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Nous allons donc maintenant essayer de traiter nousmême cette grave question, avec indépendance d'esprit, mais en profitant des lumières que nous avons trouvées dans rétude des doctrines des penseurs qui sont arrivés avant nous aux mêmes conclusions; et nous avouons ici avec respect et reconnaissance que nous leur devons beaucoup. La certitude d'être d'accord avec eux dans l'ensemble, sinon dans tous les détails, nous inspirera plus de confiance, pour exposer la doctrine à laquelle nous nous sommes arrêté après un mûr examen et avec une conviction profonde, et pour en développer les preuves. Ensuite nous répondrons aux objections qu'on oppose à cette doctrine; nous montrerons l'insuffisance des preuves de l'opinion contraire et la fausseté des conséquences auxquelles cette opinion et ces preuves devraient conduire.

Pour procéder avec prudence dans cette tâche difficile nous nous efforcerons de suivre fidèlement deux maximes d'une justesse incontestable, savoir : 1^ d'admettre

rincompréhensible, lorsqu'il sera démontré ; 2® de repousser l'absurde et le contradictoire, lorsqu'ils seront bien et dûment reconnus pour tels. Je dis que ces deux maximes sont incontestables; car, !*> dans tous les ordres de connaissances il y a des vérités que nous concevons et que nous démontrons sans les comprendre, et nous ne pourrions pas les rejeter ensuite sans nous condamner, soit au scepticisme, soit à l'inconséquence; 2* admettre l'absurde, le contradictoire, dans certains ordres de connaissances, ce serait perdre le droit de le repousser dans quelque ordre de connaissances que ce fût, ce serait renoncer à la raison. Autre chose est de ne pas voir le rapport et la conciliation de deux propositions, autre chose est de voir clairement qu'elles impliquent contradiction entre elles. Quand deux propositions sont démontrées, leur conciliation existe quelque part, mais elle peut se trouver au-delà de ce que nous sommes actuellement capables de comprendre. Au contraire, quand la contradiction se montre à nous avec évidence, c'est qu'elle existe en deçà des limites de ce que nous pouvons comprendre présentement.

Gelaposé, abordons tout de suite la question générale, de laquelle les autres dépendent, et qui seule peut- nous conduire à une solution. Qu'est-ce que l'infini mathématique, c'est-à-dire l'infini en quantité divisible et mesurable, par exemple en étendue, en durée, en nombre? Les mathématiciens l'emploient d'une manière aussi utile que légitime, quelquefois sans s'en faire une notion bien nette ; mais, même alors, la rigueur des méthodes malhématiques peut les empêcher de s'égarer dans les

LE MONDE ET L'iNPINI MATHÉMATIQUE. 291

applications. Au contraire, certains métaphysiciens se laissent trop facilement tromper par une confusion entre rinfini métaphysique et Tinfini mathématique, qui n'en est qu'une faible image. Essayons de les distinguer l'un de l'autre.

Vinfini métaphysique absolu et à tous égards est un ôtre réel : c'est l'Être parfait dans sa plénitude une et indivisible, c'est Dieu. L'infini métaphysique à certains égards, c'est chacun des attributs de Dieu dans la perfection une et indivisible qui est propre à chacun d'eux. L'infini métaphysique ne peut ni être divisé, ni être augmenté par addition, ni être diminué par soustraction. Il n'est pas une quantité : il est essentiellement supérieur t\ toute quantité possible.

Vinfini mathématique n'est pas un être réel, mais une conception idéale, qui concerne, soit des quantités variables et essentiellement susceptibles de division, soit les nombres qui mesurent ces quantités en les rapportant à une unité de même ordre, soit les nombres abstraits, qui peuvent servir à compter des objets quelconques sans détermination de la nature de l'unité. Le propre de toute quantité ou de tout nombre est d'être capable d'augmenter par addition et par multiplication, et de diminuer par soustraction et par division. En mathématiques, Vinfiniment grandesinnelimite idéale de quantités croissantes suivant une loi, et Vinfiniment petit est une limite idéale de quantités décroissantes suivant une loi. Cette limiieidéale est bien différente de ces quantités réelles et constantes qu'on appelle spécialement limites en mathématiques, et qui sont telles que la diffé-

