IA

ôx.

()s ds

H-l,(r + l Xr

dx^ dx^^i

Ox-^

dXf.^^ ds

' àx.^, dx,, ^i+'M^ dx-^, dx.^i

dx,

'" dx^

:àF„

:àx„

ds ds dx„ dxi^i

ds ds

4l8 CHAPITRE XI.

Dans ce produit, faisons provisoirement abstraction du facteur ( — ^y"^^-) et considérons le déterminant qui figure à la suite : chacune de ses colonnes peut évidemment se décomposer en deux souscolonnes, respectivement formées avec les termes précédés du signe H- et les termes précédés du signe — ; deux sous-colonnes quelconques de la deuxième espèce ont, d'ailleurs, leurs éléments proportionnels : si donc on décompose, par la considération des souscolonnes, le déterminant ci-dessus en une somme de plusieurs autres, un certain nombre de ces derniers s'évanouissent comme ayant deux colonnes proportionnelles, et il reste simplement n déterminants d'ordre n — i , dont l'un s'obtient en ne prenant la deuxième sous-colonne dans aucune des colonnes du déterminant (21), et chacun des n — i suivants en la prenant dans une seule colonne : dans le premier de ces n déterminants, tous les éléments sont précédés du signe -f- ; dans chacun des n — i suivants, tous les éléments d'une certaine colonne contiennent le facteur — i, et l'on peut alors le supprimer dans cette colonne pour le mettre en évidence en dehors du déterminant. Cela fait, on a une somme algébrique de n déterminants que nous supposerons écrits les uns à la suite des autres sur une même file horizontale, le premier de ces déterminants étant précédé du signe +, et tous les autres du signe — .

Pour avoir maintenant, abstraction faite du facteur ( — i)-/+*. la somme 2UyUA, il faut faire la somme de n files horizontales semblables à la précédente, mais où l'inconnue quelconque s se trouve remplacée successivement par les n inconnues w, (^, ..., ix\ En écrivant ces /i files horizontales les unes au-dessous des autres, etlectuanl leur somme par files verticales, et désignant par Ay^^ le déterminant qui se déduit de (20) par la suppression de la ligne de rangy et de la colonne de rang A", on obtiendra pour la première file verticale n^j^h] pour toute autre file verticale, on obtiendra manifestement, en tenant compte des équations (i), — Ay,/f; d'où résulte que la somme des n files a pour valeur nàj^ff — (n — i)' Ay /^, ou Ay^/^.

Finalement, si l'on rétablit dans le produit (21) le facteur négligé (— iy+^, il vient

c'est-à-dire, comme nous l'avions annoncé.

III. Désignant par (ô un symbole quelconque de dérivation seconde, et par a,, ao, . .., a,/ certaines fonctions de x^^ .ro, ..., x,i se déduisant des seconds membres (donnés) de (r) par des opérations élémentaires exécutées sur leurs dérivées premières, les n dérivées semblables du second ordre

(22) (Dï<, (Dp, ..., cD(p

sont, comme nous l'avons vu plus haut (n'^ 178, II), liées aux variables indépendantes et aux dérivées premières de «, (', . . ., (V', par n relations de la forme

du ^ dv ^ dw .^

CÔ w -^ eu P -+-... H (0 (V = ai ,

du -^ ôv ^ Ow .^

- — eu M + - — cD P + . . . ^ - — (0 pp = ao, ôx^ ôx=i dX',

du ,-. dv -. dw ^

-. CÔ U -f- (D P + . . . -{- CD W = CLn .

dx,i dXa dXn

Les mêmes notations étant adoptées qu'à l'alinéa précédent pour le déterminant (2) et pour les coefficients de ses éléments, la résolution de ces formules par rapport aux dérivées (22) donne

I \y(S^u = aj Ui -h a, U2 -h. . .-4- a„U„,

, o, 1 D(Dt^ =-a,Vi +a,V2 +...-+- a^V,^,

' D (Ô w = ai Wi 4- aaWa 4- ...-+- a,iW„.

