Les fonctions inconnues a ont chacune — - déri
vées secondes, ce qui fait en tout dérivées secondes : il
nous sera commode, pour l'étude que nous nous proposons actuellement, d'opérer entre ces dérivées secondes la répartition suivante, fondée sur la considération des indices dont se trouvent affectées, dans chacune d'elles, la fonction ^ d'où elle provient, et les deux variables de dilTérentiation. Quatre cas sont évidemment à considérer, suivant que, parmi ces quatre indices, un, deux, trois, ou tous les quatre sont distincts entre eux.
1" Les quatre indices sont égaux entre eux.
A un entier i, pris dans la suite i , 2, . . ., /?, correspond une seule
dérivée seconde de cette espèce, ^'' : cette dérivée ne figure pas dans les conditions de possibilité.
2" Deux des quatre indices sont distincts entre eux. A une combinaison, {j\ A), de deux entiers distincts pris dans la suite I, 2, ..., /2, correspondent sept dérivées secondes de cette
espèce.
â'-lX,j â'^lXA-.A- ^^a,^yr-
dxj dxj dx/^
dxj dxk dx/^ dXj dxj dxj,
les trois premières figurent seules dans l'équation (26) du n" 180, sans figurer ailleurs, et aucune des quatre dernières ne figure dans les conditions de possibilité.
S'* Trois des quatre indices sont distincts entre eux.
A. une combinaison, (i-,j\ k), de trois entiers distincts pris dans la suite i, 2, ..., /i, correspondent douze dérivées secondes de cette espèce,
dxj dxu '
dxi dxi,
dXi dxj
dxf-
dx) '
dXi dxj '
dxi dXk ' dXj
dx/ dXj
dXk ' dxk dXi '
dxi, dXj
ces douze dérivées figurent seules dans le groupe (27) du n" 180, sans figurer ailleurs.
4" Les quatre indices sont distincts entre eux.
A une combinaison, (i^ j\ k, l), de quatre entiers distincts pris dans la suite 1,2, . . ., /i, correspondent six dérivées de cette espèce,
d^lJ.,J d^ix,,j
dx/^ dxi '
d-\};\lc
dxj dxi '
<f'^\^ij
dXi dXj dxi dxk
dxj OXk dxi dxi
ces six dérivées figurent seules dans le groupe (28) du n" i80, sans figurer ailleurs.
Cela posé, nous résoudrons comme il suit les trois groupes (2G),
f(2^), (28), dont il vient d'être question.
43'Jt CHAPITRE XI.
S'il s'agit de (26), nous résoudrons par rapport à '; ' ou par port a g y suivant que y est intérieur ou supérieur a k. S'il s'agit de (27), nous résoudrons par rapport à
Supposant, enfin, qu'il s'agisse de (28), nous observerons, en premier lieu, que, les quatre entiers /, y, /r, / étant donnés et distincts, les deux indices qui, dans chaque dérivée seconde, affectent la fonction u., indiquent, non seulement à quelle fonction cette dérivée appartient, mais encore quelles sont les deux variables de différentiation, en sorte que ce dernier groupe, (28), peut s'écrire, sans ambiguïté, sous la forme abrégée
Nous observerons, en second lieu, que si, parmi les six parenthèses figurant dans les trois expressions ci-dessus, on considère les trois parenthèses oii figure un même entier, / par exemple, ces trois parenthèses,
figurent respectivement dans les trois expressions. Nous observerons enfin que les sommes
qui correspondent respectivement à ces trois parenthèses, sont nécessairement inégales entre elles. Gela étant, nous considérerons, parmi les six parenthèses, les trois où figure le plus grand des quatre entiers i, y. A", /, puis, parmi ces trois dernières, les deux auxquelles correspondent les plus grandes sommes; et nous résoudrons finalement les équations (i) [c'est-à-dire les équations (28) du n" 180] par rapport aux deux parenthèses dont il s'agit. Si, pour fixer les idées,
on a
ces deux parenthèses seront (y, /), (A, /), et les équations (i) devront être mises sous la forme
D'après ce que nous avons dit il j a un instant sur les divers groupes de dérivées secondes, il est clair que le système des conditions de possibilité, ainsi résolu, ne contient dans ses seconds membres aucune dérivée principale. Le système est, de plus, orthonome : car, ainsi qu'on le voit sans peine, chacune de ses relations eslnormale (n" 107) si l'on attribue aux variables indépendantes et aux inconnues les cotes suivantes :
Cotes premières.
