II. Les ^ équations déduites du système (i) par toutes les

différentiations premières possibles, et qui sont linéaires par rapport

aux — ^-; — -^ dérivées secondes de w, t^, . . ., tv, peuvent, pour toute

solution numérique du système ( i ), être résolues par rapport à ces

dérivées secondes.

Nous allons voir, en effet, que de ces ■ équations on peut

déduire, par des combinaisons fort simples :

i" Un groupe de n équations ayant respectivement pour premiers membres

avec des seconds membres ne dépendant que de ^i , ^2, - - ", ^n]

2" Un groupe de n équations ayant respectivement pour premiers membres

V ^ c^'^M yr^ du d^u ^ du d'^u

^ OX'x OXj ÔXk ' ^ fVa-2 dXj (iXk ' * ' ' ^ 'dÔTn dx j ÔXk

ij^k)^ avec des seconds membres ne dépendant non plus que de X'^ , x-2,f • • • î X u.

Chacun de ces deux groupes sera manifestement résoluble par rapport aux n dérivées secondes qu'il contient, puisque, dans chacun

4o6 CHAPITRE XI.

d'eux, les coefficients de ces n dérivées sont les éléments du déterminant (2) : de cette remarque, on déduira sans peine la possibilité de résoudre par rapport aux dérivées secondes le sjstème spécifié cidessus, et son équivalence numérique avec l'ensemble des divers groupes (4) et (5) (<).

A. Formation du pi emier groupe de n équations.

Diflerentiant par rapport à Xi l'équation du système (i) qui a pour premier membre

nous obtiendrons l'équation

Désignant par q un entier quelconque pris dans la suite i , 2, . . . , a^, mais différent de /, nous différenlierons par rapport à xi l'équation qui a pour premier membre

du du

'^ (lu ou

Jmd dXi dX(f

puis par rapport à x^ l'équation qui a pour premier membre

nous obtiendrons ainsi les deux équations

-^ du d^u ^ du d^-u <^[^/,r/

^ dX(j dxf Amà dxi dxi dx^^ ~ dxt '

■^ du d~u I d^x-ij

jLà dxi dxi dx,i 1 dX(f

et, en retranchant ces dernières membre à membre, il viendra

(7) ^ du dUi ^ dix/,, __ £ dixij ^

^d dx,f dxf dxi x dx,f

(') Si, dans les deux systèmes en question, on remplace pour un instant par zéro les valeurs numériques des seconds membres sans touclier à celles des coefficients des premiers membres, on aperçoit aisément, en se reportant au Chapitre VIU ( n°» 127 et 129), la possibilité de résoudre le premier par rapport aux dérivées secondes de u, v, ..., w. Cela étant;, et les seconds membres ayant de nouveau leurs véritables valeurs, la simple application du n° 131 suffit à établir l'équivalence numérique des deux systèmes.

On voit alors, en considérant (6) et (7), que nous avons un groupe de n équations ayant pour premiers membres respectifs les sommes (4), avec des seconds membres ne dépendant que de x^^

X '2 1 • • • 5 '^ Il '

B. Formation du deuxième groupe de n équations.

Supposant j ^k., et différentiant par rapport à Xh l'équation du système ( i ) qui a pour premier membre

puis par rapport à Xj celle qui a pour premier membre

àxk

I àl^-jJ

nous obtiendrons les deux équations

ht d'^ u I (^{JL/i-,A-

âx/,- âxj âx/,- 1 dxj

Désignant par q un entier quelconque pris dans la suite i , 2, . . . . , /i, mais différent de j et de A", nous différentierons par rapport à x^ l'équation qui a pour premier membre

"^ du

du du

i àXr

puis par rapport à Xj celle qui a pour premier membre

■^ du du Àmi dXk dXq

enfin par rapport à x,^ celle qui a pour premier membre

"^ du du

^ dxj dxk '

nous aurons ainsi les trois équations

"it^ Ou d"^ u ^ du d- u dixj^ff

Atà dx,/ OXj oxii ^d dXj dx'k dXq dx^ du d'^ u 1^ du (^2 II d\Xk^,f

"^ ou o^u y^ ou 0'

JmU OXq dXj dXii Jmà dx k dx j

^ du d^ u ^ du d^ u

^id dXj OXk OXq ^md dxk Oxj dXq

chapithp: XI.

du à- u

{àV-J.1 ,

dXff ôxj ôx/,-

\ôx, '

ÔXj

àXq

Multipliant ces trois dernières équations respectivement par i , i , et ajoutant membre à membre, il viendra

