps t égale à p -\- 2a?/, expression dans laquelle x désigne un facteur constant. D'autre part, quand le manchon éprouve un déplacement à partir de la position r, les forces antagonistes directement appliquées au manchon (pesanteur, ressorts), varient en fonction de z, et comme il ne s'agit ici que de faibles déplacements leur variation peut être regardée comme égale à ky, en appelant k un autre facteur constant. Le frottement, supposé constant, est équilibré par une partie de la force centrifuge, et il ny a pas lieu d'en tenir
compte, pourvu qu'on attribue à p une valeur convenable. D'après cela, l'équation du mouvement du manchon, pour un appareil dépourvu de cataracte, s'écrit :
m-T^ = — kz-\-<xxt-\-p.
D'après l'hypothèse, x est constant pendant toute la durée de la phase.
p-\-OLXt
Dans ces conditions, si l'on pose pour abréger -=- = b*, l'intégrale générale est
30* ou bien
+ A sin bt-\- B cos bt.
Pour la première phase, succédant à l'état de régime on doit faire p = o. En outre,
dz z et -y sont nuls à l'origine de cette phase. On trouve ainsi que le mouvement est représenté par l'équation
x=j£(bi — ànbi).
x t est la valeur de x à l'origine de la phase. On considère cette phase comme terminée lorsque ht acquiert la valeur^, d'où t — — =' t I -. Cette convention n'a de
raison d'être que si la durée ainsi obtenue coïncide avec celle d'un demi-tour du volant, autrement dit si, en appelant N le nombre de tours de volant par minute, on a la relation :
M. Gretchaninow se borne à l'examen de ce cas particulier.
En faisant * = « V / -r > on obtient aisément le déplacement, la vitesse et l'accélération s la fin de la première phase. L'on a à cet instant
^ /* ,\ ax,
Z - bk\2 V~" 0,5 'a*'
dz %x \ d-z ax, b
~dt = lT W*~~ÎT'
Au début de la phase suivante, le manchon conserve la position et la vitesse données par ces formules. Son accélération ne peut non plus varier d'une manière brusque, car la discontinuité éprouvée à cet instant par l'accélération de la machine, tout en modifiant la dérivée de la vitesse angulaire, et, par conséquent, celle de la force centrifuge ne saurait imposer à la force centrifuge elle-même un changement instantané de valeur. Si donc on reprend l'équation
m -7— = — kz -f- (xxt . + p pour 1'appHquer à la seconde phase, on doit, pour l'instant initial f = o, faire à la fois
z=o et -7jz= —r- , ce qui donne p== m ~- . Appelons p± cette valeur de p. Il faut, en
outre, attribuer à x, pendant cette seconde phase, la valeur x, = :r, -J- 0,57 ~. Le mouvement, pendant la seconde phase, est représenté par l'équation
p t + x* f i j A sin u B cQs ^
Les constantes A et B se déterminent en écrivant que, pour/ — o, z est nul et -7- est égal à **
La seconde phase se termine quand Ztf acquiert de nouveau la valeur ^-
En continuant à appliquer le même procédé, on peut étudier les phases suivantes, Il faut toutefois ne pas dépasser l'instant où le manchon, après s'être arrêté, tendrait à retourner en arrière, car à cet instant le frottement changerait de valeur et introduirait dans l'équation du mouvement une discontinuité dont il serait nécessaire de tenir compte -
Admettons, avec M. Gretchaninow qu'on veuille faire en sorte que le manchon s'arrête à la fin de la troisième phase. Le calcul donne pour -r, les valeurs successives ; a?, a? 8 =?9,8!&i jv, = 0,lti.r t j"i = — 0,34^,
On voit que le manchon, à la fin de la troisième phase a dépasse la position moyenne (a? = o) d'une longueur égale au tiers de l'écart initial a?,. On est, en outre, conduit à la condition
Il est intéressant de rapprocher cette relation de celle que nous avons trouvée précédemment au chapitre III. L'équation différentielle qui nous a servi était de la forme :
Si l'on remplace 8 par W, u désignant la vitesse moyenne du régulateur, on trouve
L'équation employée par M. Gretchaninow étant pour la première phase
j^ -f- ~ 3 H atf = o,
rfr» l m ' m '
la comparaison des deux équations donne :
D'ailleurs A est la variation qu'il faudrait faire suhir au moment moteur pour rétablir son égalité avec le moment résistant. D'après la signification attribuée, dans le chapitre II,
au coefficient X, Ton a : \x = A, d'où : — = -= — w 1 .
