THÉORIE DE M. LÉAUTÉ

Nous supposerons, pour bien fixer les idées, qu'il s'agisse d'un moteur hydraulique dont les oscillations à courte période soient négligeables. A l'état de régime, le régulateur, constitué par un appareil à boules, tourne d'un mouvement uniforme et son manchon se maintient à une hauteur constante. Si, pour une cause quelconque, le travail moteur par tour vient à surpasser le travail résistant, la vitesse s'accélère progressivement. Les boules, néanmoins, restent encore un certain temps au repos relatif, parce que les frottements et autres résistances exigent, pour être vaincus, un excès notable de force centrifuge. Comme, d'autre part, les résistances passives sont toujours légèrement croissantes avec la vitesse, il peut se faire que l'équilibre se rétablisse de lui-même sans l'intervention du régulateur, avec une vitesse de régime supérieure à la vitesse initiale. Mais si cette condition ne se trouve pas remplie, il arrive un moment où les boules s'écartent et, par le fait de cet écart, elles ne tardent pas à mettre en jeu l'embrayage de fermeture de la vanne. Dès lors le travail moteur commence à décroître. L'idéal serait que l'embrayage fonctionnât juste le temps nécessaire pour amener la vanne dans la position correspondant au nouvel état de régime ; mais on conçoit facilement qu'en pratique les choses ne peuvent se passer ainsi. Le débrayage suppose, en etFet, une nouvelle intervention du régulateur en sens inverse de la première. Or, en raison de l'existence des frottements, l'écart des boules ne diminue que quand la vitesse a déjà subi une diminution notable, nécessitant la chute du travail moteur au-dessous du travail résistant. D'ailleurs, même en l'absence de tout frottement, un certain temps serait nécessaire pour que la vitesse, après avoir continué à croître pendant la mise en train de l'embrayage, prît la valeur correspondant au débrayage. Le but se trouvant ainsi dépassé, le travail moteur par tour est maintenant inférieur au travail résistant : le mouvement continue donc à se ralentir et si le ralentissement ne suffit pas pour rétablir l'état de régime, il arrive un moment où les boules se rapprochent assez pour mettre en jeu à son tour l'embrayage d'ouverture de la vanne et ainsi de suite. La production d'oscillations à longue période apparaît donc comme une sorte de mal inévitable : tout ce qu'on peut espérer, c'est d'en restreindre autant que possible les limites, et surtout de faire en sorte que ces oscillations, une fois commencées, aillent en décroissant, et non pas en affectant un caractère permanent ou même en s'exagérant de plus en plus.

Mais, avant de chercher les remèdes, il est nécessaire d'étudier avec plus de précision les phénomènes dont nous venons seulement de constater l'existence. Dans cette analyse, assez complexe, la représentation graphique est d'un puissant secours.

Prenons deux axes de coordonnées rectangulaires. Sur l'axe horizontal, portons en abscisses les ouvertures de la vanne ; sur l'axe vertical, portons en ordonnées les vitesses de la machine. A tout instant, il y a une ouverture de vanne et une vitesse déterminées : ces deux quantités définissent un point que nous appellerons le point figuratif de l'état de la machine. S'il est fixe, la machine est à l'état parfait de régime. L'état de régime étant atteint pour une certaine position A (fig. 245), imaginons que, sans rien changer au travail résistant, on augmente un peu l'ouverture de la vanne de manière à faire croître le travail moteur. La vitesse s'accélère, les résistances passives augmentent en même temps et, si le déplacement ab donné à la vanne n'est pas trop considérable, un nouvel état de régime correspondant à un point B ne tarde pas à s'établir.

Un second déplacement bc conduirait de même à un troisième état de régime figuré par le point C et ainsi de suite.

Le lieu des points A, B, G, est une courbe qui prend le nom de ligne de régime.

A chaque valeur du travail résistant utile correspond ainsi une ligne de régime. Ces diverses lignes ne se coupent jamais, sans quoi, pour une même ouverture de vanne et une même vitesse, par conséquent pour une même valeur du travail moteur, on aurait, à l'état de régime, deux valeurs différentes du travail résistant, ce qui est évidemment impossible.

