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Fig. 248. Fig. 249. Fio. 250

le rapprochement CC| — DD n qui mesure l'effet utile, est, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnel à l'écart CD, ou V, — y,. Un raisonnement analogue s'applique à une période d'immobilité à vitesse décroissante, figurée par une verticale descendante telle que EF.

Théorème II. — Dans l'appareil théorique où les frottements seraient nuls, tout cycle a un effet utile ; s'il n'en est plus de même pour les appareils de la pratique, cela est dû à Tinfluence des zones de frottement, qui ont pour résultat de diminuer l'effet utile et qui peuvent même le transformer en effet nuisible.

En effet, l'axe de chaque parabole d'ouverture ou de fermeture faisant, comme on l'a vu, avec la verticale, un angle moindre que la ligne de régime, et le point A ou B (fig. 249) où une parabole rencontre la ligne de régime étant toujours un point à tangente horizontale, il est bien clair que le point terminal, C ou D', de la période est plus rapproché de la ligne de régime AB que ce point initial, C ou D, pourvu que le point initial et le point terminal soient sur une même horizontale, ce qui arrive quand les frottements sont négligeables. Mais, en pratique, par suite des frottements, le point terminal se trouve en C" (ou en D") au-delà de l'arc CAC (ou DBD') et les arcs supplémentaires C'C, D'D" ont pour effet d'éloigner le point figuratif de la ligne de régime AB.

Théorème III. — L'effet utile d'une période de mouvement dans un régulateur sans frottement est proportionnel à l'écart de vitesse qui se produit dans cette période ; il varie en raison directe du carré de l'écart initial de la vanne et il est inversement proportionnel à l'énergie du mécanisme de commande du vannage.

Considérons, en effet, la parabole DBD' (fig. 250) qui représente une période de mou-

vemenl. Soit BE le diamètre passant au point B et soit BF la ligne de régime. L'effet utile est DF — D'F, c'est-à-dire 2EF. Or, par raison de similitude, EF est proportionnel a EB qui mesure l'écart de vitesse et au paramètre de la parabole. D'ailleurs ce paramètre est proportionnel au coefficient £ qui est lui-même inversement proportionnel à l'énergie du mécanisme. Enfin, pour une machine donnée, le paramètre est déterminé et alors EB est proportionnel au carré de ED ; mais, en négligeant la petite quantité EF, on peut dire que ED mesure l'écart initial de la vanne. De là résulte le théorème énoncé.

i:'ITl>E 1>KS CYCLES SUCCESSIFS CORRESPONDANT A VSE l'ERTl'RBATION

On peut, au sujet de ces cycles successifs, établir une série de théorèmes fondamentaux.

Théorème I. — Deux courbes de déplacement quelconque ne se coupent jamais à moins de coïncider.

Nous supposerons ici, pour éviter toute difficulté, que la zone des vitesses d'embrayage de fermeture est complètement distincte de la zone des vitesses d'ouverture, c'est-à-dire que Ton a \\ > t\. C'est, du reste, ainsi que les choses se passent généralement en pratique. Dès lors, il est clair qu'une courbe d'ouverture ne peut jamais couper une courbe de fermeture. Il suffit donc de considérer deux courbes de même espèce. Or deux courbes de fermeture, par exemple, sont, comme on l'a vu, des paraboles égales déduites Tune de

l'autre par une simple translation parallèle à la ligne de régime. Deux paraboles de ce genre ne peuvent se couper qu'en un point pour lequel leurs concavités soient tournées en sens contraire, et l'on peut à leur égard vérifier aisément la propriété suivante : Soient ABC, A'B'C (fig. 251), les deux paraboles déduites l'une de l'autre par la translation AA' et se coupant en un point M. La tangente commune BB' limitée au point de contact est égale à AA' ; de plus, l'un des deux arcs AM, A'M contient nécessairement un point de contact de la tangente commune. Ceci posé, pour que deux courbes de fermeture puissent se couper sans coïncider, il faudrait que lune d'elles, dans sa partie utile, fût tangente à la direction de la ligne de régime. Mais ceci n'arrive jamais, car les tangentes à une courbe de fermeture ne s'écartent jamais beaucoup de la direction horizontale.

Théorème II. — Les divers cycles d'une même ligne figurative vont toujours ens'épanouissant ou en se concentrant.

Autrement dit, ces cycles forment une sorte de spirale continue, comme le montre la fig. 252.

Cette disposition est, en effet, la seule qui soit compatible avec le théorème I et avec la constitution élémentaire du cycle. Le théorème I ne laisse substituer de possibilité de rencontre qu'entre une partie verticale telle que MN et un arc curviligne tel que PQ. Mais une pareille rencontre est inadmissible parce que MN et PQ sont séparés par la ligne de régime RG.

Théorème III. — Les amplitudes d'oscillation de la vanne et de la vitesse vont constamment en diminuant ou constamment en augmentant, ou enfin restent invariables, ce qui correspond au cas du cycle fermé, c'est-à-dire des oscillations indéfinies. Elles ne peuvent jamais diminuer à un moment donné pour croître à un autre ou réciproquement.

Ce théorème ne fait que traduire sous une forme mécanique l'énoncé du théorème précédent. Il suit de là que dès qu'un cycle a un effet utile, tous les cycles constituant la même ligne ont aussi un effet utile.

Théorème IV. — Les cycles successifs d'une même ligne figurative vont toujours en se rapprochant les uns des autres.

Il suffît de démontrer que pour deux courbes de déplacement de même nature, deux courbes de fermeture par exemple, la distance des points de départ est supérieure à la distance des points d'arrivée.

Soient A et A' (fig. 253) les points de départ, et C t , C, les points d'arrivée. Ceux-ci sont au-dessous de l'horizontale A A'. Soient B et IV les points de contact des tangentes

Fi<;. 254.

horizontales et BM, B'M\ les diamètres correspondants, de telle façon qu'on ait AM = CM et A'M' =C'M'. On sait que M et M' sont à droite de la ligne BB', et l'on peut écrire :