m Ir
Nous avons trouvé que dans l'hypothèse où le déplacement du manchon serait, pen-
dant toute la phase, sans influence sur le travail moteur, ce déplacement aurait juste la valeur voulue pour corriger l'excès A dès le retour de l'admission si Ton vérifiait la relation
qui devient, avec les notations de M. Gretchaninow :
m 4 m 8 ' ou bien :
Pour dépasser le but d'une longueur égale au tiers de l'écart à corriger, il faudrait prendre
On conclut aisément de là qu'étant donné un régulateur installé dans les conditions indiquées au chapitre III, on devrait pour lui donner les propriétés dont parle M. Gretchaninow augmenter le coefficient X dans le rapport 1,7, et par conséquent diminuer dans ce rapport le parcours total du manchon. Il n'est pas étonnant que les deux théories aboutissent à des résultats un peu différents. Précédemment, nous admettions que le réglage devait être, effectué tout entier dès la première phase, sans que durant cette phase, le moment moteur éprouvât de variation (ce qui exige que la phase soit exécutée complètement au cours de la détente correspondant à un seul coup de piston). L'auteur russe admet au contraire que le manchon marche pendant un temps égal à la durée de plusieurs courses successives et que, dans ce laps de temps, le moment moteur est modifié à diverses reprises.
Si les équations qu'il emploie sont incompatibles avec le réglage en une seule fois, c'est uniquement à cause de l'hypothèse supplémentaire faite par lui sur la durée de chaque phase, qu'il prend exactement égale à celle d'une course de piston, dans le seul but de simplifier les calculs. Les deux théories concordent d'ailleurs pour faire jouer un
rôle essentiel en rapport — - qui est identique, aux notations près, avec le rapport ( - ) ou
IWA
a envisagé dans les chapitres II et III. A vrai dire, la connaissance de ce rapport
suffit pour les besoins de la pratique, car elle permet de se rendre compte de l'influence exercée par tel ou tel élément de la machine ou du régulateur.
Revenons à la théorie de M. Gretchaninow. A l'instant où s'arrête le manchon, après avoir dépassé la position moyenne dune longueur égale au tiers de l'écart initial, le réglage n'est nullement terminé : ainsi que le remarque l'auteur, sous l'influence du moment résultant (différence entre le moment moteur et le moment résistant) devenu négatif, la force centrifuge va diminuer jusqu'à ce que le frottement, changé également de signe, soit de nouveau surmonté, puis le manchon va retourner en arrière. Le calcul indique qu'avec un frottement supposé égal à hx i le repos persiste pendant huit tours de volant. Les oscillations qui se produisent sont donc à longue période, leur amplitude va en diminuant progressivement, et par conséquent le mouvement est stable.
Si, sans modifier le régulateur, on double la vitesse angulaire du volant, on trouve que le manchon une fois mis en mouvement, ne s'arrête pour la première fois qu'après avoir dépassé la position de régime d'une longueur supérieure à l'écart initial : le mouve-
ment est donc devenu instable. Mais si, en même temps qu'on double la vitesse du volant, on réduit son moment d'inertie dans le rapport 2\/2, on voit reparaître la stabilité; le manchon s'arrête entre la cinquième et la sixième phase, c'est-à-dire vers la lin du troisième tour de volant, et il se trouve alors à. la distance de 0,45 Xj environ au delà de la position de régime, x x désignant l'écart initial, En diminuant davantage le moment d'inertie du volant, on ferait renaître l'instabilité.
Ces conséquences du calcul sont fort intéressantes, elles montrent bien à quel point est délicate la corrélation entre le régulateur et le volant ; elles prouvent en outre que l'augmentation de la force vive du volant peut avoir parfois pour conséquence de détruire la stabilité du mouvement, bien loin de la renforcer.
Lorsqu'il existe une cataracte les calculs deviennent naturellement plus compliqués et je renvoie sur ce point à l'ouvrage de M. Gretchaninow.
Théorie de M. Stodota,
M. Stodola, professeur à Zurich, a publié en 1899, dans le Zeitschrift der Vereines deutscher ingenieure, un mémoire que nous avons déjà mentionné au chapitre des régula-
teurs d'inertie, et qui est intitulé Le principe de régularisation de Siemens et les régulateurs américains d'inertie. Dans ce mémoire, se trouve une théorie générale des régulateurs volants, obéissant à la fois à la force centrifuge et à l'inertie tangentielle. La
Corrélation avec la machine est rendue très claire par l'emploi d'une représentation graphique déjà appliquée en Amérique par M. Begtrup (American Machiniste 1893-1894) et en Allemagne par M. Toile (Zeitschrift, etc., 1895). Pour fixer les idées, nous considérons, avec l'auteur, un régulateur volant dans lequel une seule masse mobile, portée par une tige susceptible d'osciller autour d'un point fixe, est équilibrée, à l'état de régime, par la tension d'un ressort.