rence entre elles et une variable^ qui sert à en obtenir la mesure, puisse devenir et rester moindre que toute grandeur désignée ou assignable. La limite idéale dont nous parlons et qui est l'infini mathématique peut être considérée de deux manières, savoir: en elle-même, comme absolue et invariable, ou bien par rapport à nous et comme changeant suivant notre point de vue. Considéré de la première manière, Tinfini mathématique, soit infiniment grand, soit infiniment petit, est une limite absolue^ placée en dehors des quantités qu'elle limite, et par conséquent il n'est pas une quantité. En effet, toute quantité, quelque petite ou grande qu'elle soit, est essentiellement divisible, sinon physiquement, du moins par la pensée, en parties plus petites qu'elle-même et réellement contenues en elle, et elle est essentiellement moindre que le double ou le triple de cette même quantité. En mathématiques, Vinfiniment grand absolu est conçu comme plus 'grand que toute autre quantité possible, et Vinfiniment petit absolu comme plus petit que toute autre quantité possible. Mais toute quantité possible est plus grande que la moitié et plus petite que le double de cette même quantité. L'infiniment grand et Tinfiniment petit absolus, en tant que quantités, sont donc impossibles par définition. Ce sont les deux limitesidéales et absolues que les quantités croissantes et décroissantes ne peuvent jamais atteindre et dont seulement elles peuvent approcher indéfiniment. Aucontraire, considéré de la seconde manière, l'infini mathématique est une quantité variable suivant une certaine loi et tendant, soit vers la limite de infiniment petit

absolu , soit vers celle de rinfiniment grand absolu.

Cet infini mathématique non absolu joue un rôle important dans la science et dans ses applications. Placé en deçà des limites absolues et idéales qu'aucune quantité ne peut atteindre, l'infini mathématique, considéré de cette seconde manière, est une quantité variable, que nous nommons infiniment grande ou infiniment petite, parce qu'elle est conçue comme plus grande ou plus petite que toutes les quantités assignables, dont elle est une limite idéale, mais relative. En effet, au-delà des dernières quantités assignables pour nous, il y a encore d'autres quantités possibles, plus petites que tel infiniment petit, plus grandes que tel infiniment grand, mais non aussi petites que l'infiniment petit absolu, qui est nul, ni aussi grandes que l'infiniment grand absolu, qui, n'étant ni multipliable, ni divisible, est impossible en tant que quantité. Entre un infiniment petit d'ordre quelconque et Tinfiniment petit absolu, qui est absolument nul, la difl"érence est plus petite que toute quantité assignable et peut cependant continuer de décroître indéfiniment; entre un infiniment grand d'ordre quelconque et l'infiniment grand absolu, la différence reste toujours infinie.

Loin de repousser cette conception des infiniment grands et des infiniment petits relatifs et variables, susceptibles de plus et de moins et plus grands ou plus petits les uns que les autres, le calcul infinitésimal la suppose nécessairement et expressément. Il reconnaît et emploie des infiniment petits, qui sont tels par rapport aux quantités assignables pour nous, et qui cependant

sont tellement inégaux entre eux dans une nnême nature de quantités, que non-seulement Tunpeut être une partie aliquote de l'autre, mais qu'un infiniment petit du deuxième ordre est infiniment plus petit qu'un infiniment petit du premier ordre, et qu'il y en a de troisième ordre qui sont infiniment plus petits que ceux de second ordre et ainsi de suite ^

C'est surtout l'infiniment petit qu'on emploie en mathématiques, pour arriver à déterminer, au moyen de certaines quantités variables plus simples, les valeurs de certaines quantités constantes considérées comme limites réelles de ces quantités auxiliaires, de telle sorte que la différence entre les variables et la limite dont on cherche la valeur devienne et reste infiniment petite dans le sens relatif de cette expression, c'est-à-dire moindre que toute quantité assignable» Quelquefois on est obligé d'employer dans un même problème plusieurs t?artaô/é?« d'espèces différentes, dont les rapports entre elles et avec les limites peuvent conduire à des infiniment petits de différents ordres : alors chaque infiniment petit d'un certain ordre est négligeable, non-seulement par rapport à la quantité cherchée, mais par rapport aux infiniment petits d'ordres inférieurs, s'il y en a, et pourtant chaque infiniment petit est si loin d'être absolument nul, qu'il n'est pas du tout négligeable par rapport aux infiniment petits d'ordres supérieurs. Les infiniment petits d'un ordre sont même infiniment plus petits que ceux de

