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Si, d’une variable, on passe à deux variables les difficultés augmentent considérablement. L'extension aux intégrales doubles du théorème fondamental de Cauchy relatif aux intégrales prises le long d'un contour a été réalisée par Poincaré ; on en déduit la notion de résidu d’une fonction rationnelle. Il faut encore citer le théorème de Poincaré sur la possibilité de mettre sous la forme de deux fonctions entières toute fonction uniforme n'ayant que des singularités non essentielles à distance finie, résultat étendu par Cousin à un nombre quelconque de variables.

Jetons maintenant un coup d’œæil sur quelques fonctions spéciales, Il n’en est pas qui aient été plus étudiées que les fonctions algébriques d’une variable depuis le Mémoire de Puiseux. La notion capitale du genre d’une courbe algébrique avait été entrevue par Abel ; elle fut certainement approfondie par Galois, comme le montre une lettre rappelée précédemment. Mais la théorie fut complètement reprise par Riemann et Weïerstrass, et poussée à un haut point de perfection. Les intégrales de différentielles algébriques ont fail, au point de vue de la réduction, l’objet des travaux de Picard et de Poincaré. Appell s’est occupé des fonctions à multiplicateurs, et, dans le cas elliptique, a étudié les développements en éléments simples des fonctions doublement périodiques de troisième espèce. La découverte des fonctions, que Poincaré a appelées fonctions fuchsiennes, et qui restent invariables, par les substitutions d’un groupe linéaire discontinu conservant une circonférence, restera à jamais mémorable. Ces fonctions lui ont permis de faire une représentation paramétrique uniforme d'une courbe algébrique quelconque : c’est là certainement un des résultats les plus profonds obtenus depuis cinquante ans en Analyse. Les fonctions fuchsiennes correspondant à une courbe de genre supérieur à l’unité ont comme singularités essentielles soit la circonférence entière, soit sur celle-ci un ensemble parfait discontinu de points ; c’est ce qui résulte d’un théorème général de Picard, d’après lequel deux fonctions uniformes autour d’un point, liées par une relation algébrique de genre supérieur à un, ne peuvent avoir ce point comme point singulier essentiel isolé. Il y a des groupes linéaires plus généraux que les groupes fuchsiens ; Poincaré les étudie sous le nom de groupes kleinéens.La circonférence

Ls dt A

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1CI est remplacée par des courbes étranges ayant en chaque point

une tangente mais n'ayant pas de courbure.

On peut développer les fonctions non seulement en séries et

produits infinis, mais les mettre aussi sous forme de fractions continues. Laguerre et Halphen ont signalé à ce sujet des circonstances curieuses, et un Mémoire de Steltjes renferme des résultats sénéraux sur la convergence de certaines fractions continues, convergence qui peut cesser le long de certaines lignes. Au point de vue historique, Laguerre paraît avoir donné le premier exemple d’une série divergente, d’où l’on peut déduire une fraction conunue convergente.

Dans le champ des fonctions spéciales de plusieurs variables, les fonctions abéliennes ont été le plus étudiées. Les Mémoires d'Hermite sur la division et la transformation de ces fonctions sont classiques. Poincaré, Picard et Appell ont donné diverses démonstrations de la relation énoncée, par Riemann, entre les périodes d’une fonctions de x variables à 2n périodes. Cousin a été le plus loin dans cette voie, en étudiant les relations entre les périodes d’une fonction de r variables à #42 périodes. Les foncetons abéliennes singulières ont été l’objet des travaux d'Humbert, qui en a tré des résultats intéressant non seulement la théorie des fonctions, mais aussi la géométrie et la théorie des nombres. On doit à Hermite l'étude de polynomes généralisant les polynomes de Legendre, et 1} a été suivi par Didon et par Appell qui a découvert aussi des séries hypergéométriques de deux variables. Des transcendantes nouvelles, présentant un théorème de multiplication et comprenant comme cas particuliers les fonctions abéliennes, ont été introduites par Poincaré et par Picard. |

Après les études de Poincaré sur les fonctions fuchsiennes, il était naturel de rechercher des groupes discontinus à deux variables et des fonctions correspondantes. Les types sont ici très nombreux. L'étude des groupes linéaires et de certains groupes quadratiques a été abordée par Picard et l’a conduit aux fonctons hyperfuchsiennes et hyperabéliennes.