On voit alors, en considérant (8), (9) et (10), que nous avons un groupe de n équations ayant pour premiers membres respectifs les sommes (5), avec des seconds membres ne dépendant que de a:,, .a?2 7 • • • j "^11'

III. Supposons qu'à partir d'une solution numérique quelconque

dérivées

du système (i), on ait résolu ce dernier par rapport à

premières choisies de telle façon que, moyennant un ordre convenable adopté pour les lignes et pour les colonnes, les cases pleines et vides de son Tableau présentent la disposition indiquée dans l'alinéa 1; soient, pour fixer les idées.

les ordres dans lesquels doivent se succéder respectivement les lignes et les colonnes du Tableau pour qu'il en soit ainsi : le système (i) se trouve alors résolu par rapport aux n dérivées premières de «, aux n — I dérivées premières de i^ intéressant jc, , ^o, -«o Xn-\i etc., enfin à la dérivée première de w intéressant x^ (* ). Si nous nommons R, le système ainsi résolu, la première colonne, (m), du Tableau de R, ne contient, d'après cela, aucune case vide ; la deuxième

(') En supposant, par exemple, n = 3, on aurait le Tableau

dx\ ~

di^ dx, •••

<JXi ^

dx..

di>

dx^ ~ ■ • •

colonne, (v), contient une seule case vide, la dernière, correspondant à la variable :r« ; la troisième colonne contient deux cases vides, les deux dernières, correspondant aux deux variables x,i i^ Xn\ etc.; enfin la /i''"'"*' colonne, (tr), contient n — i cases vides, les /z — i dernières, correspondant aux variables ^Co, . . . , -t'//i, Xn.

, -, 1 n'^( n -^ i) Supposons maintenant qu on ait résolu par rapport aux

dérivées secondes de w, t^, . . . , (v les équations déduites

de (i) par toutes les difFérentiations premières possibles, et, parmi ces formules de résolution, considérons celles qui ont pour premiers membres :

La dérivée seconde relative à x,i de la deuxième inconnue, v; Les trois dérivées secondes relatives à .r,<, et Xu de l'inconnue suivante; Etc. ;

Les dérivées secondes relatives à x^^ ..., x,t i, x,, de la

pleine inconnuc w.

Ayons soin seulement de remplacer, dans les seconds membres

de ces

nin — 1)

équations du second ordre, les diverses dérivées premières qui servent de premiers membres à R, par leurs valeurs tirées de R,, et

nommons R^ le système résultant. Dans le système (R,, R2) com-

, , nin-\-\) , • 1 .1 1 ■) n{n—\) pose de ^ équations du premier ordre, et de 14-0 + ... H ;

équations du second ordre , les seules dérivées paramétriques des

inconnues sont les — - dérivées premières correspondant aux

cases vides du Tableau de R,, et les seconds membres ne contiennent aucune dérivée principale. Le système (R, R2) e^^ d'ailleurs orthonome (u" JOi) : si l'on attribue en elï'et aux variables indépendantes des cotes premières égales à 1 , et aux inconnues des cotes premières égales à zéro, le groupe R2 satisfait manifestement à la définition de l'orthonomie, puisque la cote première de chaque premier membre y est égale à 2, et celle de chaque second membre

4lO CHAPITRE XI.

égale à i ; quant au groupe R,, Ja cote première de chaque premier membre y est égale à i, ainsi que celle de chaque second membre, mais il résulte alors de la disposition régulière des cases pleines et vides de son Tableau que, moyennant l'attribution aux variables et aux inconnues de cotes secondes convenablement choisies, il satisfait, lui aussi, à la définition de l'orthonomie (n" 161, 1).

IV. Dans le système (R,, R2), défini à l'alinéa précédent, nous avons attribué à chaque variable indépendante une cote première égale à 1 , et à chaque inconnue une cote première égale à zéro : il en résulte que la cote première de toute dérivée se trouve être égale à son ordre même.

D'autre part, les seules dérivées paramétriques des inconnues sont,

comme nous 1 avons dit, les dérivées premières correspondant aux cases vides du Tableau de R, : si donc on fixe, dans le système (R<, R2), l'économie des conditions initiales (n" 90), on en

trouve ayant pour premiers membres respectifs les n fonc-

tions inconnues et les dérivées premières dont il s agit, et

pour seconds membres de simples constantes arbitraires. L'ordre maximum de ces premiers membres se trouve ainsi être égal à i .

