On déduit de là la conséquence particulière suivante
Si, dans une fonction schématique des n variables ^, y, . . . ,
z, 5-, on pratique, conformément à la méthode du Chapitre V, une coupure à l'aide d'un ensemble, E, comprenant les divers produits deux à deux des différences
^ — •^0, JK— JKo, •.., -s— -So, -s — *o, on tombe sur l'expression
{x-Xo)G(x)-\-(y — y,)U(y)^...^(z - Zo) P(z) ^ F (s),
ail G{x), H(y), ..., P(^), F(5) désignent n fonctions schématiques.
Partageons, en effet, les n variables en deux groupes comprenant respectivement les n — i premières d'entre elles, et la dernière; l'ensemble donné E pourra alors être considéré comme comprenant :
i" Les produits deux à deux des n — i différences
x — xo, y—yo, . •., z — zo;
2" Les produits qu'on obtient en multipliant l'une quelconque de ces dernières par s — Sç^.
Cela étant, il suffît de se reporter à l'énoncé du numéro précédent.
189. Supposons que, dans une fonction schématique des deux groupes de variables
X, y, ..., z et 5, ..., f, M,
on effectue, conformément à la méthode du Chapitre V, une coupure à l'aide d'un ensemble, E, comprenant :
i" Les produits deux à deux des différences
X a^o, y — yQ, ..., z — Zo, s — 5o, ..., t — ^o, u — U(,\ 2" Les carrés des différences
X — xo, y—yo, ..., z — zo.
Je dis que le résultat de l'opération est
(3) A(x - Xo) -^ B(y —y,) -^ . . .-i- C{z - zo)
^{s — So)F{s)-h...-h{t-to)H{t)-^P{u).
OÙ A, B, ..., Cx désignent des constantes schématiques, et F (5), ..., H(^), P(w) des fonctions schématiques.
I. La proposition est vraie si le nombre des variables du premier groupe est égal à i.
Supposons, en effet, que le premier groupe ^, JK, ..., ^ se réduise à la seule variable 2, auquel cas l'ensemble E comprend les produits deux à deux des différences
Z — ^0, s — ^0, • . . , t ^Oî ^ U{)i '
et le carré de la différence z — Zq. Si l'on nomme alors E<^ l'ensemble partiel que forment les produits deux à deux des différences autres que z — 2^0, E' l'ensemble partiel que forment les produits de ces mêmes différences par z — Zq^ e^ l'ensemble déduit de E' par la suppression du facteur z — Sq, et qu'on pose, pour raison de symétrie, e^=z E*^, il résulte des considérations exposées au Chapitre V que le résidu est de la forme
To(s, . . ., ^, a) -h (>s — Zq) Ti(5, . ..., t, u),
où les expressions To et T, s'obtiennent en pratiquant, dans une fonction schématique des seules variables 5, ..., t, w, les coupures respectives e^ et (e^^e^). Or, en vertu du numéro précédent, le résidu de la première coupure est
(s — so) F (s) -h-. . .-^ {t - to) [i{t) -h P(u),
OÙ F(5), ..., H(^), P{u) désignent des fonctions schématiques; d'autre part, l'ensemble («?o, ^'), si on le rend irréductible, se réduit manifestement à «?*, c'est-à-dire à l'ensemble des différences
et, par suite, T, à une simple constante schématique G. Il vient donc bien, conformément à notre énoncé,
C(z — zo) -h (s — s„) F(s) ^. . .-h {t — to) m t) -h P(a).
II. Si la proposition est vraie dans le cas où le premier groupe de variables en contient p, elle Vesl encore dans le cas où il en contient p -h 1.
Soient ^, j% ..., z, les p -\- i variables du premier groupe, 5, ..., t, H celles du second ; E<^ l'ensemble partiel formé par les monômes de E où ne ligure pas la diÛerence x — ^r^ ; £' l'ensemble partiel formé par les monômes de E où elle figure au premier degré. D'après la définition de E, l'ensemble E" comprend : 1° les produits deux à deux des différences
J'— jKo, •.-, z — Zq, s — So, ..., t — ^0, u—Uj-,
2" les carrés des différences
y—yo, ••., - — -0.
El l'ensemble E^ comprend les produits de x' — Xq par chacune des différences
r — JKo, • • . , ^ — -So, S — Sq., . . . , t — to, Il — Uq.
