SURFACE DE L’ONDE ET AXES OPTIQUES

Surface de l'onde. — Puisque, d’après les principes posés par Fresnel, la vibration ne peut avoir lieu dans chaque section centrale que dans la direction de ses axes, l’ellipsoïde inverse des vitesses permet d’obtenir la surface d’onde, ensemble de deux surfaces auxquelles parvient après l’unité de temps la lumière qui se propage dans tous les sens autour d’un point d’une substance cristalline d’où part l’ébranlement.

Il suffit d’élever les normales à toutes les sections de l’ellipsoïde inverse des vitesses ; on prend sur chaque normale, à partir du centre, des longueurs inverses des axes de la section perpendiculaire ; par les extrémités de ces longueurs on mène des plans parallèles à toutes ces sections; la surface d’onde est l’enveloppe de toutes ces ondes planes ; l’équation en a été calculée par M. Bertrand dans son Traité des enveloppes , discutée par M. Mannheim (voir la Géométrie de MM. Rouché et de Gomberousse).

Le rayon lumineux, ou le chemin éclairé par un plan d’onde, étant le rayon vecteur qui joint le centre aux points de contact des plans tangents à la surface menés parallèlement au plan d’onde, pour chaque plan d’onde il y a deux rayons qui suivent la même route et, par conséquent, deux plans d’onde parallèles transportés avec des vitesses inverses des axes de la section centrale qui leur est parallèle.

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La surface d’onde est du 4e degré : elle a pour équation :

x% -h y* + s2 — a 2 x* + if -f- z1—!/ ' x' f y* + z2 — r

Elle a les mêmes plans principaux et les mêmes axes que l’ellipsoïde qui sert à la construire. A chaque couleur 'ou à chaque \) correspondent, pour la même espèce cristallisée, un ellipsoïde inverse et sa surface d’onde.

En général, le rayon vecteur ou lumineux est oblique au plan tangent ou plan d’onde correspondant; il n’est perpendiculaire à ce plan que lorsqu’il a la direction d’un des trois axes oX, oY, oZ .

On peut construire facilement les intersections de la surface d’onde par les sections principales.

Admettons que l’on ait a > b > c.

Si dans l’équation de la surface d’onde on pose successivement X =o, Y o,Z=zo,on obtient ses intersections avec les trois plans principaux, qui se composent pour chique plan d’un cercle et

Soit un rayon oM dans le plan ZoX, celui du papier (fig. io5). Ses vibrations se trouvent ramenées à deux directions : i° celle de oY, normale à ZoX et constante, quelle que soit la position de oM dans le plan ZoX ; 2° celle de oM', normale à oM dans le plan ZoX, laquelle tourne avec oM dans ce plan.

A la première direction correspond une vitesse de propagation constante, qu’on peut représenter par un cercle; le rayon lumineux qu’elle engendre se comporte comme un rayon ordinaire. A la seconde direction correspondent des vitesses variables, qui atteignent deux valeurs extrêmes : l’une, alors que le rayon lumineux oM est parallèle à oX, valeur minimum, puisque la vibration est alors parallèle à oZ, axe de plus petite élasticité c; l’autre, alors que le rayon est parallèle à oZ, valeur maximum, puisque

d’une ellipse.

CRISTAUX A TROIS AXES INÉGAUX

la vibration est devenue parallèle à oX, l’axe de plus grande élasticité a. Les vitesses sont données par une ellipse, dont le petit axe est parallèle à oX et le grand à oZ. Le rayon du cercle parallèle au rayon ordinaire a la valeur moyenne b.

Sur les trois axes, oX, oY, oZ, prenons des longueurs «, b , c. Dans le plan Z oX, l’ellipse coupe le cercle; dans le plan ZoY, le cercle est intérieur; dans le plan YoX, il est extérieur.

Axes optiques. — Le plan ZoX est celui qui nous intéresse spécialement. Les deux courbes y présentent une tangente commune 17 (fig. 106). Le point de contact T

jouit de cette propriété, qu’un faisceau

de lumière très délié TO ayant cette

direction s’épanouit en cône dans le

cristal et se rassemble à la sortie sous /

la forme d’un cylindre creux. Ces axes / ! 1

i, i' sont ceux qu’on appelle de réfrac- x’ i tion cvlind rique extérieure ou conique intérieure ; ce sont les axes optiques des cristallographes ; ceux de Fresnel

ont une direction différente, quoique

très voisine. Reportons-nous à l’ellip-

soïde inverse des vitesses.