En conséquence, il suffira, pour appliquer la règle de passivité du n" 163, de considérer, dans le système (R^, R2) prolongé (n" 99), les équations dont l'ordre ne dépasse pas 3, et d'éliminer entre elles les dérivées principales des trois premiers ordres : si donc on nomme R^, R', les groupes déduits de R, par toutes les difî'érentiations possibles du premier et du second ordre respectivement, et R!, le groupe déduit de R2 par toutes les difî*érentiations premières possibles, l'élimination dont il s'agit devra être effectuée entre les équations

(11; (Ri; r;, R2; r;, R'2).

Observons maintenant que, dans tout système considéré au point de vue des solutions numériques, l'élimination d'un groupe quelconque de quantités, effectuée conformément au principe général des fonctions implicites, fournit les relations auxquelles doivent satisfaire les quantités restantes pour figurer dans quelque solution numérique du proposé : si donc deux systèmes s'équivalent numériquement, Téli-

APPLICATIONS DKS ÏHKORIES PRÉCÉDENTES. 4ll

mination d'un tnême groupe de quantités, effectuée successivement dans l'un et dans Tautre, conduit à deux systèmes qui, eux aussi, s'équivalent numériquement.

En conséquence, on peut, pour éliminer du système (i i) les dérivées principales qui y fi^^^urent, lui substituer un système numériquement équivalent, et, notamment, l'un ou l'autre des deux dont nous allons parler.

179. En premier lieu, si Ton nomme Si le système (i), et S ^ , S'[ les groupes déduits de S, par toutes les différentiations possibles'du premier et du second ordre respectivement, /e système (i i) équivaut numériquement à

Effectivement, le système R, est en corrélation multiplicatoire avec S,, parce qu'il s'en déduit à l'aide d'une résolution (effectuée conformément au principe général des fonctions implicites, n'' 120), et il en résulte (n" 143) que les deux systèmes (R,, R',), (S,, S',) sont euxmêmes en corrélation multiplicatoire. Le système (Ri, R'^) est d'ailleurs en corrélation multiplicatoire avec (R,, R', , R2), car : i" il en est évidemment une combinaison multiplicatoire, puisqu'il en fait partie; 2" les relations Ro appartenant, d'après leur définition même, à un groupe déduit de (S,, S'^ ) par résolution, sont des combinaisons multiplicatoires de (S,, S',), par suite, de (R,, R', ), d'où résulte que (R,, R', , R2) est une combinaison multiplicatoire de (R,, R'^ ). Gela étant, les deux systèmes

(Bi, r;,R2), (S,, s'i),

en corrélation multiplicatoire avec un même troisième, (R^, R'^ ), jouissent, l'un par rapport à l'autre, de cette même propriété, d'où résulte (n" 143) que les systèmes

(R,, R'., R2, R';, W,), (Si, S',, S'i)

en jouissent également.

En .}::;:^:id lieu, si l'on désigne par Ta le groupe des - — ; ^équations du second ordre formées à l'alinéa II du numéro précédent [celles qui ont pour premiers membres les diverses sommes analogue-

4 1*2 CHAPITRK XI.

à (4) et (5)], et par T', le groupe déduit de To à l'aide de toutes les ditVérentiations premières possibles, le système [xà) équivaut numériquement à

Effectivemenl, la corrélation multiplicatoire des systèmes S'^ et Ta entraîne celle des systèmes

(S„S',) et (S„T2), puis celle des systèmes

(S,,S'i,S';) et (Si, S',,T2, T'2),

puis enfin celle des systèmes

(S„S',,T2, T'2) et (S„T2, T',),

et les deux dernières corrélations entraînent à leur tour celle des systèmes

(s„s;,s';) et (s„T2, r,).

Pour former les conditions de passivité du système orthonome (R,, R2), on peut donc prendre indifféremment l'un ou l'autre des deux systèmes (12), (i3), et effectuer, entre les relations qui composent ce système, l'élimination des dérivées principales des trois premiers ordres [de (R,, Ra)]-

En effectuant cette élimination dans le système (12), où les groupes S,, S',, S"^ se composent d'équations en nombres respectivement égaux à

niAZ + i) /i'-(/z-4-i) n^in~n\)- •>. •>. 4

tandis que les dérivées principales des ordres i, 2, 3 [de(Rj,R2)] sont en nombres respectivement égaux à

on obtiendra des conditions en nombre manifestement égal à

/in Al --^1)2 fi'^(n ^'[)i fi ^-i) n'^(n-^—\)