* Yoyer, M. Duhamel, Des méthodes dans les sciences de raisonne" ment y 3« partie, ch. 14, §§ 246 et suiv., p. 302 et suiv. (Paris, 1868,

Tordre immédiatement inférieur; car, tous les infiniment petits étant des fractions dont le numérateur est une quantité finie, les infiniment petits du premier ordre ont pour dénominateur l'infini relatif à la première puissance, ceux du deuxième ordre cet infini multiplié par lui-même, ceux du troisième ordre la troisième puissance de rinfini, et ainsi de suite. Ainsi Tinfiniment petit avec ses différents ordres suppose, comme dénominateur de la fraction qui le constitue, Tinfiniment grand avec des ordres correspondants. L'infiniment petit ou Tinfinimentgrandà la seconde puis'sance sont donc par définition infiniment plus petits ou plus grands qu'à la première puissance; à la troisième, ils sont infiniment plus petits ou plus grands qu'à la seconde, et ainsi de suite à Tinfini. Il est clair qu'aucun de ces infiniment petits ou de ces infiniment grands de différents ordres n'est plus petit ou plus grand que toute autre quantité possible de même nature, et qu'infinis par rapport à nous et à toutes les quantités que nous pouvons assigner, ils sont finis en réalité. Non-seulement cette conclusion n'est pas contraire aux principes et aux applications de calcul infinitésimal, mais elle leur est nécessaire, pour que les infinis de différents ordres, que ce calcul emploie, soient admissibles.

Ainsi les infiniment petits mathématiques de différents ordres sont bien des quantités infiniment inégales entre elles, échelonnées au-dessus du zéro, qui leur sert de limite idéale et absolue, et qui est la négation de toute quantité ; de môme les infiniment grands mathématiques de différents ordres, quoiqu'ils soient tous des

quantités plus grandes que toute quantité assignable, son! cependant des quantités possibles et inûniment inégales entre elles, échelonnées au-dessous de rinfiniment grand mathématique absolu, qui leur sert de limite idéale, et qui est l'impossible en fait de grandeur.

Une quantité constante ne peut être dite infiniment petite ou infiniment grande que par abus et eu égard à notre ignorance : elle peut être trop petite ou trop grande pour que nous puissions la connaître, mais elle ne peut pas être un infiniment petit mathématique dans le sens absolu du mot *. N'étant pas une variable, elle est une quantité réelle et finie, ou bien elle n'est pas une quantité. Supposons qu'une quantité, qu'on dit infiniment petite, soit la difl'érence de deux quantités constantes : si cette différence constante n'est pas réelle et finie, elle est nulle et ces deux quantités sont mathématiquement égales entre elles *. Mais une quantité variable dont on connaît la loi de décroissance peut être considérée à un point de cette décroissance où par hypothèse elle est devenue plus petite que toute quantité assignable.

11 en est pour les nombres comme pour les autres quantités. Il est de leur essence de pouvoir croître indéfiniment par addition, par multiplication, par élévation à la seconde puissance, à la troisième et ainsi de suite. Par conséquent, un nombre plus grand que tout autre nombre possible est un nombre impossible. De même.