Sections circulaires. — Tout ellipsoïde a deux sections circulaires, qui sont perpendiculaires au plan des axes extrêmes et dont le rayon est égal à l’axe moyen. Les deux sections circulaires de l’ellipsoïde inverse des vitesses sont parallèles au plan qui est tangent à la fois en T et t à la surface d’onde. Si un rayon lumineux a dans le cristal une direction normale à Tune des sections circulaires, telles que OT, ses vibrations s’effectuant suivant les rayons d’un cercle ne se décomposent pas et la direction 01' que suivent deux rayons qui ont la même vitesse se comporte comme Taxe optique des cristaux quadratiques et hexagonaux; ce sont deux axes optiques situés symétriquement à droite et à gauche des axes d’élasticité maxima etminima, dans le plan des ZX.

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3. — DIFFÉRENCE DEPHASEDES RAYONS RÉFRACTÉS PROVENANT D’UN MÊME INCIDENT.

Soitune direction II' d’une lamecristallineparcouruepar un rayon

ensemble en I', car ils ont des vitesses de propagation différentes, et ces différences de vitesses ne sont pas négligeables comme celles des angles que ces rayons font avec la normale PP' à la lace AB du cristal. Si la face A'B' de sortie est parallèle à AB, les deux rayons cheminent encore côte à côte dans l’air où ils redeviennent parallèles à IB. Ils parcourent II', l’un avec une vitesse V0 et dans II' h

le temps t0 •=. ~~ . Or, II' — , en appelant h l’épaisseur IP' du

v o cos r'

cristal, r l’angle l'IP'. Donc, ce premier rayon met un temps

to — — —77 • Le second met un temps te — — —rr • La différence 6 cos rV0 cos r Ve

de ces temps est donc ~ — - — ( — — Y et la différence de

cos r \\o — Ve/

phase des rayons est pour t0 — te = 0 :

réfracté provenant de l’incident RI (fig. 108). Le second rayon réfracté est tellement voisin du premier qu’on

^ peut le regarder comme lui étant rigoureusement parallèle, en sorte que la B, direction RI devient la route commune des deux rayons dans lesquels le cristal dédouble le primitif. Ces deux rayons, partis ensemble de I, n’arrivent pas

— ~ j ou comme \ = VT et T = ~-

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Y étant la vitesse de propagation dans l’air et n0> ne les deux indices de réfraction propres à la direction II'.

Polarisation elliptique. — On pose d’habitude égale à ç cette différence de phase.

A co s r

K —ne)

Soient, fig , Xo, Yo les directions suivant lesquelles se décom-

pose un mouvement vibratoire oM dans un milieu cristallin, (i) l’angle MoX, \j . l’écart oM d’une molécule M au temps T à l’entrée du rayon de lumière dans la lame.

YoX est la surface de cette lame.

(1) \),~a cos2tü-.

Les composantes suivant Xo et Yo sont :

(2) x zn a cos 2 tu — cos w y = a cos 2 tu — sin w.

Elles donnent naissance à deux rayons qui sortent de la lame avec une différence de phase ©; on a donc en Y, à un moment donné t :

X— a cos a) cos 2 tu —

y — a sin oj cos 2

et posant a sin w = q, a cos 0) == p,

y =q cos 2 tu — cos 2 ^ ? -\~ q sin 2 tu — sin 2 tu 9

y — q cos 2 tu — cos 2 tu © = q sin 2 tu — sin 2 tu ç

cos 2 tu - — -

y — — q cos 2

sin 2x9

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Élevons au carré :

Réduisons au même dénominateur :

py 2 + a?2 q1 — 2 xypq cos 2 izy z= g^p2 sin* 2 tuç. Divisons par p2^2 :

équation d’une ellipse rapportée à son centre et indépendante du temps que nous avons éliminé.

L’orientation de l’ellipse dépend de w et de ©.

Le mouvement consiste en vibrations elliptiques se propageant sur une droite normale à leur plan (1).

Rejet de la lumière naturelle. — Elle consiste en mouvements de ce genre, mais dont les axes varient à chaque instant en grandeur et en direction. Lorsqu’elle a traversé une lame cristalline, elle se reconstitue à l’émergence en un ensemble de vibrations elliptiques d’orientations et de formes différentes.

