PREFACE. XXIII

III. Parmi les systèmes différentiels auxquels s'applique Tun ou l'autre des théorèmes d'existence dont on trouvera plus loin l'exposé, il était intéressant de rechercher quels sont ceux dont l'intégration se ramène à celle d'équations différentielles totales. Tel est l'objet du Chapitre XIII, que l'on peut résumer comme il suit :

Si l'ensemble des éléments arbitraires figurant dans les conditions initiales ne renferme, avec un nombre quelconque de constantes, qu'une seule fonction d'un nombre quelconque de variables, la recherche, dans le système proposé, d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données, se ramène à deux intégrations successives, savoir : i" celle d'un système complètement intégrable d'équations différentielles totales, variable avec le choix des conditions initiales; 2° celle d'un système linéaire et complètement intégrable d'équations aux dérivées partielles du premier ordre, indépendant du choix dont il s'agit, et qui, bien que les fonctions inconnues s'y trouvent en nombre généralement supérieur à i , peut se traiter par la méthode classique de Jacobi (^ ).

curvilignes orthogonales à n variables (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 9 décembre 1907).

Je rappellerai que la détermination des coordonnées curvilignes orthogonales à n variables a été, il y a quelques années, proposée comme sujet de concours pour le prix. Bordin, et qu'aucun des Mémoires soumis au jugement de l'Académie des Sciences n'a fourni une solution complète de cette question. Voir à ce sujet le Rapport inséré dans les Comptes rendus (séance du 18 décembre 1899).

(*) Sur les systèmes différentiels dont l'intégration se ramène à celle d'équations différentielles totales {Annales de l'École Normale, 1901). Dans le cas où le système (complètement intégrable) donné satisfait à la double condition d'être du premier ordre et de n'impliquer qu'une seule fonction inconnue, la recherche de l'intégrale particulière répondant à une condition initiale donnée se ramène, non, comme dans le cas général, à deux intégrations successives, mais simplement à la seconde des deux.

XMV PREFACE.

Ce résultat a été communiqué à l'Académie des Sciences le 21 novembre 1898. Au commencement de la même année, M. Beudon avait formulé un résultat analogue ('), et j'avais moi-même, quatre ans auparavant (^), examiné le cas où le système considéré est du premier ordre : le lecteur verra, au Chapitre XIII, combien peu il diffère du cas général.

11 va sans dire que la démonstration exposée s'applique, en particulier, au cas d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre non linéaire : il en résulte, pour traiter l'équation dont il s'agit et en ramener l'intégration à celle du système bien connu d'équations différentielles ordinaires, une méthode nou" velle, différente de celles qu'ont données Jacobi, Lagrange et Cauchy.

IV. Dans les questions relatives à l'existence des intégrales, on se borne le plus souvent à démontrer qu'en désignant par^^o, jKoî • • • ^6s valeurs initiales des variables indépendantes a?, y, . . ., il existe certains développements, entiers en ^ — XQ^y ~ Yoi • • •? dont les sommes vérifient identiquement les équations aux dérivées partielles proposées. Une étude fort intéressante, dans les cas où elle, est possible, consiste à prolonger analytique ment les intégrales ainsi obtenues, c'est-à-dire à délimiter, autour des domaines de convergence primitivement assignés à leurs développements fondamentaux, certaines régions, plus ou moins étendues, où elles soient calculables par cheminement : mais les cas où l'on a pu jusqu'à présent y réussir sont extrême-

(p) Beudon, Comptes rendus de l^ Académie des Sciences, 3i janvier 1898. Voiî' aussi les Annales de l'Ecole Normale {Sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles analogues aux systèmes du premier ordre, 1898), et le Journal de Mathématiques (Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles analogues aux systèmes du premier ordre en involution, 1899).

(') Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 3o juillet 1894.