PRÉFACE. XXV

ment restreints. J'ai toutefois signalé à l'Académie des Sciences un résultat de ce genre (^), et mon intention première était d'en joindre ici l'exposé à celui des recherches que je viens de résumer; mais la crainte d'allonger démesurément un Ouvrage déjà fort étendu m'en a finalement détourné. Le lecteur qui désirerait prendre connaissance de ce résultat voudra bien se reporter à quelques travaux récemment publiés (-).

V. Des quatorze Chapitres qui vont suivre, quelques-uns, comme leurs titres l'indiquent (Ghap. I, II, III, ÏV et VIII), traitent de questions qui sont en quelque sorte du domaine public. Si j'ai tenu néanmoins à en faire ici l'exposé, c'est dans le but de rendre l'Ouvrage accessible à un plus grand nombre de jeunes lecteurs : peut-être, en supposant ces questions connues, aurais-je eu lieu de craindre que certains d'entre eux, faute de notions précises sur quelque point fondamental, ne fussent insuffisamment préparés à aborder les Chapitres où se trouvent exposés des résultats nouveaux. Tel qu'il est au contraire, l'Ouvrage peut, je crois, se suffire à lui-même : sa lecture exige, il est vrai, un esprit exercé et une attention soutenue, indispensables pour bien saisir, à travers la complication des détails, l'unité de la méthode et des résultats ; mais les connaissances positives dont elle nécessite l'acquisition sont, comme on le verra, fort peu étendues (^ ).

(1) Comptes rendus, 23 décembre 1901.

(2) Sur le calcul par cheminement des intégrales de certains systèmes différentiels (Annales de l'Ecole Normale, 1908 ).

Sur quelques principes généraux relatifs à la théorie des fonctions d'un nombre quelconque de variables {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, (907, p. i36 à lyj).

{^) Strictement, elles se réduisent à ceci : i^ les règles du calcul algébrique élémentaire, et la règle de convergence des variantes réelles simples, énoncée sans démonstration au n" G (le tout impliquant l'ensemble des considérations

Pour tout ce qui a rapport à la définition et aux premières propriétés d^s fonctions analytiques, j'ai adopté, dans ce qu'il a d'essentiel, le point de vue de M. Mérày, qui consiste, comme on sait, à faire reposer la théorie générale de ces fonctions sur les propriétés des séries entières ('), et qui m'a paru se prêter mieux que tout autre à Tétude des questions dont je me suis occupé. Je crois devoir ajouter toutefois que sa méthode, telle qu'il l'a exposée, donne lieu, selon moi, à certaines objections, et ne m'a pas semblé présenter en toute circonstance toute la commodité désirable : c'est ce qui m'a conduit à en modifier divers détails. Je ne manquerai pas de signaler, en leur lieu et place, les quelques emprunts faits à l'Ouvrage didactique de M. Méray, comme aussi, le cas échéant, les modifications introduites.

J'attire enfin l'attention du lecteur sur ce fait, que jamais, dans les études qui vont suivre sur les systèmes différentiels, aucune hypothèse n'intervient relativement à la nature réelle ou imaginaire des variables qui s'y trouvent engagées (^) : j'ai pu, en effet, pour toutes les questions traitées, adopter un mode d'exposition s'appliquant indifféremment à l'un et à l'autre cas.

Je dois, en terminant, et c'est pour moi un bien agréable

relatives à la généralisation progressive de l'idée de nombre) ; 1° les propriétés classiques des déterminants et des équations linéaires. Les applications traitées dans le Chapitre XI exigent, en outre, quelques notions élémentaires sur la théorie algébrique des formes quadratiques.

(1) Dans la Préface àe^es Leçons nouvelles (p. i4et i5), M. Méray fait remarquer que Lagrange, il y a un siècle, avait entrevu la possibilité de cette déduction, et qu'Abel, quelques années plus tard, en posa le premier fondement [Abel,

Recherche sur la série iH x -{ x^ -\- . . . (Journal de C relie,

(2) Sauf, incidemment, dans une application particulière destinée à éclairer les théories générales. Voir les n"* 183 et 184.

devoir, adresser l'expression de ma vive reconnaissance aux Savants qui m'ont fait l'honneur de s'intéresser à mes travaux, et dont la sympathie m'a été si précieuse; à M. Bayet, le chef éminent de notre Enseignement supérieur, qui a bien voulu encourager la publication de cet Ouvrage; à M. Gauthier-Yillars, dont les presses admirables, toujours au service de la Science, en ont assuré d'une façon irréprochable l'exécution matérielle.

Charles Riquier.

Espace à un nombre quelconque de dimensions; régions limitées; régions complètes.

1. JNous nommerons point à n coordonnées tout système de valeurs particulières attribuées aux /? variables réelles x^ y^ ..., et espace à n dimensions Tensemble de tous les points à n coordonnées ; cet espace sera souvent désigné parla notation \x\ y^ • • •] (")• .

La distance des deux points

est, par définition, la racine carrée arithmétique (c'est-à-dire non négative) de la quantité

(^1— 3^2)- + (ri— ^2 )- + •••;

si, notamment, il n j a qu'une seule variable réelle, x^ la distance des

(•) Voir les deux Mémoires intitulés : Sur les fonctions continues d'un nombre quelconque de variables (Annales de l'École Normale^ "890); 5a/' quelques principes généraux relatifs à la théorie des fonctions d'un nombre quelconque de variables {Annales delà Faculté des Sciences de Toulouse, 1906 et 1907).

(') Nous généraliserons plus loin ( n» 15) le sens de la notation j [x, y, . . .]] pour l'étendre au cas où les variables x, y, ... sont imaginaires.