Cotes secondes.
Cotes troisièmes
Cotes quatrièmes. .
Le plus grand des deux entiers y, k
Dans le 'cas où n est égal à 2, ce système orthonome est évidem-
ment yoa^^i/.- car on a alors
nHn-^— 0
= I , et le système se compose
d'une équation unique.
Dans le cas où n est plus grand que 2, la passivité a encore lieu, comme nous allons le voir : pour l'établir, nous aurons recours à la règle du n" 163, et, en conséquence, nous nous occuperons tout d'abord d'évaluer, dans les conditions initiales convenablement écrites, la cote première maxima des premiers membres.
187. Supposons que, dans une fonction schématique des deux groupes de variables
X, y, .,., z et 5, ...,
on effectue, conformément à la méthode du Chapitre V, une coupure à l'aide d'un ensemble, E, comprenant :
i" Les produits deux à deux des différences
oc — xq, y — yo, ..., z — zq-,
2" Les produits obtenus en multipliant V une quelconque de
ces dernières par Viitie quelconque des différences
s — 5o, ... ; Je dis que le résultat d^ une pareille opération est
(2) (^-;ro)G(ar) + (j^-7o)H(jK)+...-l-(^-^o)P(^)-i-F(5, ...),
oïL G(^), H(y), ..., P(-3), F(5, ...) désignent des fonctions schématiques.
1. La proposition est vraie si le nombre des variables du premier groupe se réduit à i .
Supposons, en effet, que le premier groupe se réduise à la seule variable ^, auquel cas l'ensemble E s'obtient en multipliant par :; — Zq chacune des différences s — 5„, .... En appliquant la méthode du Chapitre V, on voit que le résidu de la coupure est de la forme
To(5, ...)-T- (z — ;3o) T(2, s, ...);
que l'expression T^, (5, . . . ) s'obtient en ne pratiquant aucune coupure dans une fonction schématique des seules variables 5, ..., et, par suite, est identique à une semblable fonction; enhn, que l'expression T(:;, 5, . . .) s'obtient en pratiquant la coupure
dans une fonction schématique de toutes les variables 5, s. ..., et, par suite, se réduit à une fonction schématique de z. Il vient donc, conformément à notre énoncé,
où F (5, . . .)? f*(^) désignent deux fonctions schématiques.
II. Si la proposition est vraie dans le cas où le premier groupe de variables en contient />, elle Vest encore dans le cas ou il en contient p -+- i .
Soient x^ y, . . ., z les /> -4- i variables du premier groupe; .?,... celles du second; E^ l'ensemble partiel formé par les monômes de E où ne figure pas la différence x — Xq\ E' l'ensemble partiel formé
par les monômes de E où elle figure. D'après la définition de E, l'ensemble E^ comprend : i° les produits deux à deux des différences
2° les produits qu'on obtient en multipliant l'une quelconque de ces dernières par l'une quelconque des différences
Et l'ensemble E^ comprend les produits de x — -Xq par chacune des différences
JK— 7o, •.., -s — So, 5 — So,
Cela étant, si l'on nomme e^ l'ensemble déduit de E^ par la suppression du facteur x — Xq, qu'on pose, pour raison de symétrie, e*^ = E^, et qu'on mette le résidu de la coupure sous la forme
l'expression To(y, . . ., 3, 5, . . .) s'obtiendra, comme on sait, en pratiquant dans une fonction schématique des seules variables y, . . ., z, 5, ... la coupure e^, et l'expression T(x,y^ ...,5, 5, ...) en pratiquant dans une fonction schématique de toutes les variables x^ y^ ..., 3, 5, ... la coupure (e^, e^ ). Or, d'après ce qui est admis pour />, le résidu de la première coupure est
OÙ H(jk), "•-, P{^)^ F (.9, ...) désignent des fonctions schématiques; d'autre part, l'ensemble (e^, e'), si on le rend irréductible, se réduit manifestement à e', c'est-à-dire à l'ensemble des différences
y—yo, ..., z — zo, s — so, ...,
et, par suite, T(.r, y, . . ., -s, 5, . . .) à une simple fonction schématique de X. En désignant par G(x) une pareille fonction, on tombe finalement sur l'expression (2).
[II. Le simple rapprochement de I et II prouve l'exactitude de notre énoncé général.
