CHAPITRE II
Les singularités des surfaces de Riemann simplement connexes
$ 4. Les résultats de M. Iversen
Après Boutroux, M. Iversen!?) a donné une classification des singularités des surfaces de Riemann simplement connexes. Nous allons la reprendre brièvement.
Dès le début, M. Iversen écarte le cas de l’accumulation de singularités transcendantes. Il considère des surfaces de Riemann correspondant à une fonction méromorphe w.— f(2), pour toute valeur finie de 2. Il entoure d’un cercle C le point singulier « de la fonction inverse z — (w). Soit D le domaine correspondant de plan z. Voici la classification qu’il donne:
A. Point directement critique « : C’est un point tel que f(2) — w n’a aucune racine dans D, pour C' assez petit; 1° de première espèce si f'(2) 0 dans D;
2° de seconde espèce si f/(2) a une infinité de zéros dans D.
B. Point indirectement critique « : c’est un point tel que C ne contient aucun rayon sur lequel g(w) — co lorsque w — w.
C. Point directement et indirectement critique: tout point singulier n’appartenant pas à une des catégories précédentes.
Dans chaque cas, M. Iversen étudie l’allure de f(z) dans D et le prolongement de y(w) dans C; il en donne des exemples très simples.
13) Ouvrage cité à la note 5).
$ 5. Singularités plus générales
M. Iversen a écarté de son étude les singularité dont le voisinage contient une infinité de singularités transcendantes. On pourrait alors distinguer, en dehors de sa classification:
1° les singularités dans le voisinage desquelles la surface possède une infinité de singularités transcendantes, mais aucune singularité algébrique ;
2° les singularités dont le voisinage contient une infinité de singularités, tant transcendantes qu’algébriques.
Nous donnerons un exemple de singularité dans les deux cas. Il s’agit de singularités directement critiques. Nous allons démontrer d’abord un lemme préliminaire.
Soit , f() =f2 Vo(z) dz
où y, est une fonction entière, périodique de période 2x. De plus on suppose que l’intégrale
Ti, = fty.(t)dt L réel
existe et est finie.
Posons h, = f(2kin) et h=h+Î(t+2kix) volt + 2kix)dt t réel puis 1(2) = [ Y0()dz
et
On suppose encore que
2ir
fr()d=uZ#0
On a, en intégrant par parties
2kiT
h, = 2inuk? — Î y1(2)dz
di .. k(k—1 = 2inuk?—k P'otede— 2iqu ED avec a=<0.
Puis h=h+T+2kinT,
— ak? + b'ktLc"; il en résulte que l’on a ho et hj—00
si 4 co, et de plus, l'inégalité
|fkin + 2)|>K,
est vérifiée, quel que soit K,, pour tout x positif, et 4 > &,(K;). Si on a d'autre part |y,(2)| < K, pour Rz < 0, $z — 2kix, il en résulte que,
quel que soit 7 > 0, on aura Hf(2kin — x) — f(2kixn)| < kn(n + 2ix)K:
donc pour 7 assez petit
TU ST OMR
|[f(2kix — x)| > a'k?, TUE
Cela établi, passons aux exemples annoncés. Soit
We) fred
Si on pose y,(2) — e *, on reconnaît que toutes les conditions du lemme sont vérifiées. Donc si w, — h;, on voit que f(z) a des valeurs
asymptotiques w, avec
læo,| oo pour k— co D'autre part, lorsque R2 — + co sur une droite Ÿz—(2k + l)x kentier
on à |f(z)| — co, ce qui donne les singularités w; — o de la fonction inverse 2(w).
Evaluons la fonction f(2) dans l’angle T [arg 2—x| Nr gb
Pour Rz<—%, on a [e-*—1| <4
et Î() = —b) Hfretd it pp for 1) dz RER ee Ra r2e 5 HE =D — + Fate — 1yde k donc
Ainsi, sur tout chemin de l’angle ci-dessus, tendant vers l'infini, on a [f(2)1— 0e.
Soit W un chemin de détermination finie. Il coupe toute droite #z — (2k + l)x en un nombre fini de points. D’autre part, pour |z| assez
grand, il est extérieur à l’angle | argz2— x | < 5 — 7. Il ne peut donc
couper la droite $z — 2kx qu’en un point tel que Rz> — kn'; or le minimum de |f(2)| sur ces droites tend vers l'infini, lorsque £— co, cela en vertu de (2) et (3). Donc W ne peut pas couper toutes les droites 2 — 2kx, il finit par rester dans une bande (2% — 1}x < $2 < (2k+1)x. S'il coupe indéfiniment la droite $Sz — 2kx, la valeur limite est w,.