Considérant d'abord un régulateur dénué de frottements mais pourvu d'une cataracte qui exerce une résistance proportionnelle à la vitesse, M. Stodola cherche à quelles conditions cet appareil peut présenter des oscillations harmoniques, c'est-à-dire représentées par une fondation sinussoïdale du temps. La fig. 240, établie dans cette hypothèse, se compose de trois diagrammes qui ont tous les trois pour abscisses le parcours du régulateur, mesuré par l'angle d'écart de sa tige à partir de sa position moyenne c . Ô r désigne l'excursion totale, depuis l'admission en grand (position extrême à gauche) jusqu'à la suppression de l'admission (position extrême à droite). Dans le diagramme (a), les ordonnées figurent les vitesses o> de l'arbre du volant; et o> étant par hypothèse des fonctions harmoniques, la courbe ac t b décrite par le point figuratif est une ellipse, dont le grand axe ab = 2G a correspond à l'excursion effective pour la perturbation que l'on étudie, tandis que le demi-petit axe cc t est la différence entre. la vitesse que possède l'arbre au moment du passage par la position moyenne et la vitesse de régime o> . (La vitesse est maxima dans la position moyenne du régulateur, puisque c'est à ce moment qu'il y a équilibre entre le moment moteur et le moment résistant.) La vitesse de la tige du régulateur coïncide aux deux extrémités de la course avec celle du volant, puisque, dans ces deux positions, il y a repos relatif. Partout ailleurs, elle diffère de la vitesse du volant ; on peut la représenter par une seconde ellipse ac\b. La ligne sensiblement droite a x b x représente les vitesses qui devraient exister pour permettre l'équilibre du régulateur dans ses diverses positions.
Le diagramme (b) montre les forces qui sollicitent le régulateur, ou, plus exactement, les moments de ces forces. Dans la position D, qui correspond à </, nous avons en présence les quatre forces suivantes :
1° La force dite statique DD, proportionnelle à dd u c'est-à-dire à l'écart entre la vitesse d'équilibre d d x et la vitesse moyenne d d.
2° La force DD,, appelée force dynamique, proportionnelle à l'écart rfrf 2 entre la vitesse moyenne et la vitesse réelle. L ensemble des deux forces DD, et DD 8 est la force centrifuge qui sollicite réellement le régulateur à l'instant considéré.
3° La force d'inertie tangentielle D,D 3 .
4° La résistance de la cataracte DD' S .
(On admet que la tension du ressort est sensiblement constante, et conséquemment détruite par la force centrifuge correspondant à la vitesse moyenne d d.)
Le diagramme (c) figure simplement les actions auxquelles est soumise la machine; d'une part le moment résistant, regardé comme constant, et représenté par les ordonnées de la droite horizontale A'B' ; d'autre part le moment moteur, dont on suppose les variations proportionnelles aux déplacements du régulateur et représentées par les ordonnées de la droite inclinée A',B',. A l'extrémité gauche de la course totale, l'ordonnée atteint la valeur M m , moment maximum. A l'extrémité droite, l'ordonnée est nulle.
Revenons au diagramme (b). Le lieu du point D, est une ligne droite, comme celui de d x . Le lieu du point D 2 est une ellipse, comme celui de rf 2 . La force d'inertie tangentielle D t D 3 est sensiblement proportionnelle à l'ordonnée D'D', du diagramme (c). Le lieu de D 3 est donc encore une ligne droite. Enfin, la résistance de la cataracte est proportionnelle à la vitesse relative du régulateur, c'est-à-dire à la différence des ordonnées, en rf, pour les deux ellipses du diagramme (a). Le lieu de D' 2 est par conséquent une ellipse
— as* —
AC' 2 B? dont les ordonnées sont proportionnelles à celle» de l'ellipse At^B» On peut dire, en résumé, que le régulateur est effectivement sollicité par les deux forces DD* et D t D' s , dont la première varie proportionnellement à l'abscisse, tandis que la seconde varie comme le carré de l'abscisse. Or, le mouvement harmonique n'est possible que si la force est partout proportionnelle à l'abscisse. Il faut donc que la force D t D^ soit constamment nulle, autrement dit que les deux ellipses ACB t et AC .B coïncident, Réciproquement, si cette condition est remplie, le mouvement peut être regardé comme permanent, car le travail développé par la force DD 3 dans une demi-course, travail équivalent à Taire du triangle AA S C, est détruit par le travail CB 3 B que produit la même force dans la seconde partie de la course. Si la cataracte a une résistance supérieure aux ordonnées de l'ellipse AC,B, son travail détruit progressivement la force vive, et le régulateur se ralentit peu à peu, jusqu'à ce qu'il arrive au repos. Si, au contraire, la cataracte a une résistance plus faible que les ordonnées de l'ellipse, il y a une partie du travail de la force dynamique qui ne se trouve pas détruite, et la force vive va en augmentant; les oscillations sont alors divergentes. D'après cela, la condition de stabilité s exprime en disant que la résistance de la cataracte doit être au moins égale à la force dynamique.
