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C’est surtout dans la théorie des équations aux dérivées partielles que la Physique et la Mathématique se prêtent le mutuel appui dont je parlais au début. J’ajouterai quelques exemples à ceux que nous avons déjà rencontrés. Quand toutes les intégrales ne sont pas analytiques, le prolongement d’une solution réside dans le fait qu’il y a des contacts jusqu’à un certain ordre. Ces notions ont conduit aux résultats importants obtenus par Hugomiot dans la mécanique des fluides et magistralement complétés par Hadamard dans son Livre sur la propagation des ondes. Ailleurs, il pourra y avoir des contacts d’ordre infini entre des intégrales non analytiques, et c’est la raison pour laquelle le célèbre théorème de Lagrange sur les potentiels de vitesse en Hydrodynamique raonnelle ne subsiste pas pour les fluides visqueux, comme Boussinesq l’a indiqué le premier. Une vue très nette des différentes espèces d'ondes, au point de vue de la propagation, résulte de la considération de différents types d'équations. Dans les équauons du type de la chaleur, qui remontent à Fourier, 1l n'y a pas de vitesse de propagation. Les choses se passent autrement dans les équations du type de la propagation du son, qui est aussi celui de la propagation de la lumière et des ondes électriques ; 1l y a lieu d'envisager là une vitesse de propagation. Les deux types précédents se trouvent rassemblés dans l'équation de la propagation du son dans un liquide visqueux, de lélectricité dans une ligne télégraphique avec self-induction. Il y a dans ce cas propagation

par ondes avec une vitesse déterminée, mais cette onde s'étale à

l’arrière, comme 1} résulte des travaux de Poincaré, Picard et Boussinesq. Dans des questions un peu différentes, notamment dans une étude sur le principe d'Huygens, Hadamard à montré l'importance de la parité des dimensions de l’espace et de l’intégrale résiduelle.

Parmi les applications de la théorie des équations différentielles, il en est qui concernent la Géométrie. En France et aussi en dehors de notre pays, cette école d'analystes géomètres, pour qui les problèmes de Géométrie infinitésimale sont l’occasion de belles recherches analytiques, a actuellement Darboux pour chef ; elle se rattache à Monge et à Ampère, tout en utilisant les travaux analytiques les plus récents. Les leçons de Darboux sur la théorie générale des surfaces et ses lecons sur les surfaces orthogonales forment des Ouvrages considérables, où l’auteur expose ses recherches

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