SUR

Soit H, la bande (+ Dr <VJ2<(b+1+ x.

Considérons maintenant la surface de Riemann simplement connexe F, qui a même réseau que F*; on suppose que la singularité qui correspond à un pour FF à pour trace un, que celles qui correspondent à — VS + ; ont des traces intérieures à un cercle C,, celles qui correspondent à

— 13 __ ? des traces intérieures à un cerele C3, les cercles OC, et C, con-

tenant respectivement — #4 À et — 12, et étant assez petits pour ne pas être coupés par les courbes 1 Z qui donnent les arétes du réseau.

On peut découper F le long des courbes ayant pour trace les courbes TE qui ont divisé F* en domaines élémentaires; soit F, la partie de F qui correspond ainsi à la bande H,. On peut représenter F, conformément sur , de manière qu'aux points 1 de F, correspondent les points M de la frontière de H, pour lesquels on à

fG@)=1

En effet, F, est une surface de recouvrement d’un demi-plan pourvu d’une singularité logarithmique w,. On peut représenter conformément le demi-plan Sw = 0 sur lui-même en sorte que w, aille en — 2+i, et que I reste fixe. Soit w, — y,(w) la fonction qui effectue cette représentation. La fonction

représente F, sur H,; d’autre part on à

P,Q) = ply QI = p40) = M ce qui montre que la représentation envisagée est bien possible. On

procède ainsi pour chaque domaine H,.

Soit w — F(£) la fonction qui représente le cercle |£| <c(c <<) sur F, On supposera c < co. La fonction

donne une représentation de H, sur une partie du cercle |£[| <c. On k coupe le cercle | £| < c le long de la frontière d’un domaine correspondant

à un F, et on pose Ë : t = log

en fixant une détermination du logarithme; l’image du cercle |£| <c est une bande B.

En vertu de l’hypothèse faite sur les cercles (, et C,, les points du plan 2, sur les droites 32 — (k + })x, pour lesquels on à

Di (2) = 1 sont situés dans le demi-plan Rz < K,, et ceux pour lesquels DF(2 —0 ou co

dans le demi-plan Rz > K,,K; > K,,K, et K,; étant des constantes qui ne dépendent pas de k. Soit H; la pare de H, située dans le demi-plan Rz > K,. La fonction

2 = Fly.

représente H? sur une partie H, de H,. H, est limité par une courbe L, reliant les dt Ye = (k+ Det Ve — (k + à)x. Les courbes L, sont contenues dans une bande