En désignant par Q' un deuxième symbole de dérivation seconde (identique ou non au précédent (D), et par a'^ , a',, ..., aj^ certaines fonctions de ^,, jCo^ - - -■, oCn se déduisant encore des seconds membres de (i) par des opérations élémentaires exécutées sur leurs dérivées premières, on a de même

iDcD'w = a'j Ui -f-agUî -h. . .-f-a,', U„, D(Î)V =a;v, 4-a;V2 -h...+ a;,V„, D (D' w = a'i \Vi + a; W2 ^ . . . -4- a,', W„.

Enfin, si l'on multiplie membre à membre deux relations de même rang prises respectivement dans les groupes (2-3) et (24), et qu'on

420 ' CHAPITRK XI.

ajoute les n équations résultantes, il vient

D2 V(Ow(lc^'f< = V(a,Ui + a2U2 + ...-+-a,,U„)(a', Ui + a^U,^. = a, a; 2 Uf + a., a; 2 U| -+- . . . -4- ( a, a^ -^ as a-; ) \^ U, U2 + . . . , c'est-à-dire, en ayant égard aux deux lemmes de l'alinéa précédent,

OÙ r désigne un entier quelconque pris dans la suite j, 2, .., /?., et/?, ^ deux entiers distincts quelconques pris dans la même suite. 11 résulte de là que la somme ^ (O w cO' a s'exprime à l'aide des seules fonctions données jjl [qui figurent dans les seconds membres de (i)] et de leurs dérivées premières.

Si l'on se reporte maintenant aux relations (14)7 (i^)? {^^)i (17)7 (18); (19)1 01^ ^oit t|ii6 les quantités

■jàx,J J

ôxj dxi;

d'- u àXi ôx/,- dxj d.Ti âxj dx/,-

d'-u ôxi dxj dxi àxf^

ôxl ôxj ()Xi dxk àxj dxk dxi

dXi dXj dxk àx/ d2 u d^ u

ôxi ôxj^ dx j dxi J

dXi dxj ôxu- dxi dxj dx/^ >Jx,- ôx/

qui figurent dans leurs premiers membres, sont elles-mêmes* exprimables à l'aide des seules fonctions données |jl et de leurs dérivées premières.

Les conditions de passivité du système orthonome (R,, R2) sont donc de la forme suivante :

àxl

âxJ

fWy âX/,-

APPI.ICATIONS DKS THEORIES PRÉCÉDENTES. 4^ï

OÙ (/, k) désigne une combinaison quelconque de deux entiers distincts pris dans la suite i , 2, . . ., /i;

à'^ [^iJ ^ à' ixj^/, â-^ IX,- j __ d^ ix.i^k ^ dxj dxk àxj dxi âx/,- âxi àxj

c>a:,- c^iTyt C-^j àXj Oxfc dxi àxj

àxi dxj dx^. ôxi dXk àXj dx^

OÙ (i, y, /:) désigne une combinaison quelconque de trois entiers distincts pris dans la suite 1 , 2, . . ., /i;

âx/i dxi dxi dxj âxj âx/ dxi âx/,-

^^^^y ^ ^V/;,/ à^ [^^/ à^V-j\k dx/,- ôxi Oxi ôXj dxj dxk dxt dxi

où (f, y, /r, /) désigne une combinaison quelconque de quatre entiers distincts pris dans la suite i, 2, .... n. Dans chacune des équations (26), (2^), (28), les termes non écrits ne dépendent que des fonctions jx et de leurs dérivées premières.

181. Pour former le système orthonome (R,, R2), dont les conditions de passivité viennent d'être calculées, nous avons considéré l'une quelconque des solutions numériques du système (i), et nous avons mentalement supposé qu'à partir des valeurs constituant la solution numérique dont il s'agit, le système (i) se trouvait résolu (conformément au principe général des fonctions implicites, n" 120)

par rapport à dérivées premières choisies de telle façon que

le Tableau résultant, moyennant un ordre convenable adopté pour ses lignes et pour ses colonnes, présentât la disposition indiquée à l'alinéa I du n" 178. Or, tout en faisant intervenir, dans notre raisonnement, les formules de résolution, nous n'y avons pas eu recours, en fait, dans notre calcul, et nous n'avons fait usage des équations (i) que sous la forme même où elles se trouvaient données. Les résultats de notre calcul ne changent donc pas, quelle que soit la solution numérique considérée au début pour le système (i); il n'y figure, notamment, aucune des fonctions inconnues u, v^ ..., ^v

