La région définie par la relation

OÙ (j7o5.Xoî • • •) désigne un point fixe donné et R une constante positive donnée, nous offre un exemple très simple d'une région à la fois limitée et complète.

6 chapitkp: i.

Elle est évidemment limitée, puisque la distance du point fixe (^oî JKoj • • •)' ^^ ^0^ à un point variable de la région, reste moindre qu'une constante positive supérieure à R. ^

D'un autre côté, si l'on désigne par (X, Y, . . .) ou A un point fixe ne faisant pas partie de la région, et par), une constante positive (;> o) convenablement choisie, on a

Or, quelle que soit dans l'espace la position du point (^, JK, •••). ou «, on a, en vertu d'une proposition antérieure (n'^ 2, I),

Aa^Atto — aao ou

\a^R — art,, -+- A,

et comme on a, dans toute l'étendue de la région,

R ^ rtrto ou R — rtrto=o,

on aura, à plus forte raison, dans les mêmes limites,

la distance du point (X, Y, . . .) à un point variable de la région reste donc toujours supérieure à une constante positive moindre que )..

Variantes dans l'espace à un nombre quelconque de dimensions.

6. Nous nommerons variante (') (simple) un nombre (réel) variable dépendant de certains entiers positifs indéterminés, /??, /•, . . ., dont chacun peut varier arbitrairement à partir de telle ou telle valeur fixe qu'on lui assigne pour valeur minlma; ces entiers indéterminés se nomment les indices de la variante.

Une variante Um^r, ... est dite infiniment petite^ si, une quantité

(') Cette dénomination est due à M. Méray, qui l'a introduite, en 1869, dans une exposition nouvelle de la théorie des nombres incommensurables. Voir, au sujet de cette théorie, les indications bibliographiques données dans un Mémoire ayant pour litre : De la distinction entre les sciences déductives et les sciences expérimentales {Revue de Métaphysique et de Morale, novembre 1900).

positive e étant donnée, il existe quelque système de valeurs entières [JL, p, . . ., telles que les relations simultanées

m ^ {JL, ''= p, • • •

entraînent comme conséquence nécessaire

modu,n,r,... < £•

On dit qu'une variante «//«,/, ... <^ pour limite ou tend vers la constante U, si la variante U — «,„, r, ... est infiniment petite; une pareille limite^ lorsqu'elle existe, est nécessairement unique.

En particulier, une variante infiniment petite tend vers zéro, et réciproquement.

Une variante est dite convergente ou divergente, suivant qu'elle est ou non pourvue d'une limite.

Nous supposerons établie la proposition suivante, qui résulte de l'ensemble des considérations relatives à la généralisation progressive de l'idée de nombre :

Pour qu^une variante {simple) u,n^ r, ... soit convergente, il faut et il suffit que, une quantité positive e étant donnée, il existe quelque système de valeurs entières pi, p, . . ., telles que les relations simultanées

entraînent comme conséquence nécessaire, quelques valeurs positives ou nulles qu' on attribue aux entiers p, s, . . ., la relation

mod ( U,n-^p^ r-^s, ... — Um, r, ...) < £•

7. Dans l'espace [[.r, jk, • • •] p défini par la considération des variables réelles x,y, . . . (n® 1), nous nommerons variante (complexe) un point variable ayant pour coordonnées diverses variantes simples, qu'on peut évidemment supposer dépendre toutes des mêmes indices.

Une variante de l'espace r[^,jK) • • •]1 est dite convergente si ses diverses coordonnées le sont toutes, et le point obtenu en remplaçant ces dernières par leurs limites respectives se nomme alors la limite Ae la variante; une pareille limite, lorsqu'elle existe, est nécessairement unique.

Une variante non convergente est dite divergente. Pour qiCune variante

(0 <^/«,r,...= (^m,r,...j JKm,/-,..., ...)

tende vers la limite

il faut et il suj/it que la distance des deux points ^m^r, ..., V soit infiniment petite.

Pour que cette même variante (i) soit convergente^ il faut et il suffit quCy une quantité positive t étant donnée, il existe quelque système de valeurs entières tx, p, . . ., telles que les relations simula tanées

entraînent comme conséquence nécessaire, quelques valeurs positives ou nulles qiCon attribue aux entiers p., 5, . .., la relation

(où le premier membre désigne la distance des deux points ^m,r, ..o

Ces propositions, énoncées au numéro précédent pour une variante simple, c'est-à-dire pour le cas particulier d'un espace à une seule dimension, s'étendent immédiatement au cas général.

8. Lorsqu' une variante convergente tombe constamment dans quelque légion complète (n" 3) de l'espace M^, jk, . . .] ] (n° 1), sa limite est elle-même nécessairement située dans cette région.

Car, autrement, la limite de la variante serait complètement extérieure à la région dont il s'agit, ce qui est impossible, puisque la distance d'une variante convergente à sa limite est infiniment petite (n" 7).

