Le point à établir est exact lorsque n est égal à
La considération des cotes premières et secondes suffît, en pareil cas, à établir l'orthonomie du système, qui se compose des six équa-
lions suivantes :
«^Vl,!
à-li-1,'2
dx.2 dx-i
dxy dx-i dX)^ dXi
dx\
dx-\
' dxx dx-î dx'l
dxi âx.i
dx.2 dx.i ' dxi dx.2
dxl
^ dxi dx-i d.Tl
d'^\X..2^ji d'^\X\^:^
dxi àx-y
dxx dx.i dx^ dx^
dxl
à^lJ-3,^
àxl
'" dx-2 dx.i ^x'I
Ces six équations ont toutes une même cote première égale à 2, et nous les avons partagées en trois groupes successifs d'après leurs cotes secondes croissantes 1, 2, 3 (n" 186). Le premier groupe se compose, comme on voit, d'une équation unique ajant pour premier membre une dérivée de y-\,\ j 1^ second groupe, de deux équations ayant pour premiers membres des dérivées de [J.2,2; le troisième groupe, de trois équations ayant pour premiers membres des dérivées de ;ji3,3.
En exécutant sur les deux équations du second groupe les diverses différentiations propres à amener dans les premiers membres la dérivée
cardinale du troisième ordre , ' 'f^
dx\ dxz
dx\ dx3 d'ix,,.
dxi dxi dx^
il vient
dx'l ^^''i
dx'l ^^3 ^^1 ^^i ^^'i ^^i ^•^'"2 dx\dx\
Les seconds membres de ces deux relations ne contiennent d'autre
dérivée principale du troisième ordre que ^^'^ ; celle-ci n'admet
d'ailleurs qu'une seule expression ultime, obtenue en différentiant la première équation (7) par rapport à ^2- Kn effectuant cette différentiation, il vient
d^ (jLi,
dx\ dx:\ dxx Ox^ dx;y dxx dx\ dx'\ dx^
relation en vertu de laquelle les deux seconds membres de (8) deviennent identiques.
En exécutant maintenant sur le troisième groupe des équations (7) les diverses difFérentia lions propres à amener dans les premiers membres les dérivées cardinales du troisième ordre
il vient
Ox\ôx.i OXxOx\
dx\ ôx-2 Oxi dx=> ÔX3 âx.2 ôxl
ôx\ ôx<i dx\ âx^ dXi dxi ôx^ dx\ dx]
^^M-3,3 <^^M-2,3 '^■^[^i.s à^\^\.i dx\ dx\ âxi àx2 ^x^ àxj â.r-^ dx^ Oxl
ôxx ôx'l dx\ ôxi dx-i âxi âx'l
Les seconds membres de ces quatre relations ne contiennent d'autres dérivées principales que
0X2 àxl âxi ôx'l '
chacune de celles-ci n'admet d'ailleurs qu'une seule expression ultime, qui s'obtient en diiî'érentiant par rapport à x^ la première ou la troisième des équations (7); en effectuant ces dilFérentiations, il vient
âxzàx'l âxiâxl ôxiôx^Ox-i dx\Ox:i
d^\i-^,2 ^^1^1,2 (^^1^2.3 ^^ÎJ-1.3
dxx dx'l dx2àxl ôxy 6x2 àx-^ dx\ dx.^
relations en vertu desquelles les équations (10) ne fournissent, pour chacune des dérivées cardinales (9), qu'une seule expression ultime.
Ainsi, toute dérivée cardinale du troisième ordre n'admet qu'une seule expression ultime : en vertu d'un raisonnement général exposé au Chapitre VII (n" 111), il en est donc de même de toute dérivée principale du troisième ordre, et, dès lors, le système (7) est passif.
II. Nous avons, dans ce qui précède, étudié, pour n =. 3, le système
linéaire et homogène du second ordre défini au début du présent numéro.
