CHAPITRE I

THÉORIE DE WISCHNEGRADSKI

Appelons :

I le moment d'inertie de la machine ;

iù la vitesse angulaire de l'arbre principal ;

F la force motrice;

Q la force résistante ;

p le bras de levier, supposé être le même pour F et Q.

On a l'équation

dt

On imagine que la résistance Q, après avoir éprouvé une variation brusque qui a détruit l'état de régime, demeure constante. En ce qui concerne la force motrice F, on admet qu'elle est constante tant que l'appareil régulateur n'est pas embrayé, et qu'elle varie ensuite proportionnellement à l'angle de rotation décrit par l'arbre principal.

Il résulte d'abord de là que, pendant les périodes de désembrayage, le mouvement est uniformément varié, et Ton n'a plus qu'à trouver la loi de variation de vitesse pendant les périodes d'embrayage, ainsi que les instants précis où commence et finit chacune de ces périodes.

Soit p n l'intensité de la force motrice au commencement de la période considérée, l'indice n exprimant combien de périodes d'action de l'appareil modérateur se sont écoulées depuis la variation subie par la résistance. On peut écrire :

Au cours de la période, la quantité p n — Q est constante. La quantité p n — F est,

par hypothèse, proportionnelle à l'intégrale j <ùdt, qui mesure l'angle décrit par l'arbre

principal depuis le commencement de la période (le temps t étant compté depuis cet instant initial). On peut donc écrire :

(p B — F)p = ±LjT l «d/.

Le coefficient L mesure Y énergie de l'action de l'appareil modérateur Pour fixer le signe, on supposera que le régime a été détruit par une diminution brusque de résistance. Alors, pour n=o et pour les valeurs paires de n, la différence p n — F est positive ; elle est négative pour les valeurs impaires de /i, de sorte que l'on a :

(P.-F) p = (-!)» LjT»

dt.

En substituant dans l'équation du mouvement et différentiant par rapport au temps, l'on trouve :

Si Ton pose : 6 = % / y, il vient

L'intégration donne :

1° Pour les valeurs paires de n :

(0 = (On cos

du) /d(ù\ . AA A . AA

o7 = UJ n COs0< - 6w » Sin0< -

2° Pour les valeurs impaires de n :

j /j x Or . — 6< 6/ — 0/

Où) /a«i>\ e +e . . e — e

En écrivant, pour abréger, g>' au lieu àe-rj, on conclut de là que :

La vitesse angulaire de la machine atteint ses maxima pour les valeurs paires de n et ces maxima sont :

« u> max. = t/ 0) n 2 + ^ (w'n)'

La vitesse angulaire atteint ses minima pour les valeurs impaires de n et ces minima sont :

. min. ^y/^..^ („'.)..

L'instant d'un maximum est déterminé par la formule :

Celui d'un maximum est donné par :

d) n + tù\

Si Ton cherche au bout de combien de temps la vitesse reprend la valeur quelle possédait au début de la période considérée, on trouve aisément :

ùf A '

Dans le cas d'une période impaire : tg q- = - — . Dans le cas d'une période paire : e = " . — r .

^ ^ (OnO + lo'n

Dans les deux cas, la valeur de 10' est au même instant, égale à — co' n .

Proposons-nous maintenant de déterminer le commencement et la fin de chaque période d'embrayage.

Pour résoudre cette question, Wischnegradski distingue deux types de régulateurs indirects, qu'il appelle le type Farcot et le type Mesmer. Dans le type Farcot, le manchon reste sensiblement immobile entre deux points d'arrêt qui fixent sa position, et c'est la pression exercée contre l'un ou l'autre de ces points d'arrêt qui produit l'embrayage. Dans le type Mesmer (appliqué à une machine exposée à Paris, en 1867, par la fabrique de Grafenstadten), l'état d'embrayage ou de désembrayage dépend uniquement de la position du manchon. L'état de désembrayage a lieu non seulement pour la position normale du manchon, mais aussi pour les positions voisines, tant que le déplacement du manchon ne sort pas de certaines limites.

Prenons d'abord le cas d'un régulateur Farcot, et faisons provisoirement abstraction des résistances passives. Dans ces conditions, les périodes d'embrayage de direction opposée se succèdent sans être séparées par des intervalles finis de désembrayage. Le désembrayage a lieu quand la vitesse de la machine atteint juste sa valeur normale ; par conséquent toutes les vitesses, initiales et finales, des périodes consécutives sont égales entre elles, et égales à la vitesse normale. Autrement dit, on devra, quelque soit /i, poser to n = to .

Les périodes commençant et finissant toutes avec la même vitesse w , il résulte d'une remarque précédente que la dérivée g>' change de signe, sans changer de valeur absolue, quand on passe du commencement à la fin d'une période. On aura donc, en appelant pla valeur de la force motrice au début de la perturbation :

On voit par là que le mouvement de la machine présente des oscillations reproduites indéfiniment avec des caractères identiques. Les maxima de vitesse sont % / (o l -|- .-jjï -•

Les minima sont * / Wo 2 -î.. Le degré de variabilité du mouvement peut être mesuré

par le rapport (y/«.» + ^ ~y/«.» - ^-) : «..