9. En désignant par {x,n^ /m, . • .) ou v,n une variante quelconque à un seul indice, et par

(2) m,, m2, .... niii^

des valeurs particulières {distinctes) de son indice se succédant

indéfiniment suivant quelque loi déterminée , V expression

( 3 ) Wyt = Vjrt), = (.^wit, y un, . . . )

est évidemment une variante dépendant de l'indice k. Cela posé, si la variante {xmiymi • • •) reste constamment, comprise dans quelque région limitée, les valeurs {i) et leur loi de succession peuvent être choisies de telle sorte que la variante (3) soit convergente (').

I. Désignons par a, [3, ... des entiers indéterminés en nombre n^ que nous conviendrons de considérer dans un ordre toujours le même, l'ordre a, [3, ... par exemple, et soient

deux quelconques des combinaisons obtenues en attribuant aux entiers dont il s'agit tous les sytèmes possibles de valeurs positives; ces deux combinaisons étant, bien entendu, supposées distinctes, les

difterences

ne peuvent s'annuler à la fois. Gela posé, nous dirons que la première des combinaisons (4) est de taxe inférieure ou supérieure à la seconde, suivant que la première des différences (5) qui ne s'évanouit p«s est négative ou positive.

Il importe de faire à cet égard l'observation suivante. Si l'on désigne par

trois combinaisons de valeurs attribuées aux entiers a, p, ..., si l'on suppose en outre que la première soit de taxe inférieure à la deuxième et la deuxième de taxe inférieure à la troisième, la première est nécessairement de taxe inférieure à la troisième. Si l'on considère en

(^) Voir MÉRAY, Leçons nouvelles sur l'Analyse infinitésimale et ses applications géométriques, I" Partie, p. 56.

effet les dillérences

rangées, comme nous venons de les écrire, en un Tableau rectangulaire, il résulte de nos hypothèses que, dans chacune des deux premières lignes horizontales du Tableau, les difïérences ne sont pas toutes nulles, et que la première non égale à zéro y est négative ; comme, d'ailleurs, la dernière différence de chaque colonne verticale est égale à la somme des deux différences placées au-dessus, la dernière ligne horizontale jouit évidemment de la même propriété que les deux premières.

II. Désignant par ^qîJKoj ••• certaines valeurs particulières des n variables réelles ^, JK, . . ., et par X, Y, ... d'autres valeurs particulières des mêmes variables, respectivement supérieures aux premières, nous nommerons intervalle complexe la région de l'espace [^, y^ . . .] I définie par les relations simultanées

(6) rolr^Y,

dont chacune, considérée isolément, définit un intervalle simple; les différences (pos^itives) X — Xq, Y — jKo? • • • seront les amplitudes de l'intervalle complexe.

Nous nommerons subdivision d^ un intervalle complexe l'opération consistant à subdiviser (de façons quelconques) les n intervalles simples dont l'association le constitue, puis à former de toutes les manières possibles un intervalle complexe avec n intervalles partiels pris respectivement dans chacun d'eux.

Nous aurons besoin ci-après de considérer dans un ordre déterminé les divers intervalles complexes provenant de la subdivision d'un intervalle donné; la loi de leur succession peut être choisie de bien des manières, et l'on peut, par exemple, la fixer comme il suit. En premier lieu, on adoptera pour les indéterminées ^, y, . . . un ordre toujours le même, soit l'ordre ^, j, . ... Considérant ensuite les intervalles simples partiels obtenus par la subdivision de l'inter-

valle simple total relatif à une indéterminée quelconque, on commencera par les ranger dans l'ordre naturel que leur assignent les valeurs croissantes de cette indéterminée. Si l'on désigne alors par

\y , \y , . . . , ly ,

les diverses suites d'intervalles simples ainsi obtenues et qu'on associe ces derniers de toutes les manières possibles en prenant un terme, et un seul, dans chaque ligne horizontale du Tableau précédent, deux quelconques des intervalles complexes qui en résultent pourront être désignés par les notations

(7) [if> if. •■•].

(8) [ir, if', ...].

où les deux combinaisons d'entiers positifs

sont nécessairement distinctes. Gela posé, nous dirons, pour abréger, que l'intervalle partiel (7; est de taxe inférieure ou supérieure à l'intervalle partiel (8), suivant que la première des deux combinaisons dont il s'agit sera elle-même de taxe inférieure ou supérieure à la seconde (I), et nous conviendrons de considérer nos intervalles complexes partiels dans un ordre tel que leur taxe aille toujours en croissant ; nous dirons, en pareil cas, qu'il sont ordonnés.

Observons, en passant, qu'w/^ intervalle complexe constitue une

région lim,itée et complète de V espace M-r, )', . . .] |. EfFecti^ement, la relation

équivaut entièrement à

^0 H- X ^ 370 -H X .ce,, Xq ^x SX

c'est-à-dire à

X — .rp ^ 070 + X ,^ X — .^o

OU enfin à

de même, la relation équivaut à

elc^ L'ensemble des relations (6) définit donc, en vertu des n"* 4 et 5, une région limitée et complète de l'espace \[œ, y, • . •] ].