i . ou

Pour effectuer pratiquement le calcul, nous considérerons le sys-

tème (i3) ou (S), To, T'^); dans ce système, les équations T2 se partaient, comme nous l'avons vu, en groupes de n équations, chacun de ces groupes ayant pour premiers membres n sommes analogues aux sommes (4) <^ii (^)j ^^^^ étant, nous partagerons de même les équations T!, en groupes de n équations, chacun de ces groupes ayant pour premiers membres n sommes déduites de (4) ou de (5) par une même difrérentiation première. Et, de même que chacun des groupes de To est résoluble par rapport à n dérivées semblables du second ordre appartenant respectivement aux n fonctions inconnues u^ v^ ..., iv [puisque les dérivées semblables dont il s'agit y ont po,ur coefficients les éléments du déterminant (2)], de même chacun des groupes de T!, le sera par rapport à n dérivées semblables du troisième ordre. En elFectuant une pareille résolution, chaque groupe de dérivées semblables du troisième ordre se trouvera exprimé à l'aide des dérivées premières et secondes de w, r, . . . , w et des variables indépendantes, et il va sans dire que tel ou tel groupe de dérivées troisièmes pourra se trouver fourni plusieurs fois par divers groupes d'équations provenant de T!, : l'élimination, entre ces derniers groupes, des dérivées (troisièmes) semblables qui y figurent, nous fournira des relations d'où il faudra éliminer finalement les dérivées principales du premier et du second ordre. En considérant successivement les divers groupes de dérivées troisièmes qui admettent plusieurs expressions, et en effectuant, relativement à chacun d'eux, le calcul qui

vient d'être indiqué, on obtient, comme nous allons le voir, —

relations, qui sont les conditions de passivité cherchées.

180. Calcul des conditions de passivité du système orthono nie (R,, R2).

1. Désignant par y et k deux entiers distincts pris dans la suite I, 2, ..., Ai, considérons les deux équations suivantes, formées à l'alinéa II du n" 178 :

^ da ù'''U d\Xjj. I ù\i.j^j ^Oxk ùx) ~~ àxj 1 dxi,

du 0'^ u I ôixkj.

yfç. Ou t>2

Jmd OXu dXj

dxf^ 1 ôXj Difi'érenliant la première par rapport à Xh et la seconde par rapport

4l4 CHAPITRE XI.

'^ du â^u ^d^u ()-u à-yi/j^- i d'^ix/^j

^ àxk dx'j dx/, ^ dxl âx] ~ àxj dx/, i dxl

^ àx^- âxj âx,- "^^ [dxj OxJ ~ 2 dx) ' de ces deux dernières, on déduit par soustraction

Chaque combinaison de deux entiers distincts pris dans la suite i, 2, ..., Al fournit ainsi une relation : on obtient donc un premier

groupe, compose de équations, ou ne hgureront plus les

dérivées troisièmes de u, i^, . . ., ^v.

Désignant par «, y, k trois entiers distincts pris dans la suite 1, 2, ..., /i, considérons les deux équations suivantes, formées à l'alinéa II du n" 178 :

du d^

ii = 1 (^}!±L -^ ^^^ '' ^!^V

dxi dxj dx/c 1 \ dx/, Oxj dxi

du d- u I d\x.i

y^ ou Ô'

Amà dXi dXi

dxk 2 dxk

DifFérentiant la première par rapport à xi et la seconde par rapport à Xj^ il vient

'^ du d^u ^ d~ u d^-u i / d~ ixjj d^ [Xf^i d'^ ixij,\

Aak dXi dxi dxj dx/,- j^ dxJ (^Xj dXk 2 \ dxi dxk dxt OXj oxj /

•^ du d'^u "^ d'-u d-u i d-\}.ij

^d dxi dXi dx j dXk j^ dxi dxj dxi dx^ 1 dx j dx//

de ces dernières, on déduit par soustraction

^ fd'^u d^-u d^-u d-^u \

^ \ dx] dXj dxk dXi dxj dxi dxk )

2 \ dXi dXk dxi dxj dx'j dx j dxk )

En permutant, dans la relation (i5), i avec y, puis avec /r, il vient

\dxj dXidXk dXjdXi dxjdxii

1 \ dxj dXk dxj dxi dx) dXi dx/, J

APPLICATIONS DES THÉORIES PRECEDENTES. 4l5

()- Il â^- Il

dxi^ ôxj âxk àxi 1 \ âr/, âxi ôx/c dxj àx'i àx

j àXi ) '

Chaque combinaison de trois entiers distincts pris dans la suite i, 2 n fournit ainsi trois relations : on obtient donc un second

groupe, compose de ; équations, ou ne figurent plus

les dérivées troisièmes de w, v^ . . ., w.