Supposant actuellement /z>>3, mais quelconque, considérons Jes diverses équations obtenues en exécutant sur celles du système toutes les différentiations premières possibles. Dans ce système linéaire et homogène du troisième ordre, partageons les équations en groupes successifs d'après les cotes secondes croissantes de leurs premiers membres; dans le premier groupe, Gq, figureront exclusivement des dérivées (troisièmes) de fonctions [j. à indices inégaux; le second groupe, G, , aura pour premiers membres des dérivées (troisièmes) de |ji,j<; le suivant, G2, des dérivées (troisièmes) de (JLo^oJ etc.; enfin, le dernier, G^, des dérivées (troisièmes) de {J^n^n-
Considérant maintenant le premier groupe, Gq, qui s'obtient en différentiant les équations (6) résolues et les équations analogues, nous le partagerons en sous-groupes successifs d'après les cotes troisièmes croissantes de ses premiers membres; les premiers membres de ces sous-groiipes seront des dérivées (troisièmes) de fonctions [i. à indices r/isti?icts, et proviendront : pour le premier sous-groupe, des diverses fonctions où le plus grand des de^ux indices (inégaux) a la valeur 4 (à savoir jjio,', et JJ.3,', ); pour le sous-groupe suivant, des diverses fonctions où le plus grand des deux indices (inégaux) a la valeur 5; etc.; enfin, pour le dernier sous-groupe, des diverses fonctions où le plus grand des deux indices (inégaux) a la valeur n.
Considérant finalement l'un quelconque de ces sous-groupes, nous le partagerons en sous-groupes partiels successifs d'après les cotes quatrièmes croissantes de ses premiers membres : la cote quatrième d'une dérivée étant, pour une fonction jji à indices inégaux, la somme des deux indices delà fonction, il est clair que le sous-groupe partiel figurant en tête de tous les autres a pour premiers membres les dérivées principales du troisième ordre de la fonction 1^.2, 4-
Le groupe Gq se trouve ainsi partagé en groupes définitifs,
Gî,, g;;, ..., G'o^\
jouissant de cette propriété que l'un quelconque d'entre eux ne contient dans ses seconds membres d'autres dérivées principales que les premiers membres des groupes antérieurs. 11 est manifeste, d'ailleurs,
que les dérivées principales contenues dans les seconds membres des groupes suivants, G,, G2, . . ., G,/, ne peuvent être : s'il s'agit de G,, que les premiers membres de Gq ; s'il s'agit de G2, que les premiers membres de Go et G, ; etc. ; s'il s'agit enfin de G^, que les premiers membres de Go, Gi, G2, ..., G„,.
Des groupes successifs
(II) g;, g;', ..., G'«>, G„ G2, ..., G„
on peut, comme il est dit au Chapitre Vil, déduire, pour chaque dérivée principale du troisième ordre, un certain nombre d'expressions ultimes. Cela étant, cliacune des dérivées principales figurant dans les premiers membres du premier des groupes (i i) n^ admet quUine seule expression ultime.
Effectivement, le groupe G'^,, ainsi que nous l'avons remarqué plus haut, a pour premiers membres les dérivées principales du troisième ordre de la seule fonction UL24. Le système actuellement étudié ne contient, d'ailleurs, (|u'nne seule équation ayant pour premier membre une dérivée de [J^2,/o savoir :
^V2,4 ^'^^«•1,4 à-^V-1,i ^Vl,3 .
dxxdx:i dx^âXi dx^^ôxi, dx^dxi^'
le groupe GJ^ comprend donc, à l'exclusion de toute autre, les diverses équations déduites de la précédente par toutes les différentiations premières possibles, et ces équations ont évidemment leurs premiers membres tous distincts : il n'y a, dès lors, pour chacun de ceux-ci, qu'une seule expression ultime.
III. Supposant actuellement n égal ou supérieur à 3 (d'où Al -f- I >* 3), remplaçons n par /z -|- i , et désignons par
la suite de groupes, analogue à ( 1 1 ), que l'on déduit alors du système proposé à l'aide du mécanisme décrit à l'alinéa précédent; désignons euûn par G l' un quelconque des groupes (12) autre que le premier. Si, dans le système (aux inconnues |ji) qui correspond à la valeur n, les conditions de passivité sont identiquement satisfaites,
si, de plus, dans le système qui correspond à la valeur /i4- i, chacune des dérivées principales figurant dans les premiers membres des groupes antérieurs à G n^ admet qu^ une seule expression ultime, il en est de même pour toute dérivée principale figurant dans les premiers membres du groupe G.