Ainsi l'étendue continue de chacune des parties les plus petites de la matière ne peut pas être infiniment petite dans le sens absolu dii mot. Voyez ci-dessus, IVe Essai, vers la fin du § 2. — * Voyez M. Ch. de Freycinet, De ranalyse infinitésimale, 3« partie, ch. 2, p. 154-155 (1860, in-80).

il est de Tessence de tout nombre de pouvoir décroître indéfiniment par division au-dessous de Tunité, par la multiplication des dénominateurs et par leur élévation à diverses puissances. En nombre comme en étendue et en quantités quelconques, il y a des infiniment petits inégaux et de différents ordres, tous plus petits que tout nombre assignable, mais infiniment plus petits les uns que les autres, et tous plus grands que d'autres nombres non assignables et pourtant possibles. Il y a deux limites idéales et absolues qu'aucun nombre ne peut atteindre, savoir: le zéro, qui n'est rien, et le nombre plus grand que tout nombre possible, c'est-à-dire le nombre impossible. Supposer un nombre actuellement et absolument infini, c'est-à-dire plus grand que tout autre nombre possible, c'est se heurter contre le contradictoire et l'absurde. Prenez la série naturelle des nombres entiers croissants, et supposez-la réalisée à l'infini et composée d'un nombre absolument infini de termes. Le nombre infini égal à la somme de ces termes sera plus grand que le nombre infini de ces mêmes termes, dont par conséquent le nombre n'était pas absolument infini. Ainsi cette supposition est impossible; car elle se contredit. Pour les dix premiers termes de cette série naturelle des nombres, termes dont trois sont des carrés, le rapport du nombre des carrés au nombre des termes est 3/10. Pour les cent premiers nombres, ce rapport n'est plus que de 1/10; pour les mille premiers nombres il n'est plus que de ^1/1000 ou 3/100 environ, et ce rapport va toujours décroissant sans aucune limite. Il devra donc être infiniment petit pour la série infinie des Tiotïùi\e.^^ çî^'sXf-V-

dire qu'il sera plus petit que toute fraction assignable pour cette série continuée au-delà de toute limite assignable. Voilà ce qui est rigoureusement vrai. Maintenant voici ce qui est faux et absurde : c'est que cette série, telle qu'on la prend, puisse être actuellement et absolument infinie, c'est-à-dire continuée de telle sorte qu'il n'y ait au-delà aucune continuation possible. En effet, cette série^ ainsi continuée jusqu'à l'impossible exclusivement, devrait contenir tous les nombres possibles, et par conséquent les carrés, évidemment possibles aussi, de tous les nombres qu'elle contiendrait. Le non.bre des carrés ne pourrait donc pas être inférieur à celui des autres nombres de la série supposée absolument infinie, tandis qu'il est démontré que le nombre des carrés devrait être infiniment inférieur à ce nombre. Ce raisonnement est de Galilée ^ De cette contradiction manifeste et de beaucoup d'autres que l'hypothèse d'une suite actuellement prolongée à l'infini, d'un nombre actuellement infini, entraîne nécessairement, Galilée, etCauchy, qui le cite, concluent avec raison que cette hypothèse doit être rejetée.

En résumé, toute nature de quantité exprimable en nombre à l'aide d'une unité peut prendre toutes les valeurs comprises entre deux limites absolues, qu'aucuoc quantité ne peut atteindre, savoir : le zéro, qui est le néant, etl'infiniment grand absolu, qui, en fait de quantité, est l'impossible. Les infiniment petits de différents ordres sont des quantités possibles, bien que non assi-

- * Dialogo délie scienze nuove, Giornata prima. Opère, t. Xlïl, p. 34-i l FJoreoce, 1855, in-8o).

gQables pour nous, et au-delà desquelles il y a toujours la possibilité de quantités plus petites. Les infiniment grands de différents ordres sont des quantités possibles, bien que non assignables pour nous, et au-delà desquelles il y a toujours la possibilité de quantités plus grandes encore.

En tant que simplement possibles, les quantités sont indéfinies^ c'est-à-dire capables d'accroissement et de diminution sans fin. Uespace, dans le sens le plus général du mot, est l'étendue simplement possible et entièrement indéfinie, que Ton conçoit indépendamment de tous les corps réels. De même, les figures géométriques sont des figures idéales et possibles, qui ne sont jamais réalisées qu'imparfaitement dans la nature, et c'est précisément parce qu'elles sont idéales et non réelles, qu'elles comportentrexactitude mathématique. Le videparfait n'existe qu'entre les parties les plus petites de la matière pondérable ou impondérable. Mais Tintervalle entre des corps peut être supposé vide : cet espace, ainsi déterminé par hypothèse, est la possibilité restreinte d'une certaine étendue dans certaines conditions de lieu par rapport aux places actuellement occupées par certains corps. L'espace au-delà de tous les corps du monde est la possibilité indéfinie de l'étendue et de la distance au-delà de ces corps. L'étendue des corps a des limites, parce qu'elle est réelle; l'étendue de l'espace n'a aucunes limites, parce que c'est une étendue non-seulement idéale, mais indéfiniment possible. De même, le temps, dans le sens le plus général du mot, est la durée possi* ble et indéfinie, conçue indépendamment de toutes les