Cela étant, si l'on nomme e' l'ensemble déduit de E^ par la suppression du facteur x — Xq^ et qu'on pose pour raison de symétrie go __ £0^ il résulte des cansidérations exposées au Chapitre V que ce résidu est de la forme
To(jK, ...,z,s, ...,t,u)-h{x—Xo)Ti(y, . ..,z, .ç, ...,t, 11),
OÙ les expressions Tq et Ti s'obtiennent en pratiquant, dans une fonction schématique des seules variables y, ..., z, s, ..., t, w, les coupures respectives e^ et (e^, e'). Or, en vertu de ce qui est admis pour /?, le résidu de la première coupure est
B(r -ro)+-.-+Gu — .3o)
-+- (s — So)F(s)-h...^{t—to)U{t)^F(u),
où B, ..., C désignent des constantes schématiques, et F (5), ..., H(^), P(«) des fonctions schématiques; d'autre part, l'ensemble (e^, e'), si on le rend irréductible, se réduit manifestement à e* , c'est-à-dire à l'ensemble des différences
et, par suite, T, à une simple constante schématique A. On tombe donc bien, conformément à notre énoncé, sur l'expression (3).
III. Le simple rapprochement des alinéas I et II prouve l'exactitude générale de notre proposition.
190. Revenons maintenant, en supposant, comme de raison, /i >> 2 (n° 186), au système orthojiome (n*' 186) formé parles conditions de possibilité du système
■^ du du
défini au n" 177.
Les cotes premières des fonctions pi étant toutes égales à zéro, et celles des variables x toutes égales à i , la cote première d'une dérivée quelconque des a est égale à son ordre même. En se reportant, d'autre part, aux propositions des n''^ 187 et 189 et à l'alinéa I du n" 81, il il est facile de se convaincre que, si l'on fixe l'économie des conditions initiales du système (aux inconnues p.), les diverses circonstances énumérées au n" 135 s'y trouvent réalisées, et que l'ordre maximum de leurs premiers membres est égal à i .On a donc, dans le cas actuel, r= I, d'où F-f- 2 ^ 3 (n" 163), et il suffira, pour former les conditions de passivité, d'éliminer les dérivées principales du second et du troisième ordre entre les équations du système (aux inconnues ul) et celles qui s'en déduisent par différentiations premières. Ces conditions de passivité sont, comme nous allons le voir, identiquement vérifiées.
Pour effectuer notre démonstration, nous ne laisserons tout d'abord subsister, dans les diverses équations du système actuellement étudié, que la partie linéaire et homogène du second ordre, et nous commencerons par faire voir que le système résultant de cette suppression est passif.
191. Considérons donc, comme il vient d'être dit, le système orthonome comprenant :
i" Les équations
(4) tlhL^^'>2^L^,^JiL!L,
ÔXj ()xl OXj ÔXl,
où (y, k) désigne une combinaison quelconque de deux entiers distincts pris dans la suite 1,2, ^ n^ el k le plus grand des deux
entiers y, /r;
CHAPITRK XI.
Les
équations
i dxjùxu
âxi dx/, ' âxi ôxj
âx'j
dXj ùxk
ôXj dxi, ôXi âXj
dx-]
à- fX/.,>;
<^'-V-j.k ^'^\^iJ.
' âx/ àxj dXi ôj/. dXj dxk dx\
OÙ (/, y, A") désigne une combinaison quelconque de trois entiers distincts pris dans la suite i, 2, . . . ., /i ; 3" Les équations
dxu dxi dxi dXj dxj dx/ dx,- dxu àxj dxk àxt dxi
où («, /, k^ l) désigne une combinaison quelconque de quatre entiers distincts pris dans la suite 1, 2, ..., n\ ces équations (6) doivent être résolues de telle façon, d'abord, que les deux fonctions {jl figurant respectivement dans les deux premiers membres aient chacune un de leurs indices égal au plus grand des quatre entiers /, y, A", /, puis, cela étant, que leurs sommes d'indices aient les deux plus grandes valeurs possibles (n" 186). Si, pour fixer les idées, on a /<<y <;/:<< /, les équations (6) devront, d'après cela, s'écrire sous la forme
à'\xkj <)'ix,\/ ^-{^yy. f'^-l^'j
dXi dx j dXj dxj^ dxi dx/ dx/,- dxi
d'\xjj à-\Xij à-ixjj, d^l^i.
OXi àx/- dxj dxj- dxj dx/ dxj dx/
dans les premiers membres des formules de résolution, le plus petit des deux indices de |jl sera donc au moins égal à 2, et le plus grand au moins égal à 4-
11 s'agit d'établir que le système orthonome ci-dessus défini est passif : nous ferons voir, à cet eilet, que les diverses expressions ultimes (n'* 109) de chaque dérivée principale du troisième ordre sont identiquement égales entre elles.
