CHAPITRE IV

Le type d’une surface de Riemann et son réseau

$S 11. Les transformations de Bloch

Dans une conférence à la Sorbonne, M. Ahlfors a dit que le problème de la recherche de critères de type de surfaces de Riemann était le plus important de la théorie des fonctions!f). On connaît un certain nombre de tels critères ; la plupart d’entre eux sont des conditions suffisantes pour le cas hyperbolique. On peut se demander jusqu’à quel point le réseau d’une surface nous renseigne sur son type, le mot réseau étant pris dans son sens primitif ou suivant une de nos généralisations.

Certains critères connus sont basés sur l’étude du réseau (par exemple le critère relatif aux surfaces dont la base singulière est formée de trois points1?); d'autre part, M. Ahlfors a donné des critères où les valeurs sont remplacées par des cerclest$); c’est là une généralisation analogue à celle qu'on obtiendrait en passant d’un critère sur les réseaux au sens primitif, à un critère sur les réseaux au sens du $ 6. Nous aurons l’occasion, au cours de ce chapitre, de donner de telles généralisations.

Cette idée du passage de critères sur des valeurs à des critères sur des cercles est due à M. Bloch!?).

Appelons transformation de Bloch une transformation d’une surface qui soit

16) Bull. Soc. Math. de France, 60, 1932, p. 197. 1) R. Nevanlinna, Comm. Math. Helv., 5, 1932, p. 95.

15) Comptes Rendus, 194, 1932, p. 245 et 1145. 1%) 4. Bloch, Enseignement Mathématique, 25, 1926, p. 83.

1° topologique, 2° telle que si d est la distance de deux points, d* la distance des points correspondants, on ait

dr < d < kd*

quels que soient les deux points envisagés.

Le principe de continuité topologique de M. Bloch affirme en somme qu’une transformation telle que celle que nous venons de définir conserve le type d’une surface. Il ne s’agit pas, évidemment, de donner une démonstration de ce principe très général.

On voit que deux surfaces qui ont le même réseau, au sens du $ 6, se déduisent l’une de l’autre par une transformation de Bloch. En effet, soit p l’ordre du réseau, F' et F* les deux surfaces ; à F et F* correspondent deux pavages formés de p pavés. Une première transformation de Bloch transformera F* en une surface F, pour laquelle le pavage est le même que pour F. Puis on modifie F, à l’intérieur de chaque pavé, pour l’amener à coïncider avec F.

Soit 4 une singularité isolée d’une surface de Riemann F. On dira qu’on déplace a lorsqu'on remplace a par une autre singularité b, de même nature, située dans une portion À de F qui ne contient que la singularité a de F.

Théorème 15: Soient F et F* deux surfaces de Riemann simplement connexes qui se déduisent l’une de l’autre par le déplacement d’un nombre fini de singularités algébriques. Alors F* est du même type que F.

Démonstration: Soient a,,a,,..., a, les singularités de F qui sont déplacées en b,,b,,...,b,. Soit 4, la portion qui contient a,.

Supposons F parabolique; w — f(2) est la fonction qui représente le plan ouvert sur F. Supposons F* hyperbolique; w — g(£) la fonction qui représente le cercle | £| < R sur F*. Otons du plan 2 les domaines qui correspondent aux 4, par la fonction inverse de w — f(2); la frontière de A, est fermée, donc ces domaines sont intérieurs à un cercle de rayon fini. Soit D le reste du plan 2, et À la partie correspondante du cercle | £| < k par la fonction |

=g"{[f()] Dans la représentation de D sur 4, au point à l'infini de D correspond tout le cercle | Ê| — 2; on sait que cela est impossible. Donc F* est para-

bolique, et le théorème est démontré.

Nous verrons au paragraphe suivant un exemple de conservation du type dans une transformation qui déplace une infinité de singularités algébriques.