On remarque que la force statique et la force d'inertie tangentielle n'interviennent que par leur somme DD 3 . D'après cela, le régulateur d'inertie permet remploi d'un dispositif isochrone, c'est-à-dire admettant la même vitesse de régime quelle que soit la charge ; il peut même arriver que le nombre de tours soit plus grand en pleine charge qu'à vîde^ et cela sans compromettre la stabilité. Cette conséquence a déjà été formulée au chapitre IL
La durée des oscillations harmoniques ne dépend que de l'inclinaison de la ligne AjB, ; elle augmente, toutes choses égales d'ailleurs, quand diminue le moment de la force d'inertie tangentielle.
Cherchons maintenant à traduire par une formule la condition de stabilité qui vient d'être trouvée. Il faut pour cela connaître le moment DIL de la force dynamique. Appelons, d'une manière générale, Xw 2 le moment de la force centrifuge développée par une rotation dont la vitesse est <o. A l'état de régime, nous avons m.ï/ = M u . Dans la position dî, si u) est la vitesse réelle et si w, est la vitesse d a d t correspondant à l'équilibre, le
moment est M = X (<o — w, 8 ) = M — - '= M (w — d>i) — ~~ — -, tu et w, ne différant
(i> s (dopas beaucoup de a> , on peut écrire approximativement M = 2M ( — M. La partie
J, représentée par DD S , est, en vertu de l'hypothèse, détruite par la résistance de la cataracte. Reste la partie statique DD t qui a pour valeur 2M { — — — ■ j = 2 M — -. Soit 8 le coefficient d'irrégularité, c'est-à-dire le rapport -. On a—- 1
CC * ù)a y
= — — - 1 = -£-. Le moment statique est donc DD t = 2M — . D'autre part, le moment
D,D 3 de l'inertie tangentielle a pour valeur J' -7- , en appelant J' un coefficient dont la
valeur est sensiblement constante pourvu que fescursion du pendule soit assez faible. Si l'on désigne par I le moment d'inertie de la machine et si l'on observe que l'excès D'D', du
moment moteur sur le moment résistant a pour valeur -- M mi on peut écrire 1 3- = 7- M^,,
llf Cil- U r
J/ d'où DiD 8 = *=--- M m . Soit J le moment d'inertie de la masse pendulaire. Posons
.«• = 2 ^ + ^ X j, d'où DD S = «'J6.
Le mouvement de la masse pendulaire a pour équation
ce qui, en comptant le temps à partir de l'instant où est maximum, conduit à l'expression
= a cos eut.
On déduit de là
dt ~ 6 r
I — = - Mm = — M m cos at.
D ou : I (w — w ) = - M m .
Or ^
i^n, ovr w — w ° o e » M M m sin %t et DD t = 2M — = l 1 .
La résistance de la cataracte étant en valeur absolue
DD / f =K^ = K6 a asina/,
la condition de stabilité DD, > DD' 2 s'écrit :
ou bien ; ^,J^ 2 *^
i ^ il ^ KIo) '
M. Stodola met cette relation sous la forme
Ko r r I«o Jjgo l ^ J^ 2M L M m "*" 2M J 2M et il remarque que :
T = ^p est le temps dans lequel le moment maximum M ro amènerait la machine à sa vitesse moyenne w .
T ss t / ^r^ est la. moitié du temps dans lequel la masse pendulaire, partant du repos
et soumise au moment M , égal à celui du ressort, parcourrait son excursion totale 6 r .
KB T' sas ^r-p est la moitié du temps qu'emploierait le pendule à décrire l'angle 6 r avec
K une vitesse =-jr égale à celle pour laquelle le moment M est équilibré par la résistance de
la cataracte.