Supposons qu’à la valeur limite de f(2) sur W corresponde une singularité de z(w) autre que les w,. Alors W est compris, d’après ce que nous venons de voir, dans une bande
2kn < Ÿ2<(2k + l)x ou dans une bande (24 — 1}x < 2 <2kr
(ou du moins peut être déformé de façon que cela soit le cas, sans modifier la valeur limite).
Nous allons montrer qu’il ne peut exister un tel chemin W. Pour cela, on supposera W dans une bande
Qkn < V2<(2k + l)x.
Si W est dans une bande (24 — 1)x < Ÿz2< 2kx, la démonstration est la même.
Représentons la bande 2kx < Y2<(2k + 1)x, Rz> 0, sur le domaine |[£| > 1, SÉ > 0, au moyen de la fonction et soit
g(&) = f(log 6)
Pour Rz assez grand
FROM RE . donc [g(&) | <elétte
D'autre part, sur toute demi-droite
T arg Ê = DES on à PURE
Soit W%* l’image de W dans le plan £: W* ne peut couper aucune demi-droite
arg Ê— p=s—6, 0<ô<T il est donc compris dans l’angle 6 < arg ê<n. Sur W* et sur la demi-droite arg Ê — Sn g(£) est borné; les deux chemins
sont compris dans un angle d’ouverture ace + 20, et on a dans
cet angle
|g(@) P< elfes Il en résulte que |g(£)| est borné dans l’angle formé par W* et la demi-droite arg £ — mRur 4), Donc la limite de g(£) sur W* est
la même que sur arg RE c'est «z.
Aïnsi, il ne peut exister aucune autre singularité transcendante que
#) Voir Julia, Principes géométriques d'Analyse II, p. 9 et suiv.
celles que nous avons étudiées. D’autre part, il n’y à qu’une singularité algébrique, qui correspond à 2 — 0.
Donc dans le demi-plan S2> K,, tout chemin de détermination donne une valeur asymptotique de module supérieur à A. Soit A la partie de la surface de Riemann qui correspond au demi-plan S2> K,; À ne contient que des singularités extérieures au cercle |w| — A. Soit y un chemin de À dont les extrémités sont sur le cercle |[w| — À, et sur lequel on à constamment |w| < À. Il peut, par une déformation continue sur À et intérieure à |w| < À être amené à coïncider avec un arc du cercle |w| — À, puisque |w| < À ne contient aucune singularité. Donc tout chemin reliant deux singularités de À peut être déformé sur la surface en un chemin pour lequel |w| > À; la portion définie par |w| > À et qui contient À contient ainsi toutes les singularités de 4; elle en contient donc une infinité. Le point à l’infini est le seul point d’accumulation des traces de ces singularités, il est donc une singularité non isolée de z(w), et le voisinage de l'infini ne contient aucune singularité algébrique, puisque f/(2) n’a qu’un zéro (pour z == 0).
Il est aisé de donner un exemple où l’on a dans le voisinage de la singularité étudiée des singularités transcendantes et algébriques.
Soit
z(e — l)e-dz.
10 = fe) =
Là encore, les résultats du lemme peuvent s’appliquer, avec y,-(e*-1)e-*, Mais la fonction inverse z(w) possède des singularités algébriques qui correspondent aux valeurs de 2 qui annulent e?° — 1, c’est-à-dire pour z = 2kix; les singularités algébriques sont donc justement les quantités h, étudiées dans le lemme, et on a h,—co. Pour le reste, tous les résultats concernant l’exemple précédent restent vrais. Comme plus haut, on montre que f(z) ne possède pas d’autres valeurs asymptotiques finies que celles qui ont été étudiées. Cette fonction nous fournit donc l’exemple cherché.
CHAPITRE III Les réseauxtopologiques des surfaces de Riemannles plus générales
Dans ce chapitre, nous nous proposons d’étendre la représentation des surfaces par les réseaux aux surfaces les plus générales et en particulier aux surfaces dont les singularités sont isolées mais la base singulière infinie. Nous verrons ensuite les relations qui existent entre deux réseaux d’une même surface, puis nous résoudrons le problème de l’existence d’une surface de réseau donné.