ni de leurs dérivées paramétriques, en sorte que les relations

obtenues subsistent entre les seules fonctions données jji des variables indépendantes ^,, jCo, . . ., .r^, et leurs dérivées premières et secondes. Si donc on se .reporte à ce qui a été dit au n" 112, si l'on observe d'autre part que, dans les limites mêmes où les formules de résolution du système (i) sont applicables, ce dernier équivaut, au point de vue de l'intégration, au système orthonome considéré dans notre raisonnement, on est conduit à la conclusion suivante :

Ou bien les ; relations obtenues par le calcul précédent

sont identiquement vérifiées (quels c[ue soient^,, .To, . .., Xii)i et à toute solution numérique du système (i) [considéré comme subsistant entre n [n -\- i) quantités, ainsi qu'il a été dit au début du n" 178] correspond alors un groupe unique d^intégrcdes {àé\eloppables à partir des valeurs numériques de x^^ ^r^, ..., Xn qui figurent dans cette solution);

Ou bien elles ne le sont pas, et le système (i ) n'admet, en pareil cas, aucun groupe d'intégrales.

Pour cette raison, nous les nommerons désormais conditions de possibilité.

182. Les valeurs initiales des variables indépendantes étant choisies à volonté dans la région IX (n" 177), et les conditions de possibilité (/i° 181) étant supposées satisfaites, tout groupe d^ intégrales particulières du système (i) est calculable par cheminement ( AZ*^ 69) du point initial à tout autre point de la région.

En désignant f>ar ('j, cd, ..., 'h) l'un quelconque des groupes d'intégrales dont il s'agit, la solution générale du système (i) est donnée par les for înu les

(V = //, u -h /?„ cp + . . . + Çn ^ -+- h,i,

oii /?,, Ao- •••7 ha désignent n constantes entièrement arbitraires, et

h, />i, •••, qu

In, Pu, •••, qn

les éléments cV an déterminant orthogonal arbitraire [d'ordre n).

La solution générale du système (i) dépend ainsi de

constantes arbitraires.

Enfin, les solutions particulières, en nombre infini, fournies par les formules (29) sont deux à deux opposées.

l. Si, parmi les solutions numériques du système (i) ('), on considère, à l'exclusion de toutes les autres, celles oit x^^ x.,^ . • -, Xn ont des valeurs déterminées^ (^1)0, (^2)0? •••? (•^«)o? <^^? ^^ Von désigne par (u, cp, . . ., <];) le groupe d'intégrales particulières du système (i) qui correspond à l' une déciles, l'ensemble des groupes d'intégrales qui correspondent respectivement à ces diverses solutions numériques est donné par les formules (29).

Effectivement, puisque les fonctions u, cd, . . ., ^ sont développables à partir de (^i)o, (-^2)05 •••7 (•^«)o et vérifient identiquement le système (1), on voit d'abord que les fonctions w, v, ..., w définies par les formules (29) sont développables à partir des mêmes valeurs, puis, en tenant compte de ce que le déterminant des quantités (3o) est orthogonal, que leur substitution dans les relations du système (i) vérifie ces dernières identiquement.

Pour établir qu'inversement les formules (29) fournissent tous les groupes d'intégrales visés par l'énoncé du présent alinéa I, adjoignons à ces formules celles qui s'en déduisent par toutes les différentiations premières possibles, et, dans ces n (n -h i) relations, remplaçons, d'une part, -j, 'j, ..., ^ et leurs dérivées premières par les valeurs numériques qu'elles prennent au point

d'autre part, m, i', ..., (^ et leurs dérivées premières par des valeurs

(') Bien que le système (i) ne contienne pas explicitement u, v, ..., w, on doit, ainsi qu'il a été dit au début du n" 178 et à la fin du n° 181, le considérer comme subsistant entre

oO I j ^09 • • • J //1

u, V, ..., w, et les tlérivées premières de u, v, ..., w.

numériques indéterminées; nous aurons ainsi le système suivant :

Wo= /«Uo-f-/>,jCpo-f-.. .-i-gn'^i

(El

\dxi

1^) =.J^\^p^ \ dXi j 0 \ OXi ] 0

iÈL\ = i (ÈL\ + (h.