T = z~ est la moitié du temps dans lequel le moment M communiquerait une vitesse <d à la masse pendulaire sans intervention de la force centrifuge.
On a ainsi quatre durées T , T, T', T" dont la signification physique est bien précise, et qui permettent d'écrire la condition de stabilité de la manière suivante :
Cette théorie se restreint au cas fictif d'un régulateur sans frottements. M. Stodola a examiné également le cas où il existe des frottements de grandeur constante, mais, ainsi qu'il le reconnaît lui-même, la méthode ne donne plus alors une approximation aussi grande. Voici comment il procède :
Dans la fig. 241, on voit deux diagrammes (a) et (A) correspondant aux diagrammes (b) et (c) de la fig. 240. On suppose que la cataracte est remplacée par un frottement constant. Dans la position D, nous avons de nouveau en présence la force statique DD,, la force dynamique DD S , la force d'inertie tangentielle D t D,. Le frottement est figuré par l'ordonnée D 3 D 4 . Le mouvement de A en B se partage en deux phases. Dans la phase d'accélération qui va de A en E 5 , la résultante D 3 D S des forces motrices est supérieure au frottement D 3 D 4 . L'inverse a lieu dans la phase de ralentissement, qui va de E* en B. Pour le mouvement inverse, de B en A, le frottement est renversé, et les ordonnées correspondantes doivent être portées en dessous de la droite A 3 B 3 . La phase d'accélération va de B en E',; la phase de ralentissement, de E' s en A. Cherchons à quelles conditions nous pourrons avoir un mouvement oscillatoire permanent, de A en B, avec écarts égaux de part et d'autre de la position du régime C.
La vitesse part de zéro au point A et s'annule de nouveau en B. Le travail total des forces est donc nul pour le parcours AB. Il est aisé de voir que la force statique et la force tangentielle ont des travaux nuls. Il faut, par suite, que le travail de la force dynamique, mesuré par l'aire AC 2 B, soit égal au travail du frottement mesuré par le parallélogramme A 3 A 4 B 3 B 4 .
M. Stodola admet que la courbe ACaB peut, ici encore, être considérée comme elliptique. C'est là le point le plus discutable de sa théorie. Dans ces conditions Ton est conduit à la relation
Le moment dynamique CC, a pour valeur, ainsi que nous l'avons vu, 2M -,
en appelant o> la vitesse à l'instant du passage par la position moyenne. CC 4 est le moment de la force nécessaire pour vaincre le frottement. Il correspond à un excès de vitesse o>' — o)o, et l'on peut écrire
(â>o d'oÙ : G)' O) = r- (d) O) ).
La différence a/ — o> est la moitié de la différence des vitesses entre lesquelles le régulateur, retenu par le frottement, pourrait rester au repos. Le rapport —
mesure donc le degré d'insensibilité du régulateur. Désignons-le par e, et écrivons alors :
Plus le frottement est faible relativement aux autres forces, moins le mouvement diffère du mouvement harmonique. En se basant sur cette remarque, M. Stodola admet Lkcornu. — Régulateurs des machines à vapeur. 17
qu'on peut calculer en conservant les formules trouvées dans le cas de la cata-
racte. Or, nous avions, pour le milieu du parcours :
Il vient ainsi :
< rcO i Mm rç 6a J
La valeur de a 2 est, comme précédemment :
Tous calculs faits, on obtient :
4 V %) t„ (8T + ry
Telle est la limite inférieure de e.