En'ectivement, pour passer du système [(4), (5), (6)], qui Concerne la valeur /«, au système analogue concernant la valeur /i -|- i , il suffit d'adjoindre à [(4)? (5), (6)] les diverses équations suivantes :
i" L'équation
dx'j ~ dxidxn+x ^^«+1 '
où i désigne un entier arbitrairement choisi dans la suite i , 2, . . . ., /i; 2" Les trois équations
^Vy,«+i ,■ ^V/i-,«+i
(Ixj dxk
dx,,.âXn+i ' àXjdXn+i
àrU, '
dx„^^ dxk
ôxj ôx,, ÔXj dx„^^
âx)
à-lJ.k,k
__ à^l^-k.n-^l j Olif^/,/,
dXn-^l OXj
dxj âx/, ôxi, dxn+i
Oxl
où (y, k) désigne une combinaison de deux entiers distincts arbitrairement choisis dans la suite i , 2, . . ., ai; 3"' [^'équation
OXi dx j dxj dxi- dxi dxn+i dxk dXn^x
OÙ Htji k) désigne une combinaison de trois entiers distincts arbitrairement choisis dans la suite i , 2, . . ., n^ et i le plus petit de ces » trois entiers.
Cela étant, observons cju'une dérivée principale du troisième ordre fi^xiTe plusieurs fois dans les premiers membres des groupes (12) si elle est carrfinale, mais qu'elle n'y figure qu'une seule fois dans le cas contraire. iJès lors, puisque, par hypothèse, chacune des dérivées principales figurant dans les premiers membres des groupes antérieurs à G n'admet qu'une seule expression ultime, il suffit, pour établir la même propriété relativement aux dérivées (troisièmes) figu-
rant dans les premiers membres de G, de considérer exclusivement, parmi ces dernières, celles qui sont cardinales, c'est-à-dire qui s'obtiennent, conformément à notre définition du n" 92, par la comparaison de deux premiers membres du système appartenant à une même fonction inconnue : ces derniers, qui sont du second ordre, doivent donc avoir une variable de difierentiation commune, et une seule.
Divers cas sont maintenant à distinguer.
Si l'entier ii -\- i ne figure, dans les deux premiers membres que l'on compare, ni comme indice de la fonction inconnue, ni comme indice d'une variable de différentiation, il ne figure non plus à aucun de ces deux titres dans les seconds membres correspondants : cela étant, les diverses expressions ultimes de la dérivée cardinale (troisième) que l'on considère s'obtiendront manifestement parla seule considération du système relatif à la valeur /i, sur lequel on aura effectué toutes les différentiations premières relatives à :r,, ^o, . . ., Xn (avec exclusion de ^«4.1). Donc, en vertu de ce qui est admis pour la valeur n, les diverses expressions ultimes de cette dérivée sont toutes identiques entre elles.
Si l'entier n -\- i figure (soit comme indice de fonction, soit comme indice de variable) dans quelqu'un des deux premiers membres que l'on compare, si, de plus, ces derniers appartiennent à une fonction [JL afïèctée d'indices inégaux [auquel cas les deux équations correspondantes n'appartiennent ni au type (4), ni au type (5)], il résulte de ce qui a été dit plus haut sur le mode de résolution des équations du type (6) [voir le début du présent n" 191] que, dans les premiers membres dont il s'agit, l'entier n -f- i figure, non comme indice de variable, mais comme indice de fonction. Au cas donc où l'entier n -h I figure dans quelqu'un des deux premiers membres que l'on compare, les diverses hypothèses que nous avons à examiner sont les suivantes :
t" Un, et un seul, des deux indices de la fonction jj. est égal à /^ H- i;
2" Les deux indices de la fonction ^ sont égaux entre eux et inférieurs à/i-f-i, et, dans l'un au moins des deux premiers membres que l'on compare, quelqu'une des variables de différentiation est
3" Les deux indices de la fonction ijl sont égaux à n -{- i .