Mais, pour que le mouvement persiste de cette manière, il faut qu'à aucun moment la vitesse <*> de la machine ne vienne à s'annuler. Cette circonstance n'est à craindre que dans les périodes pour lesquelles o> est inférieur à u) , c'est-à-dire pour les valeurs impaires de n. En remplaçant dans la formule (1), o> n et u> u par w et — a>' > puis écrivant que u> est nul, on trouve :

wo (e +e j( e ~ e —o.

La valeur de t est réelle si l'on a : <i>' > u) (K

Mais g/o = ~ — » et 8 = \/ t- La condition de réalité est donc :

Par conséquent :

Le régulateur Farcot ne peut agir sans arrêter la machine que si la variation du moment résistant est inférieure au produit de la vitesse angulaire normale par la moyenne géométrique du moment d'inertie de la machine et de V énergie d'action de Vappareil modérateur.

En multipliant par g> les deux membres de l'inégalité précédente, on peut encore dire que :

Le régulateur Farcot ne peut agir sans arrêter la machine, si la variation de travail fourni par la machine, pendant Funité de temps, à la vitesse normale, surpasse la force vive d'une machine animée de la même vitesse et ayant pour moment d'inertie la moyenne géométrique entre le moment d'inertie rtel et l'énergie d'action de Vappareil modérateur.

En pratique, il faut que la quantité 7ÏT~ ou > ce fl u ^ revient au même, — j- ait

une très petite valeur. On peut alors représenter sensiblement le maximum et le minimum de la vitesse par la double expression : 0) o ( 1 ± 8 ° a ) • Le rapport entre l'écart de

ces vitesses et la vitesse moyenne est -r-^-i ou bien : ^ - , — t-*- .

J 6 2 u> * LW

Dans la théorie des régulateurs directs, telle qu'elle a été exposée précédemment d'après le même auteur, la vitesse de la machine tend vers la limite :

d . N te-QM

—- •v 1 +-r— Tj—y

En rapprochant ces résultats, on est amené à conclure que :

La variabilité du mouvement, avec un régulateur à action directe, ne dépend pas

du moment d'inertie de la machine; elle est directement proportionnelle à la stabilité du régulateur et à la première puissance de la variation du travail fourni par la machine ; elle est inversement proportionnelle à la mobilité du régulateur et à la rapidité de son action. La variabilité du mouvement, avec le régulateur indirect Farcot, ne dépend ni de la stabilité, ni de la mobilité du régulateur ; elle est directement proportionnelle au carré de la variation du travail et inversement proportionnelle au moment d'inertie de la machine et à l'énergie d'action de l'appareil régulateur.

On peut ajouter ceci :

Si Ton imagine un régulateur Farcot et un régulateur à action directe qui fournissent la môme variation du mouvement pour une variation donnée du travail par unité de temps, la variation du mouvement, pour une variation moindre du travail, sera plus grande pour le régulateur direct que pour le régulateur indirect ; l'inverse aura lieu pour une variation de travail dépassant la valeur primitivement" considérée.

Tous ces résultats sont établis en laissant de côté l'influence des résistances passives. On peut en tenir compte de la manière suivante. Soient R t et R t les résistances du régulateur et du mécanisme d'embrayage, prises en valeur absolue. Supposons que le désembrayage se produise de lui-même quand la pression de marche devient moindre que R,. Les périodes d'embrayage sont séparées par des intervalles pendant lesquels l'appareil modérateur demeure sans action.

Dans ces intervalles, la force motrice reste constante, tandis que la vitesse de la machine continue à varier. Si l'on désigne par o>, et to 2 les limites de ces variations de vitesse et par A la masse du régulateur réduite au manchon, l'on a :

AKy!!!=i!? = R 1 + R, >

Dans ces conditions, la mesure de la variabilité du mouvement admise par le régulateur Farcot devient :

R, + R (p-Q)y A% ^ LW

La théorie du régulateur Mesmer a conduit Wischnegradski à des calculs très compliqués et purement approximatifs, calculs que nous ne reproduirons pas ici. Citons seulement les conclusions, qui sont les suivantes :

Si, pour une cause quelconque, la résistance d'une machine munie du régulateur Mesmer subit une très petite variation, et si, par suite de cette variation, le régulateur commence à fonctionner, il produit des variations successives dans l'intensité de la force motrice, variations qui surpassent de beaucoup les variations de la résistance, cause première de la perturbation. Cette propriété du mouvement contrôlé par les régulateurs Mesmer rend leurs services très incertains. Le fonctionnement des régulateurs Farcot peut être considéré comme la limite vers laquelle convergent les régulateurs Mesmer par l'accroissement indéfini de la force de leur cataracte et de leur stabilité.