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urer aucun parti de solutions particulières pour avoir l'intégrale générale ; c’est ce qui donne.un grand prix à un travail de Darboux sur les équations du premier degré, pour lesquelles l’intésrale générale se déduit d’un certain nombre d’intégrales particulières. Les résultats anciens de Briot et Bouquet ont été d’abord complétés par Poincaré et par Picard, puis ensuite par Autonne et Dulac ; mais c'était là une étude locale. En dehors des points singuliers visibles sur l’équation, il peut y en avoir d’autres variables d’une intégrale à l’autre. Ceux-ci, d’après Painlevé, sont, nécessairement des points critiques algébriques pour les équations du premier ordre, et Poincaré, complétant un résultat de Fuchs, avait montré que l’on est ramené, dans le cas des équations du premier ordre à points critiques fixes, à des quadratures ou à une équation de Riccati. Picard avait indiqué que la méthode de Poincaré ne pouvait pas s'étendre au second ordre, à cause de la possibilité d’une transformation univoque non birationnelle pour une surface. Les difficultés étaient considérables; elles ont été brillamment levées par Painlevé dans une série de travaux très remarquables qui le conduisirent à tous les types d'équations à points critiques fixes. Dans la voie ouverte par Painlevé, ont marché avec succès P. Boutroux, Gambier, Chazy et Garnier.

L'étude des équations différentielles dans le champ réel est capitale pour la Géométrie et la Mécanique. Poincaré à consacré de nombreux Mémoires à la question des courbes définies par des équations différentielles. Le cas le plus simple est celui des équauons du premier ordre et du premier degré ; la nature des points singuliers, foyers, cols, nœuds, est d’abord discutée, puis sont envisagées les courbes intégrales fermées (cycles) et celles qui sont asymptotes à un cycle limite. Pour les équations du premier ordre et de degré supérieur, le genre d’une certaine surface fermée intervient dans la discussion, et ce n’est pas un des moindres mérites de Poincaré d’avoir montré le rôle de la Géométrie de situation dans ces questions. Parmi les recherches qui ont suivi, 1l faut au moins citer les études de Painlevé sur les trajectoires en Dynamique et celles d'Hadamard. Celui-ci montre notamment que l’allure des géodésiques dans les surfaces à courbures opposées et à connexion multiple peut dépendre des propriétés arithmétiques de constantes d'intégration.