durées réelles. Par rapport à celles-ci, l'on peut déterminer le temps par certaines conditions d'intervalles et plier ainsi la durée au calcul. Dans le passé, toute durée, connue ou inconnue, est limitée, puisqu'elle est déjà réalisée, puisque ce qui est réalisé ne peut pas être indéfini en soi, et puisqu'une quantité absolument infinie n'est pas réalisable. Mais, dans le sens de l'avenir, la durée peut s'étendre sans aucune limite.

L'immensité divine n'est pas une quantité ; elle n'est pas un infini mathématique; elle n'est pas non plus une possibilité indéfinie : elle est une réalité suprême, indivisible, un infini métaphysique entièrement distinct de l'espace. De même, l'éternité divine n'est pas une quantité divisible; elle n'est ni un infini mathématique, ni une possibilité indéfinie, ni une durée divisible et successive : elle est un infini métaphysique, une réalité suprême, indivisible et entièrement distincte du temps, qui, dans l'acception la plus générale du mot, n'est que la possibilité idéale et indéfinie de la durée.

Les quantités réelles ne peuvent pas être indéfinies; elles ne peuvent pas être des infiniment petits absolus, plus petits que toute autre quantité possible, puisqu'alors elles ne seraient rien; elles ne peuvent pas être des infiniment grands absolus, plus grands que toute autre quantité possible, puisqu'alors elles seraient l'impossible en fait de quantité. Elles peuvent être des infiniment petits ou des infiniment grands mathématiques, c'est-àdire qu'elles peuvent être plus petites ou plus grandes que toute quantité assignable pour nous; mais, au-delà de chacun de ces infiniment petits ou de ces infiniment

grands relatifs, d'autres plus petits ou plus grands encore sont possibles, et par conséquent chacun d'eux a des limites réelles, au-delà desquelles s'étend une possibilité ultérieure de grandeur ou de petitesse.

Ainsi l'étendue réelle du monde en un instant donné est une quantité finie, bien qu'elle soit infiniment grande dans le sens le plus ordinaire du mot en mathématiques, c'est-à-dire plus grande que toute étendue assignable et concevable pour nous. Si, au lieu de considérer le monde en un instant donné, nous considérons son étendue comme variable et susceptible de s'accroître par expansion ou par création, nous devrons dire que cette étendue, déjà infiniment grande dans le sens que nous avons dit, peut devenir encore infiniment plus grande^ s'il plaît au Créateur; mais nous devrons ajouter qu'elle restera toujours nécessairement plus petite que d'autres étendues possibles; car, l'étendue étant une quantité susceptible de croître indéfiniment^ une étendue plus grande que toute autre étendue possible serait une étendue impossible. Quelques exemples achèveront d'éclaircir cette notion de l'infini mathématique et de ses bornes mobiles, qui reculent d'un infini à un autre infini d'ordre supérieur, et ainsi indéfiniment, sans jamais pouvoir atteindre l'infini mathématique absolu, qui est l'impossible, ou bien l'infini métaphysique, qui, essentiellement indivisible, n'est pas une quantité.

