ÉQUATION SIMPLIFIEE DES COURBES DE DÉPLACEMENT

Soit e le rapport des vitesses de la vanne et de la machine. Dans une période de fermeture de la vanne, dx est négatif et égal à — erf6. On peut supposer que û est la

vitesse maxima, correspondant à l'instant où il y a équilibre entre la puissance et la résistance. Si * est l'ouverture de vanne correspondante, on a : $« = TQ. Posant alors :

Au 8 Aû« — 2p' et 4a ps = y*, l'équation différentielle prend la forme :

d'où

Y 1 ày

En introduisant la nouvelle variable x = et remplaçant, pour abréger, -£-

ao Y*

par m, on peut écrire :

Proposons-nous de développer y suivant les puissances croissantes de se, jusqu'à la quatrième inclusivement.

Nous prendrons, à cet effet :

d'où

e ~ m {2X + * 2) = 1 - 2mx + (2m« — m)x*+ ...

xe ' 'dx = -= -^ma^-\ j ar,

puis :

m {2x +*) = l + 2mx + ^ 2mî + m)a? , +

d'où enfin :

y = ma?» -f- g- m*x s -f ( 3 m ' + g" m% ) X ^

ou bien, en revenant aux notations primitives :

Pour une courbe d'ouverture, il n'y a évidemment qu'à changer les signes de y et de Y 2 , ce qui donne :

a — Oo

La quantité x = mesure l'amplitude relative des oscillations de la vanne. On

peut admettre qu'elle ne dépasse jamais-^, car cette valeur exigerait, pour être atteinte,

une diminution brusque de résistance équivalant à la moitié du travail moteur total. Dès lors oc* est inférieur à ^, c est -à-dire à 0,03. On conçoit donc qu'il n'y ait aucun inconvénient pratique à négliger les termes qui renferment les puissances de .r supérieures à la quatrième. En fait, M. Léauté a montré que Terreur relative ainsi commise, insignifiante dans les cas usuels, a pour extrême limite 0,13 dans les circonstances les plus défavorables.

Observons maintenant que, quelle que soit l'importance de la perturbation à corriger, le régulateur fait disparaître très rapidement la plus grande partie de cette perturbation et ne laisse subsister que de petits écarts entre le travail moteur et le travail résistant. Ces petits écarts nous intéressent donc seuls dans l'étude des oscillations à longue période.

Mais alors .r, c'est-à-dire °, est nécessairement une quantité très petite et Ton peut,

dans la valeur de*/, négliger la quatrième puissance de x, c'est-à-dire écrire simplement, pour une courbe de fermeture

y ~ mx* -(- ~ m 2 .r 3 .

Nous avons besoin de résoudre cette équation par rapport à x. A cet effet, nous écrirons (approximativement) :

d'où :

' = \- m' 1 ~!r') = V ■'mi*-*'""')' ou bien, en remplaçant m par sa valeur :

Comme y* — 4xo?s« on peut encore écrire :

En remplaçant r et i/ par leurs valeurs respectives qui sont et — tt— « on « :

( a — 3'S W ~~3*°) =i ^U^~ w )' Cette équation représente une parabole dont l'axe est parallèle à la droite

Le coefficient £ qui intervient ici est le rapport entre l'ouverture de la vanne correspondant à l'état de régime et la vitesse angulaire il. Pour une ligne de régime donnée, c'est-à-dire pour une résistance donnée, le travail résistant dans l'unité de temps est sensiblement proportionnel à û tandis que le travail moteur est proportionnel à o<,. Autrement

dit, — mesure le rendement. Ce rendement est maximum quand la droite joignant le

Lbcohnu. — Régulateurs des machines h vapeur. 18

point (a«Q) à l'origine des coordonnées, droite dont le coefficient angulaire est précisément

--, se trouve tangente à la ligne de régime (fig. 247). Si donc le moteur, comme cela doit

être, se trouve construit de manière à travailler à peu près dans les conditions de maximum de rendement, on peut remplacer sensiblement la ligne de u régime, dans sa partie utile, par une ligne droite aboutissant au point 0. Dans les mêmes limites d'approximation, les paraboles que nous venons de trouver sont égales pour une même ligne de

régime puisque p, s et ^ sont constants. De là ce théorème :

Dans Tétendue où on doit les considérer, toutes les courbes de fermeture relatives à une même ligne de régime peuvent être Fig. 247.

regardées comme des paraboles égales, ayant leurs axes parallèles et trois fois moins inclinés sur la verticale que la ligne de régime correspondante.

Un calcul semblable, appliqué aux courbes de fermeture, conduit à 1 équation :

dans laquelle on doit remplacer x et y par ; — - et *" , ce qui donne :

( a 3 Q" w 3 ao / = 4pe Q'^ - " 1,

Pour des courbes d'ouverture et de fermeture correspondant à une même perturbation,

— £ est égal à -^. Donc, les courbes d'ouverture relatives à une même ligne de régime sont

des paraboles égales entre elles et avant même direction d'axes que les paraboles de fermeture.

Si, de plus, les coefficients s, z sont égaux, c'est-à-dire si le mécanisme de commande du vannage est aussi énergique pour l'ouverture que pour la fermeture, et si l'on confond p' avec p (nous allons revenir sur ce point), on peut dire que les paraboles d'ouverture et de fermeture sont toutes égales entre elles : elles ne diffèrent que par le sens de leur concavité.

Les coefficients s et s' sont, dans tous les cas, des constantes dépendant de la construc-

AQ* tion de la machine. Le coefficient p peut se calculer au moyen de l'expression p = -^r.

On peut aussi le déduire d'une expérience bien simple. Si, en effet, pendant la marche à

l'état de régime, on ferme brusquement la vanne en totalité, le mouvement s'arrête après

Au 2 une rotation totale 8,, facile à observer. Or, si Ton remarque que— -~- est la force vive

initiale et TO, le travail résistant total, on a, par le théorème des forces vives :

d'où:

Le coefficient p dépend donc de la vitesse de régime Q ; mais, en pratique, on peut adopter pour p une valeur moyenne convenablement choisie.

En. résumé, on a tous les éléments nécessaires pour tracer une courbe de déplacement dès que Ton connaît l'un de ses points, et par conséquent rien n'empêche de construire graphiquement le cycle ou la suite de cycles correspondant à des conditions initiales données. La question peut également être "traitée par le calcul; nous renvoyons sur ce point au mémoire de M. Léauté.

THKORKMKS (SKNKRAl'X

Théorème I. — Dans un régulateur quelconque à action indirecte, les périodes d'immobilité de la vanne ont toujours un effet utile, et cet effet utile est, pour chacune délies, d'autant plus considérable qu'il y a un intervalle plus grand entre les vitesses de fermeture et d'ouverture.

Ce théorème ressort immédiatement de la construction graphique. En effet, la ligne de régime occupant une position telle que AB (fig. 248), considérons une période d'immobilité de la vanne à vitesse croissante. Le point figuratif décrit, dans le sens ascendant, un segment vertical CD, compris entre l'horizontale correspondant à la vitesse v t de débrayage d'ouverture et l'horizontale correspondant à la vitesse V, d'embrayage de fermeture. Cette verticale est nécessairement à droite de la ligne de régime, puisque l'ouverture de la vanne est supposée trop grande pour l'état de régime. Dans ces conditions, le point final D est plus rapproché de la ligne de régime que le point initial C, et