CHAPITRE IV

SYSTÈME DU PRISME B10BL1QUE Synonymes : Système triclinique ou asymétrique.

Prenons un parallélipipède quelconque (fîg. i4). Plaçons verticalement quatre de ses bases formant prisme. Supposons que les deux autres soient inclinées, d'abord, d'arrière en avant et, en outre, dans une seconde direction, de gauche à droite, par exemple. On peut choisir pour bases deux faces quelconques, et pour pans les quatre restantes; les bases gardent toujours le caractère d'une double obliquité sur les pans, qui nous fait donner à cette forme le nom de prisme bioblique.

Notation. — De cette double obliquité il résulte que les angles dièdres formés par une des bases avec les pans sont différents les uns des autres ; les quatre arêtes de chaque base diffèrent toujours par la valeur des angles dièdres, auxquels elles correspondent; on les note au moyen des premières consonnes écrites dans Tordre alphabétique et comme dans l'écriture ordinaire, la première b à gauche, la seconde c à droite, ce qui donne en quelque sorte une première ligne, et, à la seconde ligne, en dessous, d à gauche, /"à

droite. Les arêtes de la base inférieure sont opposées et égales deux à deux à celles de la base supérieure. Les quatre arêtes verticales de même longueur correspondent à deux sortes de dièdres; on les note g à gauche et à droite, h en avant et en arrière. Les angles solides du prisme sont dissemblables ; ils sont notés au moyen des voyelles a% e, i> o, écrites d'après la même convention que les consonnes. Deux de ces angles opposés sont identiques. Deux faces opposées le sont aussi ; mais les trois faces d'un même angle solide sont dissemblables. On les représente par les premières lettres des trois syllabes du mot primitif, p pour les bases, m pour le pan de gauche, t pour celui de droite en avant.

Le prisme et ses zones. — Soit un plan LMPQ parallèle à l'arête h antérieure. Pour s'assurer de ce parallélisme, on dispose le cristal comme il convient pour la mesure de l'angle dièdre des faces m, t; puis on le fait tourner autour de l'axe du goniomètre parallèle à Farête A, comme si on voulait mesurer l'angle des faces m et t; on doit constater la coïncidence rigoureuse

des images de la mire donnée par cette dernière face et par le miroir annexé au goniomètre (fig. i5). On dit que des faces forment une zone, lorsque leurs intersections sont parallèles; l'axe de la zone est l'intersection commune de toutes ses faces, lorsqu'on les transporte parallèlement à elles-mêmes jusqu'à ce qu'elles passent par le centre du cristal. La face LMPQ appartient à la zone des faces m% f, et l'axe de cette zone est parallèle à l'arête verticale.

Détermination du prisme. — Nous avons défini le prisme bioblique en général; les substances très nombreuses qui cristallisent sous une forme de ce genre se sépareront de toutes les autres ; mais il faut maintenant les distinguer entre elles, en distinguant les uns des autres, s'il est possible» et leurs prismes et les formes qui s'y rattachent. Or, ces prismes diffèrent en réalité dans les

Fig. 15.

CRISTALLOGRAPHIE

différentes espèces minérales; ceux de l'axinite, par exemple, ont des arêtes tranchantes, presque dangereuses à manier, qu'on ne retrouve pas dans ceux de l'anorthite. On mesurera donc les angles dièdres que forment leurs faces. On représente pour abréger par pm, mty pt, les angles des faces p et m, m et t, p et t. Au moyen de ces angles dièdres on calcule les angles plans eoi> eoa, ioa, que les arêtes d'un même angle solide o font entre elles (1).

On pourrait mesurer directement les angles plans ; mais ie calcul au moyen des angles dièdres est plus exact que la mesure directe.

C'est tout ce que nous pouvons tirer d'un prisme. Quant aux longueurs de ses arêtes, elles n'ont rien d'absolu, puisqu'un cristal est susceptible de s'accroître indéfiniment; elles ne sont pas même dans un rapport constant, puisque les faces peuvent s'accroître accidentellement les unes sans les autres. Mais presque toujours les au r * prismes sont chargés de facettes plus ou

moins nombreuses.

Soit une facette MNRS parallèle à l'arête f, dans la zone des faces p et t. Nous U avons vu, page 33, comment on constate qu'une face appartient a une zone déterminée par deux faces qui se coupent (fig. 16).

Cherchons les segments OM, ON, interceptés sur les arêtes oezzid oa — h, par cette face. Pour cela, parle point 0 nous mène-

as

Fig. 16.