(1) Il n’entre pas dans notre sujet de discuter les différentes formes des

a2 cos u) a- sin“ w er sin w cos co

Sin 2 7TÇ

ellipses, ni le sens du mouvement de la molécule éthérée sur sa trajectoire. On voit, par exemple, que le mouvement a lieu dans le sens de la flèche sur la

Fig. 108.

(3) montrent que x et y diminuent à mesure que t croît depuis zéro.

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Emploi de la lumière polarisée. — Mais, si on fait traverser une lame cristalline par un rayon sorti déjà d’un polariseur, c’està-dire à vibrations rectilignes et parallèles, les vibrations, au sortir de la lame cristalline, décriventdjs ellipses semblables et de même orientation.

Rayons polarisés à angle droit. — Ce qui précède montre qu’ils ne peuvent pas interférer, puisque des vibrations rectangulaires donnent naissance à des trajectoires elliptiques, comprenant

les circulaires (dans le cas de <p zr - et o) = 45°) et les rectilignes

§ 4. — CARACTÈRES PRATIQUES DES AXES D ÉLASTICITÉ, DES LIGNES D EXTINCTION.

IYT

i° Axes d'élasticité. - Nous n’avons qu’à répéter ce quia été dit plus haut; taillons dans un cristal de l’un des trois systèmes orthorhombique, monoclinique ou asymétrique, une plaque à faces parallèles à oX, oZ(fig. no), deux de ses axes d’élasticité, par exemple à l’une des sections principales ou plans de symétrie d’un cristal orthorhombique, et faisons tomber sur cette plaque un faisceau normal 0 de rayons polarisés par une tourmaline parallèle, Fls- 109d’où ils sortent vibrant suivant une direction quelconque oM du plan ZoX.

Si nous recevons le faisceau qui a traversé la plaque sur une seconde tourmaline (analyseur) ayant ses faces parallèles et son axe perpendiculaire à oM que nous supposons dans la direction de l’axe de la première, nous voyons l’obscurité dissipée au point de croisement des deux tourmalines; mais, si nous faisons tourner la plaque sur elle-même, l’obscurité se rétablit, lorsque l’un des axes d’élasticité devient parallèle ou perpendiculaire à l’une des tourmalines.

Lorsque l'obscurité se dissipe, la vibration oM se décompose en deux, parallèles chacune à l’un des axes oX, oZ, en sorte que, si

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la tourmaline analyseur éteint la composante qui lui est perpendiculaire, elle laisse passer celle qui lui est parallèle ; mais, lorsque la vibration oM devient parallèle à l’un des axes, elle ne peut plus se décomposer; l’obscurité persiste.

Lignes d'extinction. — Interposons entre un analyseur et un polariseur croisés une plaque mince à faces parallèles à une direction quelconque, l’obscurité est en général dissipée ; mais, lorsqu'on tourne la plaque sur elle-même, on voit la lumière éteinte pour

quatre positions rectangulaires pendant une rotation de 36o°. Soit en effet abab’ (fig. m) une section elliptique centrale, et ab, a'b ' les axes de cette section. Soit un rayon polarisé ayant aba'b' pour plan d’onde et vibrant suivant oa'. Le déplacement donnera lieu à une réaction, qui aura une direction différente de oa', mais qui restera dans le plan mené par oa! et par la normale à la section, car le plan P oa est un plan de symétrie pour l’ellipsoïde. Or, une vibration contenue dans ce plan y fournit deux composantes, parallèles, l’une à oa', l’autre à oP. Celle-ci est négligeable optiquement ; donc, oa' se comporte comme un axe d’élasticité ; si la vibration oM n’est pas contenu dans le plan aoP (ou dans le plan éoP), elle donne une composante perpendiculaire à ce plan et une contenue dans le plan; la lumière reparaît ; mais la rotation de la plaque ramène un des axes ad, bb' en face d’une des sections principales de l’analyseur ou du polariseur, et 1 obscurité est rétablie.

Quant au rayon de lumière, c’est la ligne oT joignant les points de contact successifs des plans d’onde parallèles et des ellipsoïdes semblables, route éclairée, c’est-à-dire suivie par l’activité lumi-

neuse.

POLARISATION CHROMATIQUE

N. B. — Si on emploie un rhomboèdre au lieu d'un nicol, on a deux i mages.

L’intensité — de Limage ordinaire s’obtient facilement au oc

moyen de le formule (5) en y remplaçant a par a -j- - ; la formule devient :

Les phénomènes sont complémentaires de ceux que donne — .