Suivant l'importance de la perturbation envisagée, la course 20 a est susceptible de varier depuis zéro jusqu'à 8 r . Il semblerait donc indiqué, pour avoir la certitude que e*
sera suffisant en toute circonstance, d'attribuer, dans le second membre, au rapport -^ sa
valeur maxima, égale à ^, mais M. Stodola admet qu'on peut se contenter de faire
— = T . D'autre part, il existe, dans le cas du frottement constant, une limite inférieure
du coefficient î. Pour la trouver, concevons un état particulier dans lequel A 4 coïnciderait
avec A (fig. 242). Quand le point figuratif, parti de A, arrive en B, le frottement change brusquement de sens : l'ordonnée B 3 B 4 se trouve remplacée par BB 3 , et rien ne s'oppose au retour dans le sens de B vers A. Le mouvement sera sensiblement harmonique pourvu
que Taire AA 3 B 3 B 4 soit égale à l'aire AC S B. Si maintenant, toutes choses égales d'ailleurs, nous réduisons l'inclinaison de la ligne A,B 8 , voici ce qui va se passer. Le point À 4 va se placer au-dessus de A,, en A s , par exemple, et le frottement va opposer au mouvement à partir de A une résistance mesurée par AA 5 . Le pendule va rester un instant au repos, jusqu'à ce que l'accroissement de vitesse ait développé un excès de force centrifuge ayant précisément pour valeur AA 5 . Ensuite, l'excès de frottement se trouvant neutralisé, le point figuratif va décrire une ligne AG 7 B 3 analogue à la ligne AC,B. Mais, quand il va arriver en B 3 , la vitesse du pendule ne sera pas encore annulée. En effet, le travail du frottement n'a pas changé, tandis que le travail de la force dynamique est augmenté d'une quantité mesurée par la surface du rectangle ayant pour base AB et pour hauteur AA S . Il s'ensuit que le point figuratif dépassera l'ordonnée du point B, ce qui indique l'existence d'oscillations divergentes. Ceci montre que, pour une valeur donnée du frottement, la plus petite valeur admissible pour l'inclinaison de la droite A 3 B 3 est celle qui amène le point A 4 en coïncidence avec A. Il est aisé d'exprimer analytiquement cette condition. La longueur AA 3 avec les notations déjà employées est égale à a 8 Jô a . La longueur À 3 A 4 est eM .
11 faut donc qu'on ait :
a\J8 a > sM
Remplaçant a et e par leurs valeurs précédemment trouvées, supprimant le facteur
Jô commun 6 a et tenant compte de la relation T 8 = -T , il vient finalement :
Si la valeur de 5 est inférieure à la limite résultant de cette inégalité, la stabilité ne peut être assurée par le seul effet d'un frottement constant : il faut avoir recours à une cataracte.
Quand on n'a pas à tenir compte de l'inertie tangentielle, le temps T" est nul et Ton trouve alors, pour 8, la limite inférieure :
Cherchons à comparer cette condition avec les résultats obtenus au chapitre II. En élevant au cube et remplaçant T et T par leurs valeurs, nous avons :
2M.IW*
M m *je« ~^ 85 )
8 est le coefficient d'irrégularité. Si a> t .et <i> 2 sont les vitesses extrêmes permises pour le régulateur, on peut écrire : 8 = — -• Précédemment, nous avons désigné par a le
rapport -t-, dz étant le déplacement élémentaire du manchon, et nous avons appelé 2L
la course totale de celui-ci. D'après cela, wj 8 — w 2 8 = 2La, d'où, sensiblement, w, — u,
La La
= — et 8 = —r. L'excès maximum M m du moment moteur a pour valeur 2XL. Enfin,
avec la relation de M. Stodola, ■=— ^ est le coefficient qui multiplie c*> 8 dans l'expression de
rf*ô
-t-. Au chapitre II nous avons appelé ib le coefficient qui multipliait oï s dans l'expression
-j-t. Gomme cïr = -r-, on doit poser : ■= — ^-=— . Au moyen de ces transformations, ut* JL 6 r Jo) r Li
l'égalité établie par M. Stodola prend la forme :
Au chapitre II, il a été établi que la condition pour l'existence d'oscillations d'amplitude constante est :
^-*.»o = (tW.
Les premiers membres sont identiques car r désigne, comme on le sait, le rapport entre les vitesses angulaires du volant et du régulateur, rapport égal à l'unité dans le cas des régulateurs-volants. On voit que M. Stodola est conduit à un chiffre sensiblement moins fort que celui auquel aboutit la théorie mathématique. Cela n'a rien de surprenant; la méthode à laquelle il a recours ne peut évidemment donner qu'une approximation assez grossière. Lui-même, d'ailleurs, fait suivre son exposé d'une note ainsi conçue :
« Une relation du même genre concernant les régulateurs ordinaires a été établie par J. Begtrup dans Y American Machinist du 1 er mars 1894. En mesures métriques, et avec les mêmes notations qu'ici, sa formule équivaut à ceci :
« Plus tard, M. Toile a donné dans le Zeitschrift etc. (1895) une formule entièrement analogue qui, avec une rectification accessoire due à R. Knoller (Zeitschrift, 1897), équivaut à :
3 /rr. 2
« M. Begtrup remarque que son coefficient, fondé sur la résolution de l'équation différentielle bien connue, a été, en vue de la sécurité, choisi environ deux fois plus grand que ne l'indique le calcul. On peut, en résumé, prendre le coefficient en question égal à l'unité. »
Nous avons vu que les travaux de MM. Wischnegradski et Gretchaninow les ont
conduits également à reconnaître l'importance de la fonction , t f . En résumé, quelle
que soit la manière dont on aborde la question, on finit par voir dans cette fonction la principale caractéristique de la corrélation entre le régulateur et le volant. Il ne peut y avoir de divergence que sur la meilleure valeur numérique.