$S 6. Première généralisation des réseaux
Soit F une surface de Riemann dont les singularités sont isolées, la distance sphérique de deux singularités (mesurée sur la surface) étant toujours supérieure à (> 0).
Effectuons un pavage © de la sphère de Riemann. Soient D,, D,,..…,
D, les pavés. Supposons pour commencer qu'aucune trace de singularité ne se trouve sur la frontière d’un pavé. Soit À une portion de F, définie par le pavé D,. À contient au plus une singularité; supposons en effet qu’il en contienne deux au moins; on pourrait les relier par un chemin de
longueur inférieure à 3 ce qui est impossible en vertu de la définition
de F. Il y a donc une singularité au plus dans 4.
Considérons un point a, dans chaque D,; on à ainsi p points, nous les relions par une courbe fermée sans points doubles C et nous construisons le réseau de F comme celui d’une surface F* dont les singularités seraient les points @,; la surface F* résulte d’une déformation de F, déformation qu’on peut considérer comme légère en regard de la distance de deux singularités.
Considérons maintenant le cas où des singularités ont pour trace des points frontières d’un D,. Soit par exemple a une singularité dont la trace se trouve sur la frontière de D,, D, et D, (en vertu des hypothèses faites plus haut sur le pavage, un point ne peut pas être sur la frontière de quatre pavés). Je dis que toute portion de F définie par D—D,+D,+D, ne contient qu’une singularité au plus. En effet, s’il y avait deux singularités, on pourrait les relier au moyen d’un chemin de longueur inférieure à 0. On retombe sur la démonstration donnée plus haut. Pour construire le réseau, on considère la singularité & comme appartenant à une des portions définies par D,, D,, D,.
$ 7. Comparaison des différents réseaux topologiques d’une même surface de Riemann
Supposons pour commencer que nous avons une surface de Riemann F de base singulière finie; la méthode de M. Speiser s’applique sans autre.
Soient d;,@2,...,@, les points constituant la base singulière, et soient Let L* deux courbes de Jordan passant chacune par tous les points à,. On obtient à partir de L et de L* deux réseaux R et R*.
Disons que L* se déduit de L par une déformation continue si cette déformation est possible sans passer sur un point a...
Théorème 1 : Si L* se déduit de L par une déformation continue, RER.
La démonstration est immédiate, de même que celle du théorème réciproque :
Théorème 2 : Si R* — R, L* se déduit de L par une déformation continue.
Cela revient à dire que le réseau ne dépend pas de la courbe elle-même, mais de l’ordre des points a; sur la courbe et des lacets qu’elle fait pour les relier.
Théorème 3 : p étant fixé, le nombre de contours essentiellement différents (c’est-à-dire donnant des réseaux différents) est illimité, dès que p > 4.
On voit que si p = 3 il n’y a que deux contours différents, l’un résulte de l’autre par l’échange de l’intérieur avec l’extérieur.
Pour p = 4, il y a plusieurs arrangements possibles, et différents, des a, ; prenons les a; dans l’ordre &,, a, a;, a, et construisons Z de la façon suivante: on part de a,, on fait une boucle B, autour de «, avant d’aller tourner autour de a; et a,;, puis on vient faire une seconde boucle B, autour de a,, et ainsi de suite; on peut faire un nombre de boucles arbitrairement grand avant de passer en a,. Pour p — 4 le nombre des contours est donc illimité. Il l’est à plus forte raison pour p > 4.
Le théorème est démontré.
Comparons deux réseaux différents À et R* d’une même surface de Riemann, donnés par deux contours L et L*; on peut choisir les deux points Z et £ communs aux deux contours. Or chaque point de F, de trace Z ou Æ, donne un sommet du réseau; nous avons donc une correspondance biunivoque entre les sommets des deux réseaux: deux sommets se correspondent s’ils sont donnés par le même point de F. De même, à chaque singularité de F correspond un domaine polygonal D de R et un domaine D* de R*. Il y a donc correspondance biunivoque entre les domaines de À et de R*; de plus, deux domaines correspondants ont le même nombre de côtés.
