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Les conditions pouvant déterminer une intégrale d’une équation aux dérivées partelles sont très variées. Nous avons parlé du problème de Cauchy; l'étude des cas exceptionnels de ce problème conduit à la notion des multiplhicités caractéristiques, vaguement entrevue par Monge et Ampère. Pour les équations linéaires du second ordre à deux variables, la détermination d’une surface intégrale par la condition de passer par deux caractéristiques à été d’abord étudiée. Dans son grand Ouvrage sur la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre, Goursat a ajouté aux résultats antérieurs les résultats'de ses belles recherches personnelles. Beudon, Hadamard, Delassus et Le Roux ont aussi réalisé d'importants progrès dans l’étude des caractéristiques.

Pour les équations particulières, les conditions aux limites sont le plus souvent fournies par la Géométrie ou la Physique. I arrive en général que tous les éléments envisagés sont réels, et la nature des caractéristiques Joue un rôle essentiel dans la position des problèmes. Picard a montré que, pour les équations linéaires, toutes les intégrales sont analytiques quand les caractéristiques sont imaginaires. Les problèmes sont si variés qu’il est impossible de parler de méthodes générales. Cependant dans des cas étendus, on peut employer les méthodes d’approximations successives de Picard, dont nous avons déjà parlé plus haut; dans d’autres cas, une solution particulière, présentant certaines discontinuités, joue un rôle essentiel : telle la fonction de Green pour le potentiel. On doit de nombreux travaux sur ce sujet à Poincaré, Picard, Hadamard et leurs élèves d'Adhémar, Le Roy, Coulon, Gevrey. Souvent aussi il y a lieu de recourir à des développements généralisant les séries de Fourier, et dont autrefois Fourier lui-même, Poisson, Sturm, et Liouville avaient donné des exemples. Dans cet ordre d'idées, le Mémoire de Poincaré sur la méthode de Neumann renferme des vues originales et profondes sur des fonctions dites fondamentales. Le grand Mémoire de Poincaré sur les équations de la Physique mathématique restera particulièrement mémorable ; lexistence des harmoniques en nombre infini d’une membrane vibrante, dont Schwarz et Picard avaient étudié les deux premières, y est établie pour la première fois rigoureusement. Depuis lors, la théorie des équations intégrales de Fredholm a permis de traiter autrement les problèmes de ce genre, mais Poincaré aura été là, comme en d’autres domaines, un précurseur.

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