Dans une autre partie de son mémoire, M. Stodola calcule la grandeur des variations de vitesse qui succèdent à une rupture de régime. Les équations qu'il emploie sont analogues à celles de Wischnegradski, mais le temps t est remplacé par - = =-, en dési-
gnant par T, la quantité \/T T*. Si l'on pose X = -=r^> Y = (B-f-^rj^etsi Ton appelle
Ç la variation relative de vitesse -, A le rapport entre la variation brusque du
moment résistant et le moment moteur maximum M m , on trouve que Ç vérifie une équation du troisième ordre :
^ + X xi + Y ^+5 = ^.
dx
dz
M. Stodola admet que l'équation caractéristique a une racine réelle 9 et une racine imaginaire %± /£ ; alors :
Ç = 8A 4- Xe* T + (jx cos J3t + r sin 0t) e aT
Les constantes arbitraires X, jx, v, se déterminent en écrivant que, pour t = 0, Ç est
nul, ainsi que -r— , et -7^ égal à ~-. (La dérivée seconde est nulle parce que, au premier
instant, le régulateur est sans vitesse relative.) Ceci fait, pour avoir le maximum de vitesse il suffit d'égaler à zéro la dérivée de Ç. M. Stodola examine en particulier le cas d'un régulateur isochrone (5 =0) dont l'emploi est admissible, comme on l'a vu, lorsqu'on
Fig. 243 (a).
Fie. 243 (b).
fait intervenir convenablement l'inertie tangentielle. Dans ces conditions, il est aisé de
AT voir que le maximum de Ç est égal au produit de -7=-^ par une certaine fonction de X et Y.
T Si donc on appelle Ç le minimum de Ç X -ttft, Ton a Ç = /*(X, Y). Sous cette forme, on
peut calculer une table à double entrée ou construire un graphique fournissant rapidement le maximum therché. M. Stodola donne les deux tableaux reproduits ici (fig. 243 a et A). Le premier est établi en prenant comme coordonnées X et Ç, le second en prenant comme coordonnées X et Y.
Chaque tableau est séparé en deux régions , qualifiées respectivement Stabiles Gebiet et Labiles Gebiet (domaine de stabilité, domaine d'instabilité), dont la limite commune est le lieu des points pour lesquels XY = 1. On reconnaît ici les idées de Wischnegradski.
Théorie de M. Delaporte.
M. Delaporte, ingénieur de la maison Bréguet, a publié, en 1900, dans la Revue de Mécanique, une étude intitulée : « Détermination de certains éléments des moteurs à vapeur en vue de la régularisation ». Cette étude concerne une cause spéciale d'oscillations , qui est la variation éprouvée par la pression de la vapeur entre la valve régulatrice et le cylindre moteur. On suppose que la vapeur s'écoule dans le cylindre d'une façon sensiblement continue. Dans cette hypothèse, le débit q en poids par unité de temps peut s'exprimer par la formule :
q = Xg>8.
6) étant la vitesse angulaire du moteur, S la densité de la vapeur dans la boîte à tiroir et X un coefficient numérique regardé comme constant. Soit Q, la section d'un orifice débitant dans le même temps, la même quantité de vapeur. On peut poser pu, = Xw, ja étant une constante, et écrire :
q = {jlÛ,5
D'autre part, si Q est la section offerte par la valve régulatrice et si A est la densité de la vapeur en amont de cette valve, le poids Q de vapeur qui la traverse dans l'unité de temps est :
Q = 1 jiÛA
M. Delaporte admet que le coefficient jx est le même dans les deux cas. Il néglige
d'ailleurs, dans un cas comme dans l'autre, l'influence de la pression d'aval en se basant
sur ce que, d'une part, dans la marche au condenseur, souvent aussi dans celle à l'air
libre, la pression au milieu de l'échappement est inférieure aux jjrr- de la pression de la
boîte à tiroir; d'autre part, tant que la charge n'est pas trop forte, la pression dans la
boîte à tiroir est inférieure aux ^r^ de la pression en amont de la valve.