\dxJo~ ^\0.rJo ^^\0Xi

ôXi/q "\àXi/o

d'j \ ( dcp

axi

Si maintenant, dans le système (i), nous remplaçons, d'une part, x^^x^^ .-., Xn par les valeurs numériques {x^)q^ (^2)05 •••7 («^//)o, d'autre part, les dérivées premières de w, (^, ..., (^ par les valeurs numériques indéterminées dont nous avons parlé, nous tombons sur

un système de équations algébriques, ou se trouvent explicitement engagées les n^ indéterminées

relativement à ces dernières, la solution générale du système est fournie, en vertu du n" 174, par les formules (33), où les quantités (3o) désignent les éléments d'un déterminant orthogonal arbitraire; et, les quantités (3o) étant ainsi choisies, les indéterminées «0? (^0, ..., Wq^ calculées à l'aide des formules (32), prendront, moyennant un choix convenable de Ai, /12, • • -, hn-, des valeurs numériques arbitrairement choisies d'avance..

II. Si, parmi les solutions numériques du système (1), on considère exclusivement, comme à l^ alinéa I, celles où x^^ Xi^ . . ., Xn ont les valeurs (^i)o, (^2)0^ • • •? (-^/Oo? '^ existe quelque constante positive, /'o, telle que les groupes correspondants d^ intégrales, développés à partir de (^i)o, (^2)07 •••5 {^11)01 admettent tous des rayons de convergence au moins égaux à r^.

Si Von désigne, en outre, par

(34) \{X,)\{X^)\ ...,{Xn)']

un autre système de valeurs numériques attribuées à x^^ x^^ • • -, Xii-, et qu'on lui fasse correspondre de même une constante positive r^ ^ on peut toujours, lorsque le point {^^) est suffisamment voisin du point (3i), choisir la constante r' de telle façon que sa différence à r^ soit moindre en valeur absolue que toute quantité donnée.

Effectivement, si (u, cp, ..., <i^) désigne la solution particulière considérée à l'alinéa I, et /q une quantité positive assez petite pour que ces /? fonctions, développées à partir des valeurs (3 1), admettent des rayons de convergence au moins égaux à /o, il est clair quelles n fonctions définies par les formules (^9) seront développables dans les mêmes limites. Ainsi se trouve établie la première partie de l'énoncé ci-dessus.

Gela étant, si l'on assujettit les différences

à avoir des modules inférieurs à r^, et si l'on désigne par s le plus grand de ces modules, la solution particulière (u, cp, ..., (i;), développée à partir des valeurs (34), admettra des rayons de convergence au moins égaux à /'o — £, en sorte qu'on pourra prendre r' = r^ — £• Si donc le point (34) est suffisamment voisin du point (3i), la différence /'(, — r', égale à =, tombera au-dessous de toute quantité donnée. Ainsi se trouve établie la seconde partie.

111. Si l'on distingue par S un fragment limité et complet (n"' 2 et 3) de la région H, et que Von considère exclusif enflent, parmi les solutions numériques du système (i), celles oii .r, , x^^ • • ., x,i ont pour valeurs les coordonnées des divers points de S^ il existe quelque constante positive, r, telle que les groupes correspondants d'intégrales admettent des rayons de convergence au moins égaux à r.

Considérons en effet, dans l'espace [[^4, x^^ •.., ^«]]i lî^ région limitée et complète S ^ et, dans cette région, un point quelconque : à ce point correspondent des solutions numériques en nombre infini du système (i). Cela étant, nous nommerons caractéristique du point toute constante positive (>"o) telle que les groupes d'intégrales correspondant à ces diverses solutions numériques admettent

tous des rayons de convergence au moins égaux à cette constante : l'existence d'une semblable caractéristique résulte de l'alinéa II (première partie de l'énoncé). Il résulte d'ailleurs de ce même alinéa II (deuxième partie de l'énoncé) que, si un point déterminé de S' admet parmi ses caractéristiques une constante déterminée, tout point de S suffisamment voisin du premier admet parmi ses caractéristiques quelque constante dont la différence à la précédente tombe au-dessous de toute quantité donnée.