Voyons maintenant comment se traduit graphiquement l'effet du régulateur. Partons

Fig. 246.

d'un état de régime figuré par le point A de la ligne de régime CD (fig. 246). Si la résistance diminue, le régime est troublé et ne peut se rétablir que pour une nouvelle position du point figuratif située sur la ligne de régime CD', correspondant à la nouvelle résistance. Au début de la perturbation, la vitesse s'accroît sans que la vanne soit encore embrayée; le point figuratif s'élève donc verticalement. Si, dans son mouvement d'ascension, il atteint la ligne CD' avant que l'embrayage de fermeture soit mis en jeu, le régime est par cela même rétabli. Mais supposons, au contraire, que la verticale du point A rencontre en A, l'horizontale correspondant à la vitesse V, d'embrayage de fermeture avant d'atteindre la ligne CD'.

Immédiatement la vanne commence à se fermer et le point figuratif décrit alors un arc de courbe A,Aj jusqu'à sa rencontre en A s avec l'horizontale correspondant à la vitesse V, de débrayage de fermeture. En raison des frottements, la vitesse V 2 est inférieure à V t . Le point M, où cet arc de courbe croise la ligne de régime CD', est caractérisé par le fait qu'il y a momentanément équilibre entre le travail moteur et le travail résistant total : c'est donc un point pour lequel la vitesse passe par un maximum et où la tangente devient par suite horizontale.

Si le point A % était situé sur CD', la perturbation serait terminée; mais nous verrons que cela est pratiquement impossible.

Pour la position A„ l'ouverture de vanne est devenue trop petite : le point figuratif descend alors verticalement. Si, dans son mouvement de descente, il rencontre la ligne de régime avant d'atteindre l'horizontale v t qui correspond à l'embrayage d'ouverture, l'état stable est rétabli.

Dans le cas contraire, la vitesse v t se trouve atteinte pour la position A 3 .

A partir de là, un arc curviligne A 3 A 4 analogue à l'arc A t ou A, mais tournant sa concavité en sens contraire, conduit le point figuratif jusqu'à la rencontre de l'horizontale correspondant à la vitesse v x nécessaire pour le débrayage d'ouverture, et ainsi de suite.

On appelle cycle le circuit (généralement ouvert) formé par quatre périodes, savoir : période d'immobilité de la vanne à vitesse croissante, période de fermeture, période d'immobilité de la vanne à vitesse décroissante, période d'ouverture. Pour préciser, on convient que le cycle commence toujours à l'une des quatre horizontales (V,, V„ u,, v t ) ; il se termine sur l'horizontale de départ. Le cycle est dit utile ou nuisible, suivant que le point terminal est plus rapproché ou plus éloigné que le point initial par rapport à la

ligné de régime qu'il s'agit d'atteindre, la distance étant comptée horizontalement pour chacun des deux points. Le cycle est fermé si le point initial et le point terminal coïncident.

Il importe de se procurer, au moins d'une manière approximative, l'équation d'une courbe de fermeture. Soient co la vitesse angulaire de la machine et A le moment d'inertie par rapport à l'arbre principal. Le travail résistant correspondant à une rotation rfô peut être représenté par *F (0) </9. Le travail moteur, pour cette même rotation, est, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnel à l'ouverture a de la vanne et au temps dt : on peut le représenter par <I>(6)adf.

Le théorème des forces vives donne l'équation :

Acorfw + *F (6) rfô = * (6) adt, ou bien, comme

rfo == <■><//,

Posons, en appelant Q une constante :

u* = Q*(l — 2y) d'où :

^-o« d JL

dt~ u </e

alors :

-AQ«$+v(e) = *(e)î.

Nous admettrons que la vitesse <*> s'écarte assez peu de la constante Q pour que y

1 l -\-V soit toujours une quantité très petite. Dans ces conditions, on peut remplacer— par — ^—^

(en négligeant y % ) et l'équation précédente devient linéaire en y. Comme a désigne une fonction connue de 6, on a l'intégrale générale :

Af>(eWe /> /*$(0}a<i0

Cette intégrale représente un mouvement fort compliqué ; il s'agit, s'il est possible, d'introduire des simplifications capables de conduire à des conséquences pratiques. Une première simplification, admissible pourvu que le volant ait une puissance convenable, consiste à remplacer les fonctions périodiques *(6). Y(6) par leurs valeurs moyennes que nous appellerons simplement * et Y. Le moment d'inertie A est lui-même légèrement variable à cause des changements de figure de la machine et du régulateur. Nous le regarderons comme pratiquement constant.