A. Première hypothèse. — Dans les premiers membres que l'on compare, un, et un seul, des deux indices de la fonction ui est égal à «H-i.
En pareil cas, les équations appartiennent forcément l'une et l'autre au type (i6), et ont respectivement pour premiers membres
ôXi dxj dxi dxi
où A, ;, y, / désignent quatre entiers distincts inférieurs à /i -(- i ; d'ailleurs, d'après la manière même dont on forme les équation&du type (i6), k ne peut être ni le plus petit des trois entiers A-, i^ y, ni le plus petit des trois entiers k, /, /. Cela posé, trois cas sont à distinguer :
i'' /, l'indice de la différentiation commune aux deux premiers membres que l'on compare, est à la fois inférieur à y et à /; 2" /est compris entre y' et /, et l'on a, par exemple,
3" i est à la fois supérieur ày et à /.
Dans le premier cas {î<.j\ i<iO^ ^ ^^t nécessairement le plus petit des trois entiers /f, /,y', et, de même, le plus petit des trois entiers /r, i, l. Les deux équations dont on compare les premiers membres sont alors
ÔXi ôXj dxj dx/c dXi àXfi+i
ÔXi dx/ âx/ âx/,. âxi dXn-^-i dxk àx,i+i
(on suppose que la dérivée cardinale correspondante, ^'^'''''"^\»
UX i OXj OX i
figure comme premier membre dans le groupe G). En dilTérentiant ces deux équations par rapporta xi et Xj respectivement, on obtient les deux équations suivantes du groupe G :
) ÔXi ôxj dx[ dXj dx/i ôxi dxi dxi dXn-^.\ dx^ dxi àxa-^^
dXiOXjdx/ dxjdxkdxi ' dXidxj dXn+i dxj dx/g dxn+i' dont les seconds membres ne contiennent, comme il a été dit.
d'autres dérivées principales que les premiers membres des groupes antérieurs à G : il s'agit de constater qu'en remplaçant chacune de ces dérivées principales par son expression ultime unique, les deux seconds membres de (17) deviennent identiques l'un à l'autre, c'està-dire que l'on a identiquement, après la substitution,
à'^V-j.k à^V-i,i ^^''V-iJ , à^V-i^k
âx/ dXi ôxn^i âXj âx/,- dXfi^i âx/ âx/,- àxa-hi Oxj ôxi dx,i^^
Or, dans notre système figure (après résolution convenable) le couple d'équations
dxi dXi dxj dxic ^^1 <^^A- ^^i ^^j àxj dxi àxi dx/c qui, différentié par rapport à Xnj^\^ donne
dx/ àxiâxn+i dxj ôx/; âXn-i-i dxi dxkàXn-Ar\ âxi dxj âXn-h\
dXj âxi dXfi^i dx,- âx/,- ôx,t^i
les diverses fonctions ^ qui figurent dans les équations (19) ayant chacune leurs deux indices distincts, et ces divers indices étant tous inférieurs à n + i , les équations (19), convenablement résolues, font partie des groupes antérieurs à G, et, si l'on y remplace chacune des dérivées principales qui y figurent par son expression ultime unique, elles se réduisent à des identités : la même chose a donc lieu pour la relation (18).