Théorème 4 : Soient a et b deux sommets d’un réseau R, extrémités d’une même arête. Soient a* et b* les sommets correspondants de RY. On peut relier a* et b* par un polygone de R*, de o côtés avec
R(L, L*) étant un nombre qui ne dépend que de la surface et du choix de Let L*, et non pas de a et b.
Remarquons en passant que o est certainement impair, puisque le polygone en question relie un point Z à un point #.
Considérons le chemin W sur F correspondant au segment ab de R; W coupe L une fois (puisque a et b sont extrémités d’une même arête). Par contre W coupe L* peut-être plusieurs fois, mais le nombre de points d’intersection est le même pour chaque rayon Z£. Il y a un nombre fini P = Eip(p — 1) de rayons ZÆ, donc le nombre des points d’intersection est borné pour L et L* donnés. Soit R(L, L*) + 1 la borne supérieure. On a bien
RL LT) el
On a un théorème analogue pour les domaines élémentaires:
Théorème 5 : Soit a un sommet de R, D un domaine élémentaire de R, dont le contour comprend a; a* et D* sont le sommet et le domaine correspondants de R*. Il existe un polygone reliant a* à D*, dont le nombre de côtés est inférieur ou égal à R(L, L*).
Soit, pour fixer les idées, Z le point auquel correspond a, a, la singularité contenue dans D. Le rayon Ja, coupe L* au plus R(ZL, L*) fois (R a la même définition que dans le théorème précédent). Il en résulte que dans R*, le rayon Za, se décompose en { < R(L, L*) arêtes, ce qui démontre le théorème.
On déduit encore du théorème 4 le
Théorème 6 : Soient KR et R* deux réseaux d’une même surface, D, et D, deux domaines élémentaires de R, dont les frontières ont v > 2 R(L, L*) sommets communs consécutifs. Alors les domaines D\ et D; de R*, correspondant à D, et D,, ont au moins » — 2 R(L, L*) sommets communs.
Considérons, dans la suite des sommets communs à D, et D,, ceux qui sont à une distance supérieure ou égale à R(L, L*) des extrémités (il y en a au moins un, par l'hypothèse sur »). Soit a un de ces sommets, a* son correspondant. a* est un sommet de D' et de D,. Reprenons, pour le montrer, le raisonnement fait dans la démonstration du théorème précédent. Soient a; et a; les singularités correspondant aux domaines D, et D, (donc aussi D! et D,). Le rayon Ia, (on suppose, pour fixer les idées, que a est un point 7) coupe L* au plus R(L, L*) fois; cela correspond donc à R(L, L*) lacets autour des points singuliers a, et a;. Mais, après ces R(L, L*) lacets, on a encore des sommets de D! et D. Donc a* est un
sommet de D' et D;. Cela se produit pour tout sommet choisi comme il a été dit, donc pour » — 2 R(L, L*) sommets.
Le théorème est démontré. On en déduit immédiatement
Théorème 7 : Soient D, et D, deux domaines élémentaires infinis ayant un sommel commun pour toutes les générations G,,n=>n,. Alors les domaines D et D, correspondants ont un sommet commun pour toute génération G,,n > 1.
Le théorème 6 affirme simplement que, dans ce cas, à chaque sommet commun d’une génération G,, avec n > n9 + R(L, L*) correspond un sommet commun à D! et Di, appartenant à la génération G,, avec y — y(n). Posons ,
ñ) = min (v(n) + R(L, L*)) pour n > 0 + R(L, L*)
Il faut montrer que, pour » > »,, il y a toujours un sommet commun à D' et D;. Supposons que ce ne soit pas le cas. Il y aurait, entre D' et D; un domaine élémentaire D, dont le correspondant serait D,. Soit b un sommet frontière de D', D;, D;, a, la singularité de D, (ou D;) Nous considérons encore le chemin Za, relatif à L*; il coupe L en R(L, L*) points au plus, d’où il résulte que D, aurait un sommet commun avec D, et D,, à la génération G@,, u > », ce qui est contraire à l'hypothèse du théorème.
On peut dire encore quelque chose de la correspondance entre R et R*.
