PROMPTITUDE

Avant de terminer ces généralités, nous devons encore, en vue de permettre la comparaison des divers types de régulateur, chercher le moyen d'évaluer l'inertie opposée par txn régulateur aux efforts qui tendent à le déformer. C'est là un problème d'ordre essen-

tiellement dynamique. Pour poser la question d'une manière précise, imaginons que le régulateur étant à l'état de régime, avec une vitesse de rotation u> , on donne instantanément à la rotation une nouvelle vitesse <o. Le manchon va éprouver une accélération J, et, plus elle sera forte, plus la manœuvre de la valve sera rapide, toutes choses égales, d'ailleurs. Calculons donc la valeur de cette accélération.

Dans le type le plus ordinaire de régulateur à force centrifuge, les boules, au nombre de deux, sont sphériques et peuvent être considérées comme réduites à leur centre de gravité. Soit P le poids d'une boule, soient x et y les distances du centre de gravité à Taxe de rotation supposé vertical, et à un plan fixe horizontal placé au-dessous du régulateur. Soit Q le poids du manchon, z sa distance au-dessus du même plan horizontal.

Négligeons les masses des diverses tiges. Supposons, en outre, que les résistances passives qui dépendent, ainsi que nous l'avons remarqué, de l'état d'entretien de l'appareil, soient négligeables en présence du poids Q. Le théorème du travail virtuel nous donne alors 1 équation

— u *xZx — 2Pty — Qiz = o.

La configuration du régulateur dépend d'une seule variable, z par exemple. Si Ton appelle x\ y' les dérivées de a? et de y prises par rapport à s, l'on a : &r = x'îz et ly = t/'îs,

d'où :

— <**xx' — 2Py' — Q == o.

Si In vitesse devient <*>, l'état d'équilibre est troublé, mais on peut encore appliquer

l'équation dû travail virtuel à condition de tenir compte des forces d'inertie. Pour chaque

P d*x , P tf*v

boule, les composantes de l'inertie sont : rr dans le sens horizontal et Hr

r g dt* g dt*

Qd*z clans le sens vertical. Pour le manchon, il y a seulement la force d'inertie verticale y- .

1 J g dP

L'équation du mouvement est donc :

En retranchant cette équation de la précédente, on a :

2P( Wo *- w ')**' + 2pg*' + 2pgî,'+Q^=o.

D'ailleurs

dx f dz

!t~ x Tt

et

dt* X — dt^ X [dt)'

dz Si nous considérons l'instant du départ du manchon, -7- est nul, et l'on a simplement

-r- = x f -A-. De même -t4 = v' -7^. L'équation du mouvement donne alors : 3P fit 1 dt 1 u dt* H

Comparant cette équation à celle de l'équilibre pour la vitesse ù> , on trouve :

tfz Mo» - <d» 2Py' + Q

, dP — o> * X 2P (x 1 * + y") -f Q

Cette formule met bien en évidence ce qui caractérise le plus ou moins de légèreté

d'un régulateur. Pour une même valeur de j— £-, c'est-à-dire pour un même accrois-

sèment relatif de vitesse, l'accélération initiale du manchon est proportionnelle au rapport

2Pv' 4- Q

ot> / /i i /«\ i n • ces ^ ce ( I ue nous appellerons le coefficient de promptitude. Le numérateur n'est autre chose que la puissance, définie comme nous l'avons fait précédemment. Pour tenir compte des résistances passives, il suffit de remplacer, au numérateur (mais non au dénominateur), Q par Q — F, et d'écrire :

d*z <p» — <ù * 2Py' + Q — F dt*~ <** 2P(tf , *4V*) + Q-

Sans entrer, quant à présent, dans la théorie complète des régulateurs, on conçoit qu'il y ait tout intérêt à obtenir une promptitude d'action aussi grande que possible, car, plus l'action est prompte, moins la cause perturbatrice de l'équilibre a de temps pour faire sentir son effet. Cette promptitude augmente avec la puissance, mesurée par 2Pt/' -j- Q, mais elle diminue quand on fait croître le dénominateur 2P (x'* -j- y 7 *) -(- Q. Supposons que la puissance soit donnée, et désignons-la, comme d'habitude, par B. Nous avons alors :

Supposons en outre qu'on connaisse la vitesse moyenne to du régulateur, ainsi que le poids P des boules et leur distance x à l'axe ; l'équation d'équilibre

— tùJxx' 4- B = o

détermine x'. Pour rendre le dénominateur minimum, il ne reste plus qu'à choisir y 1 de façon à rendre l'expression y'* — y' aussi petite que possible. Pour cela, il faut faire

y r = ^, c'est-à-dire s'arranger de façon que le déplacement vertical des boules soit la

moitié du déplacement correspondant du manclion. S'il en est ainsi, la puissance devient égale à P -j- Q, c'est-à-dire qu'elle a pour valeur le poids du manchon augmenté de la moitié du poids des boules.

Si le manchon est chargé par un ressort, posons Q = Q t -}- Q,, Qt désignant le poids du manchon et Q 8 la tension du ressort. Celui-ci étant supposé dépourvu d'inertie, il est aisé de voir que Ton a :

d*z o>* — «Do 1 B — F

dl*~ »« ~ 2P (V* + y'*) + Q,

En pareil cas, on peut, en augmentant Q* sans modifier Q„ accroître autant qu'on le veut la puissance B, qui figure au numérateur, tout en laissant le dénominateur invariable. De cette manière, on fait grandir ad libitum le coefficient de promptitude, et l'on assure en même temps au régulateur la sensibilité qui est, comme nous l'avons vu, directement proportionnelle à la puissance.

L adjonction d'une cataracte nuit, dans une certaine mesure, à la promptitude d'action du régulateur. Toutefois, la résistance de la cataracte ne se fait pas sentir dès le premier instant du fonctionnement, puisque cette résistance s'annule avec la vitesse relative. L'accélération initiale du régulateur est la même, qu'il y ait ou non une cataracte; puis, dès que la vitesse prend une valeur appréciable, la cataracte intervient pour réduire l'accélération.