Ainsi, les diverses conditions spécifiées au n" 10 relativement aux caractéristiques se trouvent bien remplies dans la région limitée et complète J', et, comme les caractéristiques sont ici essentiellement supérieures à zéro, il existe bien quelque constante positive, r, possédant la propriété énoncée (n" 13).

IV. Sî, dans la région li, on trace un arc continu, et que Von considère exclusivement, parmi les solutions numériques du système (ij, celles où x,, ^-o, . . ., Xn ont />our valeurs les coordonnées des divers points de l' arc, il existe quelque constante positive, /•, telle que les groupes correspondants d^ intégrales admettent tous des rayons de convergence au moins égaux à r.

Car, les variables (réelles), 5, /, . . ., dont l'arc dépend, étant assujetties à se mouvoir dans un intervalle complexe, c'est-à-dire dans une région de Fespace [5, ^, . . •] 1 à la fois limitée et complète (n" 9, II), il résulte du n" 18 que l'ensemble des divers points (^<, .To, . . ., Xn) qui, en vertu des formules définissant l'arc, correspondent (avec répétition possible) aux divers points de l'intervalle complexe, forme, dans l'espace \[pC\^ x^-, .-., ^"«J , une région à la fois limitée et complète : les conclusions de l'alinéa III sont donc applicables.

V. Si, dans la région H, on trace un chemin continu formé d' arcs placés bout à bout, et que Von considère exclusivement, parmi les solutions numériques du système (i), celles oii j^,, Xo-, ..., x,i ont pour valeurs les coordonnées des divers points du chemin^ il existe quelque constante positive, /•, telle que lés groupes cor/espondants d'' intégrales admettent tous des rayons de convergence au moins égaux à r.

C'est là une conséquence immédiate de l'alinéa IV.

VI. Tout groupe d^ intégrales particulières du système (i) est calculable par cheminement, du point initial choisi dans la région 11 Cl tout autre point de la région.

Etlectiveiiient, la région 11, étant supposée normale (n° 177), est, par là même, continue (n*" 41 ), et, dès lors, les deux points considérés peuvent être reliés l'un à l'autre par une suite d'arcs continus placés bout à bout dans la région 11, le premier de ces arcs ayant pour extrémité initiale le premier point, et le dernier pour extrémité finale le second point (n" 39). Cela étant, le point à établir est une conséquence immédiate de l'alinéa V et du n" 38.

VII. En désignant par (u, 'i>, ..., o) un groupe quelconque d'intégrales particulières du système (i), la solution générale de ce dernier est donnée par les formules (29).

Effectivement, tout groupe d'intégrales particulières du système, étant calculable par cheminement jusqu'en un point quelconque de la région 11, peut être considéré comme déterminé par un groupe de conditions initiales où x^^ ^o, •••5 ^n ont des valeurs numériques assignées d avance indépendamment du groupe d'intégrales que l'on considère.

Cela étant, le point que nous avons actuellement en vue est une conséquence immédiate de l'alinéa I.

VIII. Les solutions particulières fournies par les formules (29) sont deux à deux opposées.

Car si Ton remplace par leurs opposées les n {n -\- i) constantes qui figurent dans les formules (29), les /i- constantes (3o) ne cessent pas de former un déterminant orthogonal.

183. Plaçons-nous actuellement dans le monde des quantités réelles, et ne considérons, parmi les intégrales du système (1), que celles qui sont réelles. La région, IV, dans laquelle nous ferons mouvoir les variables .r,, ^27 • '•-, ^n devra satisfaire, en pareil cas, aux deux conditions indiquées plus haut (n" 177), mais avec cette restriction essentielle que, pour tout point de la région, la forme quadratique (3) soit la somme (proprement dite) des carrés de n formes linéaires indépendantes à coeflicients réels. En désignant

par (u, », . .., «1») une solution réelle particulière du système (i), la solution réelle la plus générale est donnée par les mêmes formules (29), où les constantes ne recevront, naturellement, que des valeurs réelles.