Soient D,, D,,..., D,, des domaines élémentaires de R, D°, D;,..., D,, les domaines correspondants de R*. Choisissons une origine 0 dans À, et relions 0 à D,,..., D, par n polygones du réseau. On peut choisir ces polygones sans côtés communs, si ce n’est un certain nombre d’entre eux formant un polygone aboutissant à l’origine. De plus ces polygones n’ont pas de sommets communs isolés, si ce n’est l’origine. On peut numéroter ces chemins, et nous supposons que les indices ont été choisis en sorte que les indices des chemins sont ceux des D,. Alors
Théorème 8 : Les D} peuvent être reliés à l’origine 0* de R* par des polygones ne se coupant pas, et placés dans l’ordre naturel des indices du D; correspondant.
La démonstration est immédiate; il suffit de se reporter aux chemins correspondants sur la surface de Riemann elle-même.
On pourrait encore préciser les énoncés des théorèmes 4 à 7 en faisant intervenir pour chaque chemin ZÆ le nombre de points d’intersection avec L*. On aurait ainsi p valeurs R,(L, L*), R,(L, L*),...,R,(L, L*), avec Ë
R,(L, L#) étant le nombre de points d’intersection, moins un, de L* et d’un chemin ZE coupant L en un point de l’arc 4,, @z,:.
Pour un choix convenable de Z et Æ, on a, pour un indice £ au moins R,(L;E*)= 0 Il est clair, d’autre part, que , R,(L, L*) =0 (mod 2)
puisque L* est une courbe de Jordan, et que R,(L, L*) est le nombre de points d’intersection, moins un, de L* et d’un contour qui va de l’intérieur à l’extérieur.
Théorème 9: Soit À, 2, ..., À,, une suite de nombres positifs ou nuls, tous pairs; L'un contour simple passant par les points a, a;,...,a, dans l’ordre naturel des indices; de plus À, — 0. Il y a une courbe L* pour laquelle
RCE LF) —= 2 On démontre ce théorème en construisant L#, Posons pour commencer MU.
et construisons le contour L’ qui correspond à ce système À,, À, ..., Are Considérons le cercle |w| == 1 et les points a, sur ce cercle avec
aTg 4x = LES
Le cercle |w| — 1 constitue L; on trace deux arcs de cercle concentriques, l’un à l’intérieur, l’autre à l’extérieur de |w| — 1, le long de tout arc
! . . Q 4 l4 RP. (@z; 4x41) avec À, = 2. Soit a, le point qui correspond à l’extrémité d’un de ces arcs. On distingue deux cas:
l re 0 À — 2 n alors on relie l’arc (a,,, a;) de |w| — 1 à l’arc intérieur de (a,, a,,:), et, par a}, l’arc extérieur et l’arc de |[w| — 1 restant. ! LA . » + M 2° À = 2, À, = 0. On relie l’arc extérieur de (a,,, &,) à l’are |w| — 1
de (a;, 4,1), puis les deux arcs restants par a,.
La courbe obtenue est simple et passe par chaque point a,. En effet, elle ne peut pas se fermer le long d’un arc (4,,4,,,); elle ne revient en arrière que sur un arc du cercle |w| — 1, et ensuite se raccorde à un arc extérieur, ce qui exclut une fermeture de L’ autrement que par un tour complet. D'autre part, on a bien
PRADA On construit ensuite une courbe L/’ pour laquelle ES FER one er
On construit de nouveaux arcs concentriques là où 1, > 4, et on les relie comme précédemment, c’est-à-dire:
PAS A onsrehe l'arc de |wl:=/1lrentre:a;.et.a:, "au premier arc extérieur de (a,,a,,,), puis les autres arcs de façon à ne laisser aucune impasse;
® si À:>4% , on relie l'arc (a ,,a,) de |w| — 1 au premier arc intérieur de (a;,,@,), et ainsi de suite.
On passe ensuite à L/”, etc., jusqu’à ce qu’on ait atteint le maximum de 2, (qui est fini). La courbe obtenue est L*. En effet:
1° elle est d’un seul tenant (pour la même raison que L/);
%on a.bien 1; = R(L.L*).
Donnons un exemple: soit p = 12, À, = 0, À = 4, À, = 4, À, — 6, D 2 À, 0,4 =2,7, — 2, 9 — 2,0 À ln — 2, Aja — 2.
Dans la construction, on pourrait remplacer intérieur par extérieur, et
vice-versa, partout ou en partie seulement. On voit par là qu’à un système de À, peuvent correspondre plusieurs courbes L*.
