GROUPES DE TRANSFORMATIONS

rent done pas cette même chose qui permet la reconnaissance des thèmes. Notre notation était donc légitime.

Semblablement, le deuxième chiffre indique bien la durée de chaque note, mais non à quel moment du déroulement du morceau musical sont entendues toutes ces notes. C’est postuler que l’invariant admet aussi une translation d'ensemble dans le temps nouveau groupe qui ne l’altère pas, comme l’expérience le montre.

Il y a néanmoins, à ces possibilités de translation, des bornes sur lesquelles il est inutile d’insister : si la hauteur des notes, par exemple, ne se tient pas entre certaines limites, les vibrations de l’air ne sont plus perçues comme sons. À de semblables limitations près, on dira : le groupe des translations dans le temps, ou en hauteur, n’altère pas le leit-motif.

Le problème de la reconnaissance des thèmes est ainsi posé en termes de physique, et rendu apte à recevoir une solution précise.

Voici un nombre (plus exactement un nombre complexe, formé de deux nombres associés). Et voici un fait : parfois, plusieurs transformations de ce nombre sont reconnues comme étant la même chose, ou représentant, ou contenant la même chose. Ce fait est illustré par l’usage de la critique wagnérienne qui attache parfois la même étiquette à des nombres complexes différents : par exemple, plusieurs nombres semblables ont également droit à l'étiquette « la délivrance par la mort ».

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ÉLÉMENTS D’ANALYSE MUSICALE

On passe d’un de ces nombres aux différents autres par certaines transformations de leurs chiffres. Quelque chose, dans ces chiffres, est conservé invariant, sous toutes les transformations, chaque ïois que 1es divers récepteurs humains reconnaissent la même chose, et la marquent de la même étiquette. C’est dire que ces transformations forment un groupe.

Pour rechercher le groupe le plus général des transformations qui conservent un leit-motif, nous avons indiqué deux voies :

1° Essayer les groupes mathématiques usuels, à un de ces nombres complexes représentant le leittmotif. Nous avons signalé par exemple le groupe des homothéties.

2° Se faire apporter par un observateur non prévenu des formes musicales différentes dans lesquelles il reconnaît le même leit-motif. Alors, sur les chiffres représentant ces différentes formes, rechercher quel est le type de transformations équivalent seulement au passage d’une de ces formes à une autre.

Ainsi, nous avons examinés tous les thèmes signalés, dans Tristan, par un critique non prévenu; de chacun, il donne plusieurs formes. La représentation de ces formes par des nombres complexes, et l’étude de ces nombres, nous a permis de reconnaître que le groupe suivant de transformations fait seulement passer, d’une certaine forme d’un leit-motif, à une autre forme du même leit-motif :

Si l’on conserve les rapports des intensités (suivant