(1) Soit aoi = a eoi = b eoa = c

pm = A mt = B pt = C.

La trigonométrie sphérique donne les relations :

siu (A-8)

t« -2-±y siu(B-

icr- —

tsr

sin S sin (B-S) sin (A-S) sin {C-S)

c /sin S sin (C-S)

72 y siu (A-S) 6iii (B-Sj

en posant : A -f B + C — 180» = 2S.

rons un plan oHK perpendiculaire à l'arête ol et, par suite, aux lignes parallèles MR, NS. Ce plan coupe la face p (eaMFD suivant HA perpendiculaire à MR, la face MNRS suivant HK perpendiculaire également à MR ; donc, AHK est l'angle plan qui mesure l'inclinaison de MNRS sur p ou eaMR. Le plan HOK coupant oîNS, face/, et MNRS suivant Ko et KH toutes deux perpendiculaires à NS, l'angle BKH est de même l'angle mensurateur du dièdre formé par les faces MNRS et aeNS ou t. Enûn, oH et oK, toutes deux perpendiculaires à 01, Tune sur la face p, l'autre sur la face tf forment ensemble l'angle HOK qui mesure l'inclinaison p sur t. Cela posé, mesurons au goniomètre l'angle KHA, valeur du dièdre des faces p et MRNS. L'angle oHK en est le supplément; nous avons mesuré déjà, page 34, le dièdre des faces p et t qui a pour valeur HoK. Dans le triangle HoK on connaît donc deux angles; on peut calculer le rapport des deux côtés oH, oK.

oH = sinoKH KH = i8o.oHK oK sinoHK

Comme oH et oK sont perpendiculaires, l'une à MR, l'autre à NS,

on a

OM = -1 TTTT oN

sin oMH sin oNK

D'ailleurs, oMH z= i8o° — eoi et oNK =: 1 8o° — aoi. Mais on connaît les angles plans eoi, aoi, et Ton sait que les sinus de deux angles supplémentaires sont égaux et de même signe; on a donc définitivement :

oM sin aoi OH sin aoi sin oKH

oN sin eoi OK sin eoi sin oHK

oM J

Tel est le rapport — des segments interceptés par la face

MRNS sur les deux arêtes eoy ea.

Sur le même cristal ou sur un autre de la même espèce, cherchons une facette MPLQ parallèle à l'arête h dans la zone des faces m, f (voy. fig. iV.

42 CRISTALLOGRAPHIE

Par un calcul analogue au précédent, nous obtiendrons le rap-

oP port — des segments interceptés par cette face sur les arêtes

oe, oa. Nous pouvons faire passer la face LMPQ par le point M, ou par tout autre point de l'arête oe, pourvu qu'elle reste parallèle à elle-même.

Nous connaîtrons donc en définitive le rapport des deux segments oM, oP, au troisième oN.

Forme primitive- — Menons dans l'espace trois lignes eo, 01, oa, qui fassent entre elles les angles eoa, aoi, eoi9 calculés plus haut. Donnons à ces lignes des longueurs oe, oiy oa, proportionnelles à OM, OP, ON, que nous venons de calculer; achevons le prisme; nous aurons ce qu'on appelle une forme primitive. Il est évident que nous aurions pu prendre les faces MNRS, MPLQ comme pans d'un prisme, aussi bien que les faces a, e, i, 6, ... que nous avons notées p, m, t. On prend en général pour faces du prisme primitif d'une espèce minérale celles qui s'y présentent le plus fréquemment, qui sont en quelque sorte les plus caractéristiques de cette espèce.

Formes dérivées. — Souvent sur un cristal ou sur différents

cristaux d'une même substance on trouve ^ '"' un grand nombre de facettes. Soit, en

outre des facettes qui ont servi à déterminer la forme primitive et que nous ne figurons pas, une facette H KL qui coupe à la fois les trois arêtes du prisme dont Fig. 17. on a fixé les dimensions, comme il vient

. d'être dit {Ci^. 1 7. En introduisant comme données dans des calculs analogues aux précédents les dièdres que la face H KL forme avec les faces du prisme, on arrive à connaître les segments OH, OK, OL. On trouvera par exemple, dans le cas observé ici :

OH — -oc OK =4 01 OL = -oa S «> 2

et comme on a posé oe = d, oi zz f9 oazzz h, on représentera la facette d'après la convention suivante :

On écrit en haut et à droite de chacune des arêtes, à la manière d'an exposant, le nombre qui est en réalité un facteur ou coefficient par lequel on doit multiplier la longueur de l'arête pour obtenir le segment correspondant. Le symbole de la face HKL est donc ici :

d* f À* D'une manière générale, une face du système a pour notation :

i ! L d " fn h * , lorsqu'elle rencontre, comme la précédente, immédiatement les trois arêtes d, /*, h. Elle pourrait être placée de façon à rencontrer d'abord les arêtes 6, c, h (h postérieur), ou 6, d, g [g de gauche), ou c, fy g {g de droite). Les quantités ^ £ -i sont des fractions, des nombres entiers ou fractionnaires; elles sont toujours rationnelles et le plus fréquemment des plus simples.

