A A, < AA

On conclut de là que le point figuratif tend asymptotiquement vers le cycle fermé.

Si le point figuratif est primitivement à l'intérieur du cycle fermé, les mêmes considérations montrent que les cycles successifs ont un effet nuisible, et que le point figuratif tend encore, asymptotiquement, vers le cycle fermé. Dans tous les cas, celui-ci représente le seul état stable qui puisse subsister.

Il y aura donc toujours des oscillations permanentes à longue période s'il existe un cycle fermé.

Envisageons maintenant le cas où il n'existe pas de cycle fermé. Tous les cycles successifs sont alors convergents. Il arrive un moment où le point figuratif coupe la ligne de régime en P, dans la zone neutre (fig. 256} : l'équilibre est alors rétabli.

Pour éviter la production d'oscillations à longue période, il faut, en somme, s'arranger de telle manière qu'il n'existe pas de cycle fermé. En pratique, il revient au même d'écrire que, dans les circonstances les plus défavorables, il n'existe pas de cycle nuisible. Or, d'après ce qu'on a vu, plus le point initial se rapproche de la ligne de régime, plus l'effet utile est faible. On fera donc en sorte que, le point initial se trouvant en F, sur la ligne de régime (fig. 257), le cycle soit utile; analytiquement, cette condition se traduit par une certaine inégalité. Graphiquement on a à rechercher si l'abscisse du point terminal L ou, ce qui revient au même, celle du point K est inférieure à celle de F ; autrement dit, le

i—Lj&*?:„j.± y.

Fhî. 256.

Fig. 257.

Fig. 258.

déplacement de la vanne dans la période d'ouverture II K doit être plus petit que le déplacement dans la période de fermeture* FG.

Si l'on admet l'égalité d'énergie des mécanismes d'ouverture et de la fermeture, on sait que les deux paraboles sont superposables, avec correspondance des deux points F, F', situés sur la ligne de régime. Si en outre les frottements sont les mêmes, la distance verticale des points F, G est égale à celle des points II et K. La distance verticale des points F' et K est donc alors supérieure à celle des points F et G. Dans ces conditions, il est évident que la projection horizontale de HK est supérieure à celle de FG. Ceci étant, un seul moyen subsiste pour éviter l'effet nuisible : il faut que la ligne GH rencontre la ligne de régime au-dessus de l'horizontale correspondant à l'embrayage d'ouverture, de manière que l'état de régime soit rétabli avant la mise en jeu de cet embrayage. Nous allons traduire analytiquement cette condition.

Conservant les notations antérieures, posons en outre :

et

L'équation de la parabole FG (fig. 258,est :

ou bien :

* — «o i U — <*> , j /pe Q :

x„ — 3 Q - V âô û

Les coordonnées du point F sont Oo, tî. Pour le point G, la différence a — a est négative, et il faut prendre le radical avec le signe — ; on doit faire en outre : Q — « = l. On trouve ainsi :

D'autre part, la projection verticale de la droite FP est A -f- 3. Cette droite avant r coefficiei à l'inégalité :

pour coefficient angulaire — sa projection horizontale est ^- (A — |— 8). On est ainsi conduit

■ ï< A + a }>B4+ 2 v /pea 4'

ou bien :

±+h /IT7

Donc, dans un régulateur à action indirecte où le mécanisme de commande du vannage est le même pour l'ouverture et la fermeture et où les résistances qui s'opposent à l'embrayage et au débrayage sont égales pour ces deux mouvements, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il ne puisse se produire d'oscillations à longues périodes est donnée par l'inégalité :

ii ^ 3 L> > V *<> tî

\Qi Ali 3

En remplaçant p par sa valeur qui est "» ou ~ , on peut encore écrire

A , 2J Q / 2Ae8 li+3 Ll > a c V *

On peut alors énoncer les conséquences suivantes :

1° Toutes choses égales d'ailleurs, les oscillations à longue période sont d'autant plus à craindre que a est plus faible, ou, en d'autres termes, que le travail moyen demandé à la machine est moins grand ;

2° En augmentant outre mesure le moment d'inertie A (volant de la machine) on s'expose à faire apparaître les oscillations;

3° Quand le régulateur est bien établi, le terme « $ est négligeable en présence de A,

ce qui permet d'écrire la condition :

Ceci montre que, pour pouvoir diminuer A, c'est-à-dire se rapprocher de l'isochronisme, il est nécessaire de diminuer soit $, soit £ On diminuera c en augmentant la puissance de l'appareil à boules, de manière à réduire l'influence des frottements. On diminuera s en ne demandant pas à cet appareil un travail trop rapide ;

4° Pour que deux régulateurs à action indirecte, installés sur deux moteurs différents, produisent le même effet au point de vue du temps nécessaire pour le rétablissement du

régime après une perturbation, il faut et il suffit, si - et ~ sont les mêmes, que la quan-

i P c 2A IJ 2 * . '.

tité — ou-r — — f ait la même valeur. On pourra ainsi déduire d'un résilia teur existant

qui fonctionne bien un régulateur dont le bon fonctionnement sera également assuré.

La théorie qui précède est basée sur l'hypothèse que les lignes de régime peuvent être assimilées à des lignes droites issues de l'origine ; elle néglige donc les variations de rendement dues aux changements de vitesse. Lorsqu'il est nécessaire de tenir compte des variations de rendement, les lignes de régime sont figurées par des courbes plus ou moins compliquées, qu'il est toujours possible de construire graphiquement, par points, avec une approximation suffisante. Cela fait, reprenons les équations générales concernant une période de fermeture, savoir :

Aok/m + M\oWe = *(e)arf*.

rfO = tùdt dy, = — erfe.

Nous en déduirons l'équation différentielle de la courbe de déplacement :

Acwrfw = Y(6) — - *(e) ci)

et nous sommes alors en mesure d'obtenir de proche en proche, par points et tangentes, le tracé de cette courbe. On agira de même à l'égard des courbes de déplacement relatives aux périodes d'ouverture. Cela fait, il ne restera plus qu'à discuter les diverses circonstances de la régularisation en suivant une marche analogue à celle que nous avons exposée. Mais il est clair qu'il faut renoncer, en pareil cas, à formuler des lois générales un peu simples.

Revenons au cas où les lignes de régime, dans leur partie utile, peuvent être regardées comme rectilignes et convergentes. Plus on se rapproche de l'isochronisme, c'est-àdire plus on diminue A, et plus on est obligé, toutes choses égales d'ailleurs, de diminuer s, sous peine de faire apparaître des oscillations indéfinies. On est ainsi conduit à ralentir le mouvement de la vanne : en d'autres termes, l'écart des vitesses extrêmes ne peut être réduit qu'à condition d'admettre une régularisation très lente.

Il n'est cependant pas impossible, théoriquement au moins, d'échapper à une aussi fâcheuse conséquence. Précédemment, au chapitre des régulateurs électriques, nous avons décrit le procédé imaginé à cet effet par M. Marcel Deprez. Une autre solution, indiquée par M. Léauté, consiste à employer la première course pour enregistrer en quelque sorte l'importance de la perturbation, et à arrêter la vanne lorsque, dans son mouvement inverse, elle a parcouru la moitié du chemin qui le ramènerait à sa position primitive : ce résultat peut être obtenu à l'aide d'un index dont la position est réglée par la première course, et qui agit par un déclenchement spécial.

Le seul reproche que l'on puisse faire à ces ingénieux dispositifs est de compliquer nécessairement le mécanisme de régularisation.