Désignant enfin par «, y , k, i quatre entiers distincts pris dans la suite 1,2, ..., n, considérons les deux équations suivantes, formées à l'alinéa II du n" 178 :

ÂêÀ OXi ÔXk dXi •! \ ÔXi ÔXk ÔXi 1 '

au à- IL I /d\i.jj à\x/i d\j.fj\

Oxi 2 \ ôxi ôXj àxi I

■^ du, fP

Z^ ÔXi <Jf'j

Ditîérentiant la première par rapport à Xj^ et la seconde par rapport à Xif, il vient

^ àu^ à^u ^ ù'-u fPa i / ô^ix/c.i , à-ix/j â^ ix/,j \

Jmd dXi ÔXj ÔXii ÔX( ^ ÔXi ^^y ^^A' C^/ ~ 2 \ÔX j ÔX / "^ ÔXj ÔX^ ÔX , ÔXi) ''

^ OU ô^u ^ â-u ô'U 1 / ô^ix/j à^l>'/.i '^'■^l^././\.

^ ÔXi ÔXj ôx/^ ôxi ^ ÔXi ÔX/,- dXj dxi ~ •?. \ôxj, ôxi ôxk àxj dr/,. ôxi)^

de ces dernières, on déduit par soustraction

^d \ ÔXi àXj ÔXu ÔXi ÔXi (^^k '^Xj ôxi )

\ / Ô- [X/,.^; ^^V-jJ à-\Xij ^^-IJ-/

'1 \ ÔXj ÔXi ôXk Oxi ÔXi '^Xj àxii ôx/ d'où, en permutant i et y,

jLd \ ÔXi ÔXj ÔXlc ÔXi Ô39j ÔX/c àXi ÔXi /

\ ( ô'^ix/.j (y-\Xi,/ 0'-]x,,j 0-^iXi,i

1 \ dxi ôxi ôxk ÔXj ÔXi ^x j ^^^k ^^/

Chaque combinaison de quatre entiers distincts pris dans la suite 1,2, ..., n fournit ainsi deux relations : on obtient donc un troi-

4iti

, , ni n —\)(n — i)in --'^) , sieme groupe, compose de — — ^ — équations, ou ne

figurent plus les dérivées troisièmes de w, c, . . ., w.

Si maintenant on réunit les équations des trois groupes, on obtient un nombre d'éqviations égal à

n{n — i) ni n — \) [n — 'j.) ni n — i) {n — ■2)(/i — 3)

, ,. , n-in^—i) c est-a-dire a •

Il reste à éliminer de ces équations les dérivées secondes de a, t", . . ., (V, toutes principales dans (R|, R2), et les dérivées principales premières.

II. Nous établirons à cet effet les deux lemmes suivants. A. Si, en formant le carré du déterminant différentiel

âv

dx.

dXy

dx.

ôw

àxt

dx^

OXn

dXn

O'n tient compte des équations {\), on tombe sur l'expression

1^2, « lJ-n,n

(Nous avons posé plus baut la convention [jiy >^= 'i^f<J-)

On obtient immédiatement ce résultat en formant le carré de D par la règle de multiplication des déterminants.

B. Désignons par

les coefficients respectifs des éléments

uu dv

dxi dxi

dw dxi

dans le déterminant D, pary, k deux entiers, distincts ou non, pris dans la suite 1,2, . . ., /i, et par My^y^ le coefficient de l'élément \kj^h dans le déterminant (20). Gela étant, si, en formant la somme des produits

UyU/,+ VyV/.+...+ WyW,.,

on tient compte des équations (i), on tombe identiquement sur My,A.

Effectivement, si, dans la suite

on désigne par s la fonction inconnue de rang />, Sy est le produit de ( — \)P'^J par la déterminant d'ordre n — i qu'on déduit de D en y supprimant la colonne de rang p et la ligne de rang y, et, de même, Sa est le produit de ( — \)P'^^ par le déterminant d'ordre n — i qu'on déduit de D en y supprimant la colonne de rang p et la ligne de rang A". Si donc on applique à la formation du produit SyS^ la règle de multiplication des déterminants, on tombera sur un déterminant d'ordre n — i dont les éléments s'obtiendront en considérant les premiers membres de certaines des équations (i) et en y supprimant les produits de dérivées de la fonction s. Parmi les équations (i), celles dont on a, comme il vient d'être dit, à considérer les premiers membres, sont celles qui ont pour seconds membres

Pl,A-l,

P-l,A--i-lj ?

fAy-l,A+i,

On a donc, pour SySy^, en tenant compte des équations (i).