EE R- KE

A H, correspond un domaine 7, de B au moyen de la fonction

t= log [F1(85"(2))1] = x:(2)

Soit CA une courbe fermée du plan z composée de la façon suivante:

1° un demi-cercle C’: |2—K,| = R RARES

2° un demi-cercle C’’: |2+ K,| = R Rz2<—K,;

3° deux segments situés respectivement sur les droites Sz — + R, reliant les extrémités des deux demi-cercles.

La longueur de C, est égale à 4K, + 27.

Soit $, la partie de F qui correspond à l’ensemble des domaines T,(k = 0, +1, +2, ...), et soit $, — F — $,. On peut représenter le demi-plan Rz < 0 sur $, par la fonction

On posera

t = log [F(fG + K:))] = x()

en choisissant la même détermination du logarithme que plus haut; t = y(2) représente le demi-plan Rz < 0 sur la partie T de B située hors des 7T,.

Soit 0 la partie de C, contenue dans le demi-plan Rz2 < 0, 8, la partie de C’, contenue dans Æ,; 0(R) et 0,(R) les longueurs de 8 et de 8,. Il faut remarquer que, pour certaines valeurs de k et de R, 0, et 0 peuvent avoir un segment commun, mais la longueur de ce segment est bornée, et on a toujours

Soit 8, l’arc qui correspond à 0, dans la représentation

et s l’arc qui correspond à 8 par { — y(2). Les arcs s, et s ne forment pas une courbe connexe, mais on peut réunir les arcs s, et s de manière à former une courbe d’un seul tenant, les arcs ajoutés correspondant à des segments des droites S2 — (k + 1)x et Rz— 0, la longueur de ces segments étant toujours inférieure à celle d’un intervalle compris entre deux points pour lesquels on a w(z) — I.

Soit y, l'arc ajouté qui correspond à un segment de %z — (4 + 1), 7k(R) sa longueur. Soient d’autre part u, et u, les ares qui correspondent à des segments de Rz— 0, et peut-être aussi à des segments de J2 — (k + 1x, dans le cas où C}, coupe L, en un point qui correspond à un point de 2 — (k + À)x par la transformation