Quand on passe d’une à deux variables, les différences sont profondes dans la théorie des fonctions algébriques, comme il résulte des travaux de Picard, qui a posé les principes de la

LL a 3 Va A DATA ai a Re ES RS | MOVE CS au Ci in ES 4 Dr ES . ,

; SAQ me | pe théorie des intégrales de différentielles totales et des intégrales 2 doubles attachées à une surface algébrique, ainsi que de leur ; périodicité. Les nombres des intégrales distinctes, simples et : doubles, de seconde espèce sont deux énvartants fondamentaux > de la surface. Il faut y ajouter un troisième invariant. découvert > ausssi par Picard, en relation étroite avec les courbes algébriques É tracées sur la surface. Certains points de la théorie des surfaces À algébriques peuvent être rapprochés de questions de géométrie de de situation, questions difficiles, quand on les prend dans toute leur mx généralité, et sur lesquels Poincaré a écrit de profonds et diffi- ; ciles Mémoires. Les surfaces hyperelliptiques, signalées d’abord par ê Picard, ont été étudiées d’une manière approfondie par Humbert, % qui a découvert à leur sujet des théorèmes d’une grande élégance. 4 Je ne veux pas terminer ce Chapitre consacré aux fonctions analytiques sans rappeler que, dans ces dernières années, Borel à A à insisté sur ce que, des deux notions, l’analyticité au sens de | Ë Weierstrass, et la monogénéité au sens de Cauchy, c'est : cette dernière qui est l’essentiel. La théorie des fonctions anæ 4 lytiques ne serait donc qu'un cas particulier de la théorie des 2 fonctions monogènes. | :

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ÎF. LEs ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Au xvu* siècle, le développement de la Dynamique naissante

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fut l’origine des plus grands progrès de PAnalyse. Ce fut une époque décisive dans lhistoire de la Science que le moment où l’on se rendit compte avec précision que l'étude des phénomènes

naturels était susceptible de prendre une forme mathématique, a el cela surtout, quand le développement de la Mécanique con- 2 duisit à postuler que les modifications d’un système dépendent # uniquement de l’état actuel de celui-ci ou, tout au plus, de ; cet état et de l’état infiniment voisin. On fut ainsi conduit à des à équations différentielles, c'est-à-dire à des relations entre des 4 fonctions et leurs dérivées. Cette idée a, depuis le xvirr siècle, ; ; orienté le développement de l'Analyse. Les problèmes posés par | > la Géométrie eurent aussi une part dans cette orientation. On voit 5 donc l’importance de la théorie des équations différentielles dont ne. nous allons suivre maintenant les principaux progrès, F « '

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C'est à Cauchy que l’on doit les premières démonstrations rigoureuses de l'existence des intégrales des équations différen- - tielles. Quand les équations et les données sont analytiques, l’idée essentielle consiste dans la considération de fonctions majorantes ; pour le cas général des systèmes d'équations aux dérivées partelles, la démonstration complète a été donnée par Riquier, Delassus et, dans un ordre d’idées un peu différent, par Cartan. Il y eut longtemps quelques hésitations sur la notion même d’intégrale générale pour une équation aux dérivées partielles ; Ampère et Cauchy ne se plaçaient pas au même point de vue. Goursat a montré que le point de vue de Cauchy est plus général que celui d'Ampère.

Sans supposer les éléments analytiques, Cauchy a donné une méthode pour établir l'existence des intégrales des équations différentielles ordinaires ; les développements ainsi obtenus restent valables tant que les intégrales restent continues et laissent conunus les coefficients différentiels, comme l’ont montré Picard et Painlevé. Pour le problème classique et d’autres plus généraux, quant aux conditions aux limites, on peut utiliser des méthodes d’approximations successives, dont Picard a donné des exemples très élendus, et qui présentent une grande marge dans leur application, comme l’ont montré ensuite les travaux d’'Hadamard, de Coulon, d'Adhémar, de Cotton et autres.

Les équations linéaires sont particulièrement simples. L'étude des points singuliers réguliers avait été faite en Allemagne par Fuchs. Pour les points irréguliers, Poincaré a fait connaître des représentations asymptotiques très cachées des intégrales, valables sur un rayon partant du point singulier, mais pouvant varier quand le rayon change. Une admirable découverte de Poincaré, se rattachant à ses travaux sur les fonctions fuchsiennes, fut l’intégration des équations linéaires algébriques à points singuliers réguliers, au moyen de séries thétafuchsiennes. Parmi les équaons spéciales, citons les équations hypergéométriques de Goursat, l'équation de Lamé intégrée par Hermite, les équations de Picard à coefficients doublement périodiques et à intégrale uniforme, les équations d'Halphen intégrables par des exponentielles et des fonctions rationnelles.

Dans les équations non linéaires on ne peut habituellement