Fig. 2
Remarquons encore que ce théorème montre bien qu’il y à une infinité de courbes L passant par p(p > 3) points, donc une infinité de réseaux pour une même surface; ces quelques résultats révèlent la complexité du problème suivant: deux réseaux R et R* étant donnés, reconnaître s'ils peuvent provenir de la même surface de Riemann. Nous avons donné quelques conditions nécessaires sans parvenir à fournir un critère général.
$ 8. Comparaison des différents réseaux topologiques d’une même surface de Riemann (suite)
Considérons une surface de Riemann F pour laquelle on peut construire un réseau topologique au sens du $ 6, c’est-à-dire une surface de Riemann dont toutes les singularités peuvent être isolées au moyen d’un pavage d(d > 0).
Le pavage Ô choisi était arbitraire; un pavage tout à fait différent changerait considérablement l'allure du réseau, aussi nous borneronsnous à une modification particulière: celle qui consiste à remplacer le pavage Ô par un pavage plus fin, c’est-à-dire tel que chaque nouveau pavé soit intérieur à un ancien pavé; de plus, la nouvelle courbe L passe successivement en tous les points correspondant à un pavé du pavage primitif. Nous dirons alors qu’on a divisé le pavage primitif.
Théorème 10 : La division du pavage Ô ne modifie pas le réseau de F. Il s’agit du réseau au sens large, et non pas du réseau plus précis de
M. Elfving.
La surface F à une singularité au plus dans une portion définie par un pavé du pavage 0; tout circuit dans ce pavé est équivalent à un lacet autour du point de ce pavé; donc les domaines fondamentaux des deux réseaux sont les mêmes, ils s’ajustent de la même manière, donc les deux réseaux sont identiques.
En terminant, énonçons un théorème qui se déduit immédiatement de celui qu’a énoncé à ce sujet M. Elfving, dans le cas d’une surface à base singulière finie.
Théorème 11: Soit F une surface de Riemann multiplement connexe, R son réseau au sens du $ 6. Il existe un polygone fermé de R qui sépare deux suites infinies de sommets de R.
La méthode du $ 6 revient à faire une transformation topologique de F, pour l’amener à avoir une base singulière finie. Cette transformation conserve l’ordre de connexion, d’où notre théorème.
$ 9. Réseau topologique d’une surface de Riemann quelconque
Soit F une surface de Riemann. On appellera F', l’ensemble des points de F qu’on peut atteindre d’un point à, de F par un chemin tel que la somme des distances d’un point quelconque de ce chemin à deux singularités quelconques de F (algébriques ou transcendantes) soit toujours supérieur à 0(0 > 0). Un tel chemin sera appelé chemin de largeur 6.
On choisit Ô assez petit pour que la distance de a, à deux singularités de F' soit supérieure à 6.
Théorème 12: Ona F=lim F,;
Cela revient à dire que:
1° tout point a de F peut être relié à a, au moyen d’un chemin de largeur à, pour Ô assez petit;
2° si « est une singularité de F, L un chemin tendant vers w, L, la partie de L intérieure à F;, tout point de Z finit par être intérieur à L;, lorsque Ô — 0.
Sous cette forme, le théorème est évident.
On dira qu’une singularité w de F est intérieure à F; lorsqu'il existe un chemin aboutissant à w et intérieur à F;. Il en résulte que les singularités de F, sont à des distances mutuelles supérieures à 0. On peut donc représentér F; au moyen d’un réseau topologique au sens du $ 6; on passe ensuite à Fs ; pour construire le réseau de Fa, on reprend le pavage
de F, et on le divise pour avoir un pavage assez fin. D’après le théorème 10,
le réseau R, de F, se trouve conservé à l’intérieur du réseau R, de F6,
De même le réseau À, de F5 est conservé à l’intérieur du réseau de on VHS UNS on +1 Ces réseaux ne se modifient done que par l’adjonction de nouvelles arêtes.
En général, les réseaux R, n’ont pas de limite, c’est-à-dire qu’il n’existe pas un réseau À dont les » premières générations sont identiques aux » premières générations de À,, pour n > ro(»).
On peut cependant énoncer ce résultat:
Théorème 13 : Si toutes les singularités de F sont isolées, les R, ont une limite dans ce sens que pour n > nv) les » premières générations des R, sont identiques.