Parmi les sphères, sinon assignables, du moins possibles, on peut toujours concevoir une sphère dont le volume soit équivalent à celui d'un parallélipipède rectangle donné. Supposez un parallélipipède dont deux

dimensions soient connues et finies, et dont la troisième dimension soit infinie : le volume de ce parallélipipède sera un infini du premier ordre^ et il en sera de même du volume de la sphère équivalente, dont le diamètre sera infini. Supposons qu'une seule des trois dimensions du parallélipipède soit finie et que les deux autres soient infinies : le volume de ce parallélipipède et de la sphère équivalente sera un infini du second ordre, infiniment plus grand que le volume infini de la sphère précédente. Supposez un parallélipipède dont les trois dimensions soient infinies : le volume de ce parallélipipède et de la sphère équivalente sera un infini du troisième ordre. Le diamètre et le volume de la seconde sphère seront infiniment plus grands que ceux de la première, et ceux de la troisième que ceux de la seconde. Vous pourrez supposer une quatrième sphère dont le diamètre et le volume soient à ceux de la troisième comme ceux-ci sont à ceux de la seconde, c'est-à-dire infiniment plus grands : le volume de celte sphère sera un infini du quatrième ordre, et ainsi de suite. Les rapports du volume de la sphère terrestre avec les volumes de ces sphères infinies seront des fractions infiniment petites de premier, de second, de troisième, de quatrième ordre, et ainsi de suite. Les volumes de petites sphères, dont les diamètres seront à un millimètre comme chacune de ces fractions infiniment petites est à Tunité, seront des infiniment petits de premier, de second, de troisième, de quatrième ordre, et ainsi de suite. Aucune de ces sphères infiniment plus grandes que toute sphère assignable ne sera absolument infinie; aucune de ces sphères in-

animent plus petites que toute sphère assignable n'atteindra rinfiniment petit absolu. U y aura au-delà des premières la possibilité de sphères infiniment plus grandes, et au-delà des dernières la possibilité de sphères infiniment plus petites. Le volume de la sphère du monde, si on le suppose croissant, quoique déjà infini dans le sens mathématique et relatif du mot, pourra devenir successivement un infini de second, de troisième, de quatrième ordre et ainsi de suite, c'est-à-dire infiniment plus grand que toute grandeur assignable, sans pouvoir devenir jamais absolument infini. L'étendue actuelle du monde est donc une quantité inconnue, infiniment grande en un sens relatif à nous, c'est-à-dire plus grande que toute quantité assignable^ mais moindre que d'autres quantités possibles; elle est par conséquent finie dans le sens absolu de cette expression. Galilée * a montré que la circonférence d'un grand cercle d'une sphère absolument infinie, c'est-à-dire plus grande que toute autre sphère possible, serait exactement une ligne droite, et que par conséquent la sphère prétendue ne serait plus une sphère ni une étendue quelconque à trois dimensions. Quand on suppose infini ce qui ne peut pas l'être, on se heurte contre l'impossible et l'absurde.

De même, le nombre des étoiles, ou bien le nombre total des atomes de la matière et deâ substances imma* térielles que le monde contient, est un nombre qui surpasse de bien loin tout ce que nous pouvons concevoir. Mais, quel qu'il soit, ce nombre qu'on peut appeler tw/ï-

1 Dialogo délie scienze move, Giorn, pr. Opère, t. XIII, p. 4l43i

niment grand dans le sens restreint que nous avons expliqué, n'exclut pas, mais suppose, au contraire, la possibilité d'un nombre infiniment plus grand encore, puisque tout nombre est multipliable par lui-même. En effet, le nombre des âmes s'accroît chaque jour par la création d'âmes nouvelles, et Ton peut supposer, sans invraisemblance philosophique, que l'étendue et la masse du monde s'accroissent extérieurement par la création d'atomes nouveaux destinés à former de nouveaux corps célestes aux extrémités de l'univers. Telle est, en effet, l'opinion d'un philosophe*, qui seulement n'aurait pas dû joindre à cette hypothèse une hypothèse inconciliable avec elle, celle de l'éternité du monde dans le passé *.

De môme encore, on peut supposer en philosophie que la durée réelle du monde jusqu'au moment présent soit infiniment grande pour nous, c'esl-à-dire par rapport à toutes les durées auxquelles nous pouvons la comparer; mais elle est infiniment moins grande que d'autres durées possibles, puisqu'elle est une quantité divisible et multipliable comme toute quantité, et par conséquent multipliable par elle-même, de manière à donner un infini d'ordre supérieur. En effet, la durée passée du monde s'accroît chaque jour et s'accroîtra indéfiniment; quand, à partir d'aujourd'hui, le monde aura encore duré un temps infini dans le sens relatif du mot, son passé sera plus grand qu'aujourd'hui d'une quantité infinie dans le même sens du mot, c'est-à-dire plus grande que toute quantité assignable de durée : ce