En régime troublé, l'accroissement, pendant un temps dt y du poids de vapeur contenu dans la boîte à tiroir est la différence des poids introduits et soutirés. Si donc on appelle v le volume de la boîte à tiroir, on a l'équation :
(1) vcfô = n.QArf* — [LÙ^dt.
Le couple moteur est proportionnel à la pression, et par conséquent à la densité 8 de la vapeur dans la boîte à tiroir. On peut le représenter par Kî. Le couple résistant peut s'écrire A -|- Bw, A et B étant deux constantes (le terme Bw mesure la résistance d'une dynamo, s'il y en a une). L'équation du mouvement de la machine est donc :
(2) l^? = A 8 A— Bo>
Si l'on admet que Û t est sensiblement constant et que Q a pour valeur a (w — w), a étant une constante et a> la valeur pour laquelle la valve se ferme entièrement, l'élimination de 5 entre les équations (1 ) et (2) conduit à l'équation du mouvement qui est :
Il est aisé de voir que la valeur de o>, déduite de l'intégration de cette équation, se présente sous forme asymptotique ou sous forme oscillatoire suivant que l'expression
est positive ou négative. Quand j est nul ou négligeable en présence de — -, ce qui est le cas ordinaire, on a simplement, dans le cas du mouvement asymptotique ;
(3) IjjttV > 4AAu
C'est ce que M. Delaporte appelle l'équation de stabilité.
Nous devons faire observer que cette théorie laisse entièrement de côté l'influence de l'inertie du régulateur, puisque l'on considère le moment moteur comme proportionnel à l'écart de vitesse de la machine. En outre, il est un peu excessif de déclarer instable l'allure d'un moteur qui présente des oscillations de vitesse; dans bien des cas, ces oscillations, pourvu quelles soient de faible amplitude, n'ont aucun effet nuisible.
Si, en particulier, les oscillations étudiées ici sont du même ordre de grandeur que les oscillations produites par la variation périodique du moment moteur inhérente à l'emploi des machines à cylindres, elles sont, au même titre que ces dernières, annihilées par le volant, sans qu'il y ait à s'en préoccuper autrement. Nous aurions d'ailleurs à renouveler ici la réserve formulée à propos des travaux de M. Marié : dans des phénomènes aussi complexes, on n'a pas le droit de détacher, par la pensée, Tune des causes perturbatrices pour l'étudier isolément. Néanmoins le calcul de M. Delaporte est intéressant en ce qu'il met bien en évidence l'inconvénient auquel on s'expose quand on exagère le volume compris entre la valve d'étranglement et le cylindre. Contrairement à ce qu'on suppose quelquefois, l'augmentation de ce volume, loin de produire un effet régulateur, est susceptible de compromettre la stabilité.
L'inégalité (3) peut se mettre sous une autre forme. La dépense de vapeur par unité de temps étant jxQiB, le travail moteur a pour expression p{xû t 5, le coefficient ft dépendant de l'économie du moteur. Le couple moteur K8 est égal au travail divisé par la
vitesse u>. Donc K = — — - 1 = £X. Si l'on remarque que j3Au mesure l'énergie U que la
quantité de vapeur contenue dans la boîte à tiroir est capable de céder au moteur sous forme de travail et si l'on tient compte de la relation jjiQ, = wX on trouve :
A pleine charge, la section ii ne diffère pas de Çi u et Ton a alors Xoi = ^tï= t*a (a>o — <•>) d'où j** = — . Il vient donc finalement :
D'après cela : Pour éviter les oscillations de vitesse dues aux variations de pression dans la boîte à tiroir, il faut faire en sorte que la force vive du volant multipliée par le
coefficient de régularité soit supérieure à quatre fois V énergie disponible dans la
boîte à tiroir.
Deuxième section. — Régulateurs à action Indirecte.
La théorie mathématique des régulateurs à action indirecte a été exposée en 1879, par J. Wischnegradski, dans la Revue universelle des Mines. La question a été reprise en 1885 par M. Léauté, dans son « Mémoire sur les oscillations à longues périodes dans les machines actionnées par des moteurs hydrauliques et sur les moyens de prévenir ces oscillations » (Journal de V Ecole polytechnique). Les méthodes des deux auteurs sont assez différentes. Wischnegradski emploie exclusivement le calcul ; M. Léauté tire grand parti de la représentation graphique, qui facilite singulièrement l'intelligence des phénomènes. Le point de départ de M. Léauté est d ailleurs tout autre que celui de Wischnegradski. J'analyserai successivement les deux mémoires, et je chercherai ensuite à rapprocher leurs conclusions.