Supposons en effet que ce ne soit pas le cas: il existe alors une génération, la ième par exemple, qui s'enrichit indéfiniment; le nombre des sommets de cette génération est illimité; en d’autres termes, il existe un sommet $ d’une des générations G,,...,G, auquel se rattachent des arêtes en nombre indéfiniment croissant; il y a donc une infinité de domaines D qui ont ce point pour sommet. Soit une suite de pavés P,,..., P,,... emboîtés les uns dans Îles autres, et 4,,:..,4,,... une suite de portions définies respectivement par P.,,..., P,,..., emboîtées les unes dans les autres et contenant des singularités des domaines D. Soit w le point limite des P,. « est une singularité non isolée. En effet, chaque À, contient une infinité de singularités; de plus, un cercle de centre w et de rayon op, contient P, tout entier pour » assez grand; une portion circulaire de centre w et de rayon arbitrairement petit contient une infinité de singularités. Le théorème est ainsi démontré.
$ 10. Existence d’une surface de réseau donné
Pour que le problème de l’existence d’une surface correspondant à un réseau donné ait une solution, il faut évidemment supposer que le réseau n’a pas d’impasses et que tous les circuits ont un nombre pair de côtés.
Si l’on fait l'hypothèse qu’à chaque sommet se rattachent p arêtes, la question est résolue par un théorème de M. Elfving15).
15) Voir l’ouvrage cité à la note ®).
Dans le cas général, on a le
Théorème 14: Soit R un réseau sans impasses, dont tous les circuits ont un nombre pair de côtés. Il existe une surface de Riemann qui admet, au sens du $ 9, le réseau R.
Supposons pour commencer que À soit un arbre. Choisissons une origine 4. On décompose ainsi À en générations @,,G,,... Soit mp, le nombre d’arêtes issues de 4,; le domaine fondamental de À, correspond à l’intérieur du cercle |w| < 1; les singularités a,, ..…, %y, contenues dans les domaines élémentaires qui ont À, pour sommet sont des points du
2k7 Po
Prenons un sommet À, de G;, celui par exemple qui se trouve entre les domaines de a, et de a,, et soit p, le nombre d’arêtes issues de À,. On prend pour domaine fondamental de À, l'extérieur du cercle, soit |w| > 1; les singularités sont à,, a, et p, — 2 autres singularités choisies sur celui des deux arcs (a,, a) du cercle |w| — 1 qui contient les singularités de À,. On prend les p, — 2 points qui divisent cet arc en p, — 1 arcs égaux.
On procède ainsi pour chaque sommet de G,, puis de G,, etc., en prenant toujours les nouvelles singularités sur l’arc qui contient les singularités du sommet précédent.
La surface qu’on obtient ainsi peut avoir des singularités non isolées: on voit par exemple que c’est le cas de la surface qui correspond à l’arbre de la fig. 1.
cercle |w| = 1, avec arg a, =
Cas d’un réseau en général. On peut, en laissant de côté certaines arêtes d’un réseau, le transformer en un arbre. Soit donc un réseau À, et R* l’arbre obtenu en supprimant certaines arêtes, mais tel que deux domaines logarithmiques quelconques de À soient dans deux domaines différents de R*. On construit comme plus haut une surface dont le réseau est R*, Soit À un domaine élémentaire de R*, dont la singularité est a, et soit D, un domaine élémentaire algébrique de À, contenu dans 4 et ayant sur la frontière de À les arêtes $,, 8,,..., S,. La frontière de À se compose de segments S,, 81, S, S,, etc., qui correspondent à des demi-droites
arg Ù = y On pose
u = min |[y, — arg a | pour OK < p On reporte sur |w| — 1, à partir de a, sur l'arc qui relie a à e*f°, et qui
ne contient pas e*?-: un arc de longueur w, d'extrémité P, et on divise cet arc aP en trois parties «M, MN, NP. On prend a, = N pour singularité de D, et aux segments de la frontière de D, qui ne sont pas des S, on fait correspondre alternativement les demi-droites arg w — arg M et arg w—%, sauf pour le dernier, qu’on choisit dans l’angle déterminé par les demi-droites arg w—arg a et arg w—arg a, qui ne contient pas la demi-droite arg w — arg M.
On à ainsi divisé le domaine 1 en deux parties: un domaine D, de R et un nouveau domaine À, , indéfini. On recommence pour 4, ce qu’on a fait pour À; puis on procède de la même manière pour tous les domaines de RX. On obtient ainsi une surface F qui remplit bien les conditions requises.