1 M. Bersot, Du spirUualùme et de la nature, l*"® partie, chap. ilj p» lo9-171 (Paris, 1846, iu-8o). — « Gh. 10, p. 149 et suiv.

qui ne l*empêchera pas de continuer indéfiniment de s'accroître par des durées nouvelles, sans devenir jamais ce qu'une quantité ne peut pas être, c'est-à-dire absolument infini, plus grand que toute autre durée possible. La durée future du monde est encore à l'état de simple possibilité indéfinie dans le temps idéal, de même que, dans l'hypothèse dont nous parlions tout à l'heure, Taccroissement futur de l'étendue et de la masse du monde est encore à l'état de possibilité indéfinie dans l'espace idéal. Mais la durée passée du monde est réelle, comme son étendue présente ; cette durée, de même que cette étendue, peut être plus grande que toute quantité assignable. Mais cette durée passée, qui augmente sans cesse, est essentiellement plus petite que d'autres durées possibles. Elle a donc, en remontant vers les époques les plus anciennes, une première limite réelle, au-delà de laquelle on conçoit la possibilité indéfinie, mais non réalisable désormais , d'une antiquité plus reculée par rapport au moment présent. Cette durée passée du monde a donc un commencement.

Combien y a-t-il de temps que le monde existe? Nous n'avons aucun moyen naturel de le savoir; car le monde existait avant l'homme, et par conséquent avant toute tradition purement humaine. Le nombre des siècles écoulés depuis la première origine du monde peut être supposé plus grand que tout nombre assignable ou imaginable ; ce nombre réel et fini, mais qui est une variable pour nous eu égard à notre ignorance, peut être supposé infiniment grand dans le sens que nous avons dit; mais cela n'empêche pas, cela suppose au contraire la

possibilité d'infiniment grands d'ordres supérieurs, c'est-à-dire la possibilité d'une antiquité plus haute que cette antiquité inconcevable, qui a eu un commencement, puisqu'elle est réelle, et puisque, par conséquent, elle ne peut pas être plus grande que toute autre antiquité possible. Une durée, passée ou future, plus grande que toute autre durée possible est une durée impossible, et telle serait une durée passée, et par conséquent réelle, sans commencement ; tandis que la durée future du monde n'est qu'une possibilité indéfinie, qui jamais, à aucune époque, ne sera entièrement réalisée. Tout ce qui dure a commencé d'être, mais peut durer indéfiniment, si aucune cause contraire ne s'y oppose. Dieu seul n'a pas commencé d'être; mais il ne continue pas d'être, il estj sans succession et sans durée; il est, comme les vérités éternelles, qui sont ses pensées nécessaires : ce qui dure, c'est l'intuition successive et partielle que nous avons de ces vérités. L'éternité de Dieu, métaphysiquement infinie, est indivisible. Elle n'est pas une de ces quantités qu'on mesure, et qu'on appelle infinies quand elles sont trop grandes pour être mesurées par nous à l'aide d'aucune des unités que nous pouvons concevoir : l'éternité divine n'est pas une durée, n'est pas une quantité ; elle est l'existence absolument infinie de l'Être absolument infini, existence indivisible et présente tout entière à chaque instant de la durée des êtres créés. Elle est ce que ne peut pas être la durée successive du monde.

Je ne crois pas me faire illusion en pensant que les raisonnements qui précèdent sont d'une évidence démonstrative. On a vu que sur les principes de ces raison-