Dans le second cas (y << i <i /), J est nécessairement le plus petit des trois entiers k, /, y, et i le plus petit des trois entiers /r, «', /. Les deux équations dont on compare les premiers membres sont alors
(^2^/,.„+i d^ Hy,„■^-l d-^ ixij, d^ ixf^j
dXi dXj dxi dxk dxj dx^^ 1 dx/^ dx,i-+- 1
dxidxi dx/dx/, dx/dx^+i dx/,dx„^i
En les difïerentiant par rapport à x/ et xj respectivement, on obtient les deux équations suivantes du groupe G :
dxidxjdxi dxidxudxi dxj dxi dXn^i dx^dxi dxn-<r\
d^^,,^r,-^\ à'^ H-t.//+i o'^■^/■/.- 0''^]J-iJ
dXi dxi dXj dxi dx^ dxj dXi dxj dx,i^i dx/,- dxj dx^+i
dont les seconds membres ne contiennent, comme ceux de (17), d'autres dérivées principales que les premiers membres des groupes antérieurs à G : il s'agit de constater qu'en remplaçant chacune de ces dérivées principales par son expression ultime unique, les deux seconds membres de (20) deviennent identiques l'un à l'autre, c'est-àdire que l'on a identiquement, après la substitution,
(21) ^^V-J,n+i ^ à^l^i^k ^ à^l^ij
ôxi dx/(dxi dx j dx i dx a-^\ dx/^ dxj dXa+\
dXi dXkÔXj âXi àXj <)Xn-y-\ dx/^ âx/ OXn-^i «
Or, puiscjue j est ici le plus petit des trois entiers k, /, j, notre système comprend l'équation
dxj dxii (iXi dxk àxj àx,i+\ dx,- dxn^\
qui, différentiée par rapport à xi^ donne
(22) (^V/,^-f-i ^ ^'Và^+i , ^V/,A- ' à^l^j^k
dXj ôxii dxi dxi ôxf- dxi ôxj ôxi ôx,i^i dxi àxi dxn->r\
Il comprend, d'autre part, après résolution convenable, le couple d'équations
Oxi dx/ âxj dx/, dXi dx/^ ôXj dx[ dxi dx/^ dx, dxj qui, différentié par rapport à x,i^\^ donne (•23) ^^f^-/'/^- , '^'^i'i - ^^^J^i , '^^^^'^
dXi dxi dx,i^i dxj dx^ dXn-v 1 àxi dx^ dx,i+ 1 dXj dx/àxn^x
dxi dx/c dXfi^i dxi dx j dx„^\
Les diverses fonctions u qui figurent dans les équations (22) et (28) ayant chacune leurs deux indices distincts, les entiers /, y. A", / étant d'ailleurs tous inférieurs à /i H- 1 , et l'entier i (comme il a été dit) inférieur à /r, les équations (28), convenablement résolues, et l'équation (2'^) font partie des groupes antérieurs à G, et, si l'on y remplace chacune des dérivées principales qui y figurent par son expression ultime unique, elles se réduisent à des identités : la même chose a R. 29
donc lieu pour toute combinaison de (22) et (aS), et notamment pour (21).
Dans le troisième cas {j <C h ^< 0' J ^^^ nécessairement le plus petit des trois [entiers /r, /, y, et / le plus petit des trois entiers A", /, /. Les deux équations dont on compare les premiers membres sont alors
dxidxj dxidxk ' àxjâxn+i àx/cdx,i+i
dxidx/ dxidxk ùxidxn^x '^^k^Xn^x
En les différentiant par rapport à xi et Xj respectivement, on obtient les deux équations suivantes du groupe G :
\ dxi dxj ôxi âxi Ox/^ dx/ dx j ôx i âxn-hi àx/,- dx/ dXn-^\
' dsl^xi dlcj ôxi dxi- dXj dxi âxj dXn-^-\ àx/,- dxj àXn+\ ' d'où l'on déduit, par soustraction,
âxi dx/^ (Jxi ôXk àxj dxii+x dxt dx^ àxj ~^ àx/,- dxi dx,i-^x
Or, notre système comprend (après résolution convenable) le couple d'équations
âXi dxi dxj dx,i-^x àxj âx/ ôxt dx n-^x àxi dXj dxi dxn-i-i '
l'entier i étant ici supérieur à j et /, si l'on suppose, pour fixer les idées, J <C l-, ce couple doit être résolu par rapport aux deux dérivées
. \ — ) ' \ — J et lournira notamment 1 équation
àxj OX/ oxi oxj T
dXi axj ôXi ÔX[ ôxj oar^j+i dxi dXn-^\
d'où l'on déduit, par une difFérentiation relative à Xk^ la relation (25). Cette dernière, convenablement résolue, figure donc dans les groupes antérieurs à G, et se réduit dès lors à une identité quand on y remplace chacune des dérivées principales qui y figurent par son expression ultime unique.