CIIAI'ITRK 1.

deux points a;,, .rj est égale au module de la différence ^, — ^2 ( ' ).

Pour que deux points soient identiques, c'est-à-dire pour que leurs coordonnées semblables soient respectivement égales, il faut et il suffît que leur distance soit nulle.

Dans ce qui suit, nous désignerons souvent les points {x^y^ "')i (jc,, jKn . • •)' (-^î, y^i ■'•)•, ' • ' P^^ de simples lettres, «, a,, a^^ . . ., et les distances mutuelles de ces points par «a,, ««2, ciiCia-, ••••

2. Dans l'espace à n dimensions, on a souvent à considérer, à l'exclusion de tous les autres points, ceux dont les coordonnées satisfont à telles ou telles conditions, d'une nature absolument quelconque d'ailleurs; leur ensemble constitue ce qu'on appelle une région de l'espace à n dimensions.

Nous établirons tout d'abord la proposition suivante :

Dans l'espace à n dimensions (n^ 1), si la distance de quelque point fixe de cet espace à un point variable d'une région donnée 11 reste toujours inférieure à quelque constante positive, tout point fixe jouit par rapport à % de la même propriété : la région, en

pare]

1 cas, est dite limitée.

1. La distance de deux points quelconques est comprise entre la somme et la différence de leurs distances à un même troisième (et peut parfois atteindre l'une ou l'autre de ces valeurs extrêmes).

Si l'on considère les points a,, «2^ <^-f3 (11" l)^ et qu'on pose, pour abréger,

on a

«,«3 = (^2— ^3)2+ (JK2 — J3)^ + . .

d'où résulte que le carré de la distance a^a^^ ne peut excéder l'inter-

(') Nous appelons module d'une quantité réelle ce qu'on nomme habiLuellenient valeur absolu de cette quantité.

valle des deux quantités

«1».^-+- ai«3— 2 raod(^2b-+-^2'n3 + - • Oi «t «2 -+- «taj-l- 2 mod(^2^3-H ■^ia'.a-t-- • •)• De la relation

OÙ la sommation indiquée dans le second membre doit s'étendre à toutes les combinaisons deux à deux des lettres $, t), ..., on tire d'ailleurs

mOcl(^2;3-^ 7)27)3 + .. •)=v/^' + ^2-^-..• v/U+'^i+---.

c'est-à-dire

donc, à plus forte raison, le carré de la distance a^^a^ ne pourra excéder l'intervalle des deux quantités

a\ «2 ~*~ ciy^z — 2ai «2 X (i\ CI3,

on en déduit, par l'extraction des racines carrées arithmétiques,

mod(aia2 — <^i «3 ) = «2<^3= <^i «2-4- «. «g.

II. Revenons à notre énoncé et désignons par a un point variable

de la région 11, para, et «2 deux point fixes de l'espace Ma:, y^ . . .]]

(n" I ). Si, en choisissant convenablement la constante positive M,

on a, pour toute position du pointa dans la région 11, l'inégalité

uia < M, on aura aussi

ai a -i- «1 «2 < M 4- «1 «2

et, à plus forte raison (I),

««2 < M -h ai a2, (^e qui démontre la proposition.

3. Un point fixe sera dit complètement extérieur à une région donnée de l'espace à n dimensions, si sa distance à un point variable de cette dernière reste supérieure à quelque constante positive.

Une région sera dite complète, si tout point n'en faisant pas partie lui est complètement extérieur.

\. J^a remarque suivante est souvent utile :

Supposons que les n variables indépendantes (réelles) aient été partagées en un nombre quelconque de groupes, trois, par exemple,

et soient

trois régions respectivement extraites des espaces correspondants

l'association de ces trois régions en fournit évidemment une,

(3) (tî:,,..., %-,..., ît,....), extraite de l'espace

Gela étant, il est extrêmement facile d'apercevoir : i° que, si les régions (i) [considérées chacune dans celui des espaces (2) qui lui convient] sont supposées limitées, la région (3) [considérée dans l'espace (4)] ne peut manquer de V être aussi; 2° que, si les régions {i) sont supposées complètes, la région (3) jouit de la même propriété.

Effectivement :

1° Soient :

ou a, un point variable de la région (3), et

OU «Oî un point fixe de l'espace (4). Chacune des trois régions (1) étant supposée limitée, on a respectivement, dans toute l'étendue de ces régions,

(7-^o)2-f-...<N2, (z — Zor^ + ...<P2,

OÙ M, N, P désignent trois constantes positives convenablement choisies (n" 2); on en déduit, par addition membre à membre, que, dans toute l'étendue de la région (3), le carré de la distance aao (n° 1) reste inférieur à AP + N- -h P^ et cette distance elle-même

à y/M^ + JN^H-P^

2" Soient

un point variable de la région (3), et

un point fixe n'en faisant pas partie, tel, par conséquent, que si l'on considère, d'une part, les trois points

d'autre part, les trois régions (i), l'un au moins de ces trois points ne fasse pas partie de la région correspondante; nous supposerons, pour fixer les idées, que le point (X, . . .) ne fait pas partie de la région %x, ...• Chacune des régions (i) et, en particulier, la région 11^, ..., étant supposée complète, le point (X, . . .) est complètement extérieur à 11 j-^ ..o ^^ ^^ désignant par X une constante positive convenablement choisie, on a nécessairement, dans toute l'étendue

deH^,...,

à plus forte raison aura-t-on, dans toute l'étendue de la région (3),

OU

y/cr — X )2 -^- . . . H- ( j — Y )2 -^ . . . ^ ( 2 — z )2 -h . . . > X.

Le point (X, ..., Y, ..., Z, ...) est donc complètement extérieur à la région (3), ce qu'il s'agissait d'établir.