Si l'on considère l'une quelconque, (w, p, . . ., ^v), de ces solutions réelles, le déterminant différentiel (2), étant différent de zéro dans toute l'étendue de la région tl', y reste ou constamment positif, ou constamment négatif. Dans les théories physiques où intervient le système (i) [avec l'hypothèse /i = 3], on ne considère, parmi les solutions réelles, que celles où le déterminant dont il s'agit est positif : or, on voit immédiatement, en effectuant sur les formules (29) toutes les différentiations premières possibles, que le déterminant

du du

dv dxx dv

âx^

àX:i

dXx dw dx-i dw âxz

est le produit des deux déterminants

âxi (h àx<î

âxs

dxi

ÔX-i

àx-i

âxi âx^ dxs

Si donc on se place au point de vue des applications physiques, et si l'on suppose, comme il est en pareil cas naturel de le faire, que le second facteur de ce produit soit positif (l'Oi/- n° 182, VIII), il faudra que le premier ait pour valeur + i .

184. Un cas très simple où les conditions de possibilité (n" 181)

sont identiquement satisfaites est celui où les fonctions a

se réduisent toutes à des constantes, ces constantes étant, naturellement, choisies de telle façon que la forme quadratique (3) soit décomposable en une somme algébrique de ai carrés indépendants. La solution la plus générale du système (i) est donnée, en pareil cas.

par les formules

U = «i.ri H- «2^2 -+-• • •-^- CLn^n "H ««-l-l- (33)

dans ces dernières,

désignent n constantes entièrement arbitraires, et

I «1, a2, . , ««, (ib)

^1, ^2, •••- gn

n( n -h i) 1 /i- constantes assujetties aux ^ relatians

( 37 ) «y «/.■ -H 6y 6/. + . . . -+- ^y gk = [^y, A ,

OÙ (y, k) désigne une combinaison de deux entiers, distincts ou non, pris dans la suite i, 2, .,., n.

Effectivement, les n- dérivées premières des fonctions w, t^, ..., pp, définies par (35), se réduisant respectivement aux constantes (36), il résulte des relations (3y) que les fonctions dont il s'agit vérifient identiquement le système (i).

Réciproquement, on peut, moyennant un choix convenable des constantes figurant dans les formules (35), faire en sorte que les fonctions dont il s'agit coïncident avec des intégrales particulières assignées d'avance : car leurs n'^ dérivées premières peuvent, en vertu de (3^), prendre toutes valeurs numériques vérifiant le système (i), et, cela étant, les formules (35) permettent de déterminer ^n+ii ^/2+<7 • • •) S'n+i de telle sorte que, pour des valeurs numériques données de Xt, x^^ • . ., .x'«, les fonctions w, (% . . ., w prennent ellesmêmes des valeurs numériques données.

Si l'on se place dans le monde des quantités réelles, on doit supposer que la forme quadratique (3) est la somme (proprement dite) des carrés de n formes linéaires indépendantes à coefficients réels, et Ton ne doit attribuer aux constantes des formules (35) que des valeurs réelles.

43o CHAPITRE XI.

Lorsque les n fonctions {^.|,ii [^2,27 • • ^ "^n.n se réduisent à l'unité, et toutes les autres fonctions [7. à zéro, les relations (3;) sont celles qu'on obtient en exprimant que le déterminant des quantités (36) est orthogonal; les solutions réelles s'obtiendront en donnant aux constantes des valeurs réelles.

Étude du système formé par les conditions de possibilité.

185. Les — fonctions données, ay^yi, des variables^, , ^27 •• ,

Xn devant vérifier identiquement, comme nous l'avons vu plus haut

(n° 181), les — — ^ conditions de possibilité, un point intéressant

consiste à rechercher quels sont, dans le choix de ces fonctions, les éléments dont on peut disposer arbitrairement. Pour résoudre cette question, nous considérerons, dans les conditions de possibilité,

les lonctions dont il s agit comme des inconnues, et nous

mettrons le système différentiel résultant sous une forme orthonome complètement intégrable : comme nous allons le voir, il suffit ici, pour j parvenir, d'une résolution des plus simples. Cela fait, il ne restera plus qu'à fixer, dans la forme ainsi obtenue, l'économie des conditions initiales.