nements, outre leur évidence intrinsèque, j*ai pour moi l'autorité des principaux mathématiciens qui se sont occupés de la théorie de Tinfini, la plupart sans songer aux conséquences philosophiques, quelques-uns en tâchant vainement de les éluder; mais que, sur la légitimité de ces conséquences mêmes, j'ai pour moi plusieurs de ces grands mathématiciens, notamment celui qui de nos jours a poussé le plus loin les applications du calcul infinitésimal. Après avoir déclaré qu'on ne saurait admettre un nombre actuellement infini dans le sens absolu du mot, ni une série composée d'un nombre actuellement et absolument infini de termes, M. Cauchy * ajoute que cette proposition fondamentale « s'appliquerait aussi bien à une série de termes ou d'objets qui auraient existé successivement, ou même à une série d'événements qui se seraient succédé les uns aux autres, qu'à une série de termes dont l'existence est simultanée; et, dit-il, dans ces deux cas il est également impossible que le nombre de ces termes, de ces objets, de ces événements, soit devenu absolument infini. Ainsi, par exemple, puisque nous pouvons affirmer qu'il n'existe en ce moment qu'un nombre fini d'étoiles, il n'est pas moins certain que le nombre des étoiles qui ont existé, en supposant que beaucoup aient disparu, est pareillement fini. Ce que nous disons du nombre des étoiles, on doit le dire également du nombre des hommes qui ont vécu sur la terre, du nombre des révolutions de la terre dans son orbite, du nombre des états par lesquels le

1 Cité par M. l'abbé Moigno, Impossibilité du nombre infini et ses conséquences^ p. 4-5 (Extrait des Mondes, 1863, gr. in-8o).

monde a passé depuis qu'il existe. Donc il a existé un premier homme, il y a eu un premier instant où la terre a paru dans Tespace, où elle a commencé à tourner autour du soleil, et le monde lui-môme a commencé. Ainsi la science nous ramène forcément à ce que la foi nous enseigne : la matière n'est point éternelle..... Si nous ne radmetlions pas comme chrétiens, nous serions forcés de l'admettre comme arithméticiens, comme mathématiciens. »

M. Cauchy ajoute que nous devrions l'admettre aussi comme physiciens; mais nous n'avons pas de lui une preuve développée de cette dernière assertion : en voici une, qui n'était pas mûre lorsqu'à Turin, en 1832, il enseignait ce que nous venons de rapporter. Une branche de la physique mathématique, branche toute nouvelle, mais qui a donné déjà de grandes découvertes théoriques et de précieuses applications, la thermodynamique ou théorie mécanique de la chaleur, nous a appris que toute force vive qui s'éteint produit une autre force vive égale ou bien un travail mécanique équivalent, et que réciproquement tout travail mécanique accompli est remplacé par un travail mécanique égal ou par une force vive équivalente. Ainsi ce qui est invariable dans le monde, ce n'est ni la quantité de mouvement^ comme Descartes l'avait cru, ni la quantité de force vive^ comme Leibniz le croyait : c'est la somme totale unique des quantités de travail et des équivalents des forces vives eh quantité de travail. Mais la thermodynamique nous enseigne qu'il y a deux espèces de mouvements, ceux des masses notables, et ceux des molécules dans

chaque masse ; qu'il y a aussi deux espèces correspondantes de force vive et de travail, Tune concernant les masses notables et l'autre les molécules, et que, quand une force vive de la première espèce, ou un travail de la première espèce, cessent sans être remplacés par des équivalents de même espèce, ils le sont par une force vive moléculaire ou un travail moléculaire, et réciproquement. C'est là un des grands principes de la théorie mécanique de la chaleur. Or, si, faisant abstraction des mouvements moléculaires qui constituent la chaleur, on appelle repos l'absence de tout mouvement des masses notables, on démontre que, par la transformation des forces vives des masses et du travail mécanique des masses en forces vives moléculaires et en travail mécanique moléculaire, tout système matériel tend néces* sairement, sinon au repos absolu, du moins au repos relatif àe toutes les masses qui composent le système, et que ceJui-ci doit arriver au repos relatif dans un temps fini, au bout duquel, tous les mouvements relatifs de toutes les masses du système s'étant transformés en mouvements moléculaires, c'est-à-dire en chaleur, ces mouvements moléculaires subsisteront seuls dans les masses en repos, et aucun mouvement de ces masses ne pourra plus se produire par des causes naturelles intrinsèques. Donc, tout système matériel dans lequel des masses sont actuellement en mouvement relatif est un système dans lequel ces mouvements ne se continuent naturellement que depuis un temps limité, et par conséquent ces mouvements y ont commencé depuis un nombre limité de siècles, et par une cause qu'il faut