S 12. Surfaces de Riemann dont le réseau est le même que celui de fonctions inverses de fonctions périodiques

Soit w — f(2) une fonction entière, réelle pour z réel, et périodique de période réelle. Nous nous proposons de reconnaître quel sera, dans certains cas, le type d’une surface de Riemann qui aurait le même réseau que la surface de z(w).

La fonction f/(2) a des racines pour z réel; on peut supposer f’(0) 0. Soient un la période de f(2), et a;, a, ..., a, les racines de f’(2) pour 0Z2< 1; ©,,..., ©, les valeurs f(a.,), ..., f(a,). Les points &w,,..., ©, sont des singularités algébriques de la surface de Riemann F de l’inverse dé w — j(2).

Soient x, ...,æ, des segments intérieurs au segment (0, 1) tels que:

1° a, est intérieur à «, ;

2° les segments «x, n’empiètent pas;

3° les segments (0, €) et (1 — €, 1) sont extérieurs aux æ;(e > 0).

La fonction w — f(z2) fait correspondre aux points d’affixes 2 — & + (4 entier, et £ dans un segment «,), les segments 1’, de trace y, de F; toutes les singularités w, se trouvent dans les segments J',.

Soit F* une surface de Riemann que l’on peut obtenir à partir de F en déplaçant toutes les singularités w, à l’intérieur du segment J', correspondant (deux singularités de F qui avaient même trace ont maintenant des traces qui peuvent être différentes, mais sont intérieures à y;).

Théorème 16 : F* est du type parabolique.

Démonstration: Soit g(ê) la fonction qui représente le cercle |£| < c sur F*, On supposera c < co. La surface F, coupée le long des segments 7’, est identique à la surface F*, coupée le long de ces mêmes segments. On peut donc représenter conformément le plan, pourvu des coupures «x, et de celles qu’on obtient par la translation Z — z + k (k entier) sur le cercle |Ë| < c, pourvu des coupures correspondantes; la représentation se fait au moyen de la fonction

Passons du cercle | Ê| < c à une bande de largeur 27 au moyen de la transformation le De

Soit un cercle C, |2|]=7r, r—k+", k entier, |[n|<e. Il ne coupe aucun x; la fonction H(2) transforme ce cercle en une courbe Z, du plan t, courbe de longueur égale ou supérieure à 2x. On a donc

dH DU —— il de

r dp = Ter

ou, suivant l'inégalité de Schwarz

2 27 2x Û » |dH |? » |dH 2 << a — ———— 4x el LE rdp 2x | TL rdp Donc k+e k+e 2x ° dr dH À ® DER CRE — A d À il | rdrdp EN ISS:

L’expression de droite représente l’aire balayée par L, lorsque r varie de k—e à k+e. On a encore

k+e 7 HE 2 2 — Si me 2 | : <£Sff| ï r dr do

quel que soit N, entier positif. Le second membre est borné, si on

suppose c fini. Donc oo k+e

3 dr

14e T ce qui est une contradiction. Donc c—c, et le théorème est demontré.

$ 13. Généralisation d’un théorème de M. R. Nevanlinna

Il s’agit d’un théorème démontré par M. R. Nevanlinna dans son mémoire: Ein Sat: über die konforme Abbildung Riemann'scher Flächen. Comm. Math. Helv. 5 (1932), p. 95—107.

L’auteur considère les surfaces de Riemann dont toutes les singularités sont logarithmiques et ont pour traces trois points du plan. On construit l’arbre topologique de cette surface, on y choisit une origine G,, d’où on déduit les générations G,,G,,.... Soit o(n)+2 le nombre de sommets

de G,; M. Nevanlinna démontre que si Y diverge, la surface est

pets no(n) du type parabolique.

Nous généralisons ce théorème, en remplaçant trois points par trois cercles du plan.

Supposons donc que la surface de Riemann F, simplement connexe, n’a que des singularités logarithmiques, que leurs traces sont toutes contenues dans trois cercles C,,C,,C;, sans points communs, ni points frontières communs, de rayons r,,r,:,7,; de plus, on ne passe d’une singularité d’un cercle à une autre singularité de ce cercle que par un détour autour d’une singularité d’un autre cercle.

