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or, pour »—1<r<», À(r) =o(r) +2; donc si Zn diverge, il
dr de D (5)
en est de même pour
Tr
d’où il résulte que si Y ee diverge et si À est fini, Î diverge.
no(n)
Il faut montrer que cela est impossible.
Supposons donc À fini; on peut admettre que R > 1. Soit a,b, la courbe du plan 2 qui correspond à ZL,. Si r est entier, tous les arcs a,b, forment un contour simple M,. Soit r non entier: n — 1 <r <n. Les extrémités des a,b, peuvent ne pas coïncider. Nous les relions par un segment y, de l’arête correspondante de l’arbre topologique, et soit encore M, le contour fermé obtenu. On passe au plan é — log z; M, donne une courbe de longueur au moins égale à 2x; soit y(r) la longueur, dans le plan {, d’un arc ajouté. On a
œ(r) + Ey(r) > 2x donc, d’après (3) Br) < Ey(r) (6)
Nous nous proposons d'évaluer les y(r).
Soit P,P, un polygone de l’arbre, sans autres points de ramification que P, et P,. P, appartient à @,,, P, à Gniopx1. Lorsque r varie de m à m + 2p + 1, les points a, et b, se déplacent, d’une façon continue, de P, à P,, en coïncidant aux sommets. Soit À le domaine constitué par les domaines élémentaires des sommets de P, P,. À P,P, correspond, dans le plan w, une courbe qui a pour trace deux demi-droites, issues de
l’origine. Soient a et b les singularités qui correspondent aux domaines limités par P, P,; on supposera que P, correspond à w — 0. Posons
+ + (—1}?ix.
On choisit la détermination convenable du logarithme, en sorte qu’à P;,P, corresponde une certaine courbe ®, passant par les points — p2in, —(p— 1)2ix, ..., 0,..., p2ix. A y(r) correspond un arc de ®, dont la longueur est bornée ; soit X, cette borne, et y(r) la longueur de y,.
Soit y, le point de y, qui correspond à a,. En appliquant, au besoin plusieurs fois, l'inégalité de Koebe (mais un nombre fini et borné de fois), on voit que d2 de
dz dy
Y=VYr
z étant un point de y,.
L’inégalité de Bieberbach donne dE LE dy ) zrq étant l’aire (finie) de X , et o(r) le rayon d’un cercle de centre
Yr, et contenu dans l’image de X.
Or, pour m+p+lr| <r<m+p+lr| +1
Va eo (r
Y=Vy
o(r) > p—|rl si lol =0,1,..., PA (7) e(r) > Ks ar?
on en conclut que 2 ; Va Herr donc F4 | role + y(r) Dir] A FA Pr et si on suppose 7 assez grand pour que P,P, soit extérieur à |z| — 1
ue vtr) <t p—|rl tee
Alors m+2p+1 D ] Je j— ; pirdr<2 (rs + ki +) Va <K,;Va log KP . (38)
Cette relation peut s’écrire aussi entre des limites non entières Te sr Î y(r)dr <K,V q log K;ç72 . (9)
Soit maintenant #, (entier) assez grand pour que toute la partie correspondante de l’arbre soit extérieure à |2| — 1. Soit un intervalle (x, r) et B(n, r) la partie correspondante de l’arbre. On divise B(m, r) en segments S(P,P,). Le nombre de ces segments est au plus de 24(r). Pour l’un de ces segments S, avec r, < r, on a
[rer (dr <K,Va log Kior<K:Vaq log r; (10)
posons r
On a br) <f (Ey(0 )du
no
la somme étant étendue à tous les S qui correspondent à r — w. On a
encore b(r) < K,,logr: XVa
la somme étant étendue aux segments 8 de B(n,, r). Mais ZE Va <y24(r) - VZa Z3<3R (11) b(r) < K;WA(r) : log r
et
donc
d’où on tire : B(r) (r) < 7e b(r)dr b(r) pee JTrA(r) es ee re (r) +f rA(r
log r 1] d à dÀ < KE do ET
To
log r l d?
< Ki | =. AT 2e x) 0 ñ
d’où la convergence de l’intégrale. Le théorème est démontré.
$ 14. Généralisation du théorème précédent
Il y aurait peu à modifier dans la démonstration si, au lieu de trois cercles on avait p cercles C,, ..., ©. En général, dans ce cas, on ne pourra pas trouver un point Z et un point £ répondant aux conditions requises ; ces conditions servent uniquement à nous assurer que le cercle | w|—r—n coupe 1”, en deux points seulement, ce qui permet d’affirmer ensuite que les arcs y, sont situés entièrement dans un intervalle entre deux sommets de l’arbre.
Si on a p cercles C,, ..., C,, soit Z un point quelconque, extérieur aux cercles, et Æ£ le point à l'infini. Nous relions Z à £ par des chemins entourant les C,. On peut choisir ces chemins tels que le nombre de points sur chaque chemin pour lesquels
arg = 0
(a est un point intérieur quelconque de C;) soit au plus égal à p. Alors un arc y, sera compris dans p intervalles au plus du réseau. La relation (9)
devient r2
Jrodr<k, x (Va log K;5r) (9’)
la somme étant étendue à p intervalles consécutifs, c’est-à-dire à p valeurs de p consécutives. On a donc
fredr<KospEVa log Kio: +?)
la somme étant étendue à p domaines du plan. Posons Q = ZEg
EVa <Vr VQ donc
ve y(r) dr <K,p V? vQ log Ko(r: + p) ce qui donne, à la place de (10)
fr@dr<K;VQ log r et PSE (10) ë
De plus
XQ< p°r° 1} donc b(r) < K;, WA(r) : log r et le
Théorème IS : Soit F une surface de Riemann dont toutes les singularités sont logarithmiques et groupées dans p cercles, extérieurs les uns aux autres, et soit o(n) + 2? le nombre de sommets de la génération G,, du réseau corres-
À ll $ ë pondant: si Zro@) diverge, F est parabolique.
$ 15. Un critère de type
Théorème 19: Toutes les surfaces de Riemann qui ont, au sens du $ 6, un même réseau que la surface de l'inverse de w — e%, sont du type parabolique.
Démonstration: Pour plus de commodité, remplaçons e*° par
__ae® +b
ce + d
LS
À, YS __ 5, On choisit, pour construire le réseau de la surface de Riemann F* de f-t{(w)— œ{w) le cercle |&|—1 pour courbe Z, et les points Z et Æ tels que
Le réseau est alors constitué par la droite R2 — 0 et par les demi-droites Je = (k + Da, Rz> 0, k — 0, +1, +2,... On a, sur les droites J2 = (k + hz