B. Deuxième hypothèse. — Dans les premiers membres que l'on compare, les deux indices de la fonction [jl sont égaux entre eux et inférieurs à /i-t- i, et, dans l'un au moins de ces premiers membres, l'une des variables de différentiation est Xn^K-
L'entier /i -}- i ne pouvant être deux fois variable de différentiation pour un même premier membre, trois cas seulement sont à distinguer suivant que les premiers membres dont on opère la comparaison sont respectivement :
dxn-i-i àxk àxn^x dxi
OÙ y, /:, / désignent trois entiers distincts inférieurs à /i -f- i
à'i^JJ ^^ ^^î^y.
dr„^l dx/,- dxk dxi
OÙ y, k, l ont la même signification;
30 f-^Z et —4^,
aXn^X d^k OX/ç
OÙ l'on a k <ij <i n -{- i.
Dans le premier cas, les deux équations comparées appartiennent l'une et l'autre au tjpe ( i 5), et sont de la forme
âxn+i dxk ôXj dxfc âxj ôx,i+i âx]
àXn-^-\ dxi ÔXj ôxi dXj dXn+\ àXj
En les diff'éreHtiant par rapport kxi et Xfç respectivement, on obtient les deux équations suivantes du groupe G :
IJ-J\A- O- fJlA-,«+l
^ dXa+\ àXf, àXi ÔXj ÔXu dxi ÔXj ÔXn+\ dxi ôx'j ÔXi
dxn-h\ àxi ôxk ÔXj ôx, ôxi, ÔXj ôxn+x àx k ôx) ÔX/c d'où l'on déduit, par soustraction,
(2-) d^l-ty.A ^ t)V/.„^i ^ <JV/,.»+i ^ Ô^\i.jj
ÔXj ÔXi ÔXn-\-\ ôx'j ÔXk Ôx'j ÔXi àx j ÔXk àXn-i-i
Or, dans notre système figure (après résolution convenable) le couple
d'équations
dx/OXfi-h\ dxjôx/c
dXj àxi dx/^ àxn+i
dx,,àxi dxjdxn+x
qui, diirérentié par rapport à Xj^ donne
dxjôxiOx,i+\ d.rj âx/, dx] âx/ dXjôx^ôXn^x
~~ diCy ÔX/c ÙXi dx'j dXn+i '
les diverses fonctions [Ji qui figurent dans les relations (28) ayant chacune leurs deux indices distincts, tandis que la fonction ^jj a ses deux indices égaux, les équations (28), convenablement résolues, font partie des groupes antérieurs à G, et, si l'on y remplace chacune des dérivées principales qui y figurent par son expression ultime unique, elles se réduisent à des identités : la même chose a donc lieu pour la relation (2^).
Dans le second cas, les deux équations comparées sont de la forme
dXa^X àxi, ÔXj dXk àXj âXn+l ÔXj
dxk àx[ ÔXj dx/i àxj âx/ dxj
En les différentiant par rapport à Xi et .z*«+f respectivement, on obtient les deux équations suivantes du groupe G :
âxn+i dxk àx, dxj dxk dx/ ôxj âxn+i àx/ dx'j dx/
d^\t.jj d^\i.ij à^l^j,k ^\u^/.-./
dx/c dxi dxn^x àXj dXk àXn^\ ôXj dx, dxn^x àx'^- dx n^\
on vérifiera, comme dans le cas précédent, que la relation obtenue en les retranchant membre à membre se réduit à une identité par l'élimination des dérivées principales.
Dans le troisième cas, les deux équations comparées sont de la forme
àXn^\àXk dXjdXk dXj-dXn^y
dx'l Oxj dxk dx)
En les différentiaiit par rapport à Xk et Xn^\ respectivement, on obtient les deux équations suivantes du groupe G :
\ âx,,^i âx'l ~~ dxj âx'i àxj ôXa-^\ dx/, Oxj dx/, '
àxl àXn + i ^^J ^^l< ^^n+\ dXj âXn+i '
d'où l'on déduit, par soustraction,
/3o) ^^f^y,»+