La face HKL et son opposée parallèle constituent ensemble une forme simple. Dans le système bioblique les formes simples se réduisent ainsi à deux plans illimités; ces formes, qui ne se ferment pas d'elles-mêmes, sont appelées ouvertes.

Les deux bases p, les deux pans m, les deux pans t sont aussi des formes simples ouvertes. Les faces, telles que HKL, qui ne font pas partie de la forme primitive, sont dites dérivées.

Faces sur les angles. — Soit sur le prisme primitif une face

i JL ' QRa ayant pour expression d ra fm h*

(ûg. 18).

A cause de l'égalité des nombres - qui

multiplient les deux arêtes d, f, pour

abréger son symbole, on est convenu de

représenter la face par la même lettre Fig. is.

que l'angle solide dont elle intéresse les

arêtes et décrire en haut et à droite de cette lettre le quotient,

qu'on obtient en divisant les deux quantités égales - par la diffé-

rente p. Ici on aurait oîn« p olii.

CRISTALLOGRAPHIE

Supposons que la face QRS ait pour expression : dmfm A«, le symbole abrégé, par une nouvelle convention, sera écrit

Fig. 19.

On dit que les faces QRA, QRS, sont situées sur les angles o; leurs traces sur les faces sont parallèles aux diagonales qui joignent les extrémités des arêtes coupées par ces faces en parties proportionnelles; ei est, par exemple, parallèle à QR.

Faces parallèles aux arêtes. — Soit la face HKLM et son opposée parallèle H' KLM', toutes deux parallèles aux arêtes g

(fig. 19). HKLM enlève - sur l'arête ea

ou 6, - sur Tarète eo ou d\ elle est parallèle à l'arête ei ou g. Elle a pour ex-

pression générale b m rf p g ° . On est convenu d'abréger cette expression en représentant la face par la même lettre que l'arête parallèle et en écrivant, en exposant à droite de cette lettre le quotient des quantités enlevées sur chacune des deux

autres arêtes. Le symbole abrégé est donc g - : -• == g £.

Dans notre figure la face HKLM est parallèle à la diagonale ao

en même temps qu'à l'arête ei ou a. Les nombres — - sont

égaux, puisque les segments eH, eK, sont proportionnels aux longueurs ea, eo ; le symbole abrégé de la face est g1.

On voit que, d'après cette convention, les symboles abrégés des faces MLPQ et MRNS, des figures 1 5 et 16, doivent être h1 et/1, puisque nous avons donné aux arêtes du prisme des dimensions proportionnelles aux segments OM, OP, ON interceptés par ces faces.

Remarque. — L'observation a toujours montré jusqu'ici l'exactitude de cette loi de rationalité à laquelle sont soumis les segments interceptés par les faces des différentes formes sur les trois

arêtes concourant au sommet de l'angle solide d un prisme dont les angles et les arêtes sont déterminées, comme nous l'avons vu, au moyen des angles formés par cinq des faces qui se coupent.

Menons par le centre du cristal trois droites qui joignent deux à deux les milieux des faces opposées de ce prisme ; nous aurons les trois axes. \

Ces axes sont parallèles aux arêtes, ils font entre eux les mêmes angles que celles-ci, et ils ont la même longueur ; seulement, au lieu de se couper au sommet d'un angle, ils se rencontrent au centre. Les segments interceptés par les faces sur les axes seraient donc proportionnels à ceux qu'elles interceptent sur les axes, et ils seraient assujettis comme eux à la loi de rationalité; les longueurs des arêtes deviendraient ce que nous avons appelé les paramètres pour les axes. En résumé, toutes les assertions, que nous avons exposées pour définir la structure cristalline, se trouvent maintenant incontestablement démontrées.

Détermination pratique des formes de ce système. — Ces formes ne présentent que deux dièdres opposés égaux ; les dièdres adjacents ne le sont pas.