Nous pouvons construire un arbre topologique de cette surface. Soient 01; 0», 03 trois nombres supérieurs à un, tels que l’un des cercles C1, C;, C, de mêmes centres que C,, C,, C, et de rayons r,01, r202, 303 Soit tangent aux deux autres, ces derniers ne se coupant pas. Soit Z le point d’intersection de deux tangentes: il est clair que les tangentes menées de 7 à C;, Ce, C; ne coupent aucun de ces cercles, et sont toutes distinctes.

Soit z — p(w) la fonction qui représente F sur le cercle [2] <R(< co). Nous appelons arbre de F l’image, par y (w), des demi-droites &;, 2, 3; à étant une demi-droite issue de Z et comprise entre C, et C,,,, et l’image de demi-droites de F, issues de Z et passant par les singularités de F; si, pour une branche de (w), un cercle C, ne contient aucune singularité, on prend une demi-droite quelconque, issue de Z, et coupant ce cercle.

Pour simplifier les calculs, on supposera I à l’origine.

Puisque nous avons construit un arbre, nous pouvons introduire, comme M. Nevanlinna, les générations, puis les quantités o(n). Alors on a le

Théorème 17 : Si Y = À diverge, F est du type parabolique.

o(n) La démonstration que nous donnons suit de très près celle de M. Nevanlinna.

On dira qu’un domaine élémentaire H appartient à la n-ième génération si » est le plus petit indice des générations auxquelles appartiennent les sommets de Æ. On appelle origine de la frontière l' de H le sommet de 7" appartenant à @,.

Soit donc H un domaine de &,.. Il lui correspond une singularité a de F, intérieure à C;,; w(z), fonction inverse de y(w), représente H sur une partie F, de F, qui contient la seule singularité a. La frontière de F,, se compose de demi-droites (0, co); elle contient la surface de recouvrement du domaine doublement connexe obtenu en ôtant a de l'angle des tangentes menées de I à C!.

Soient 4,, 4,, A;, trois points du plan; À, est situé dans l’angle formé par les tangentes menées de Z à C,,, et C,,2, l’angle ne contenant aucun des trois cercles. Il est clair que F, ne contient aucun point du secteur qui contient À4,.

Faisons la transformation

1 — À @ (2) Re log Fée

+ 2c où on prend une détermination quelconque du logarithme et où c, constante réelle, est telle que w(z) — 0 si z est à l’origine de H ; w (z) représente H sur un domaine H,, et pour tout point de la frontière 1”, de H, on a — K, <KRow < K,, quel que soit AH.

D’autre part, la droite $ w — constante coupe 1”, en un seul point.

Soit r > n; on construit la courbe Z, de la façon suivante:

1° le demi-cercle [wo — K,|—=r—n Ro > K,; 2° les deux segments S wo — + (r —n), w dans H, ; L, coupe 7”, en deux points 4, et B,.

Faisons encore la transformation { — logz en coupant le cercle |z| < R le long d’un polygone de l’arbre. À H correspond un domaine H,, et à L, une section de H, dont la longueur sera s(r). On a

dt dt |?

eu) (fe Idol P<f 1dol [IST Ido dA < fa(r—n) + 28, + 2K,] 0

À (r) étant l’aire de H comprise entre Rt — log À, et la courbe qui correspond à Z,. R, est un nombre fixe inférieur à k, et on prend r>7r,, r, étant choisi assez grand pour que À (r) ait un sens. On a alors

s'(n) K,nr 0) RTS puis Se (= Kçar 0 ia

la somme étant étendue à tous les domaines Æ des générations Gi, Gi, ..., ,(n <r)et $ = ZA. Soit 4(r) le nombre des sections s(r) et

œ(r) = Zs(r).

On a

; (Zs(r))}? (r) UE eme (2) Soit Br) =maxu0, 27% (7)] (3) Alors An? AxB(r) dÿ 1) — FR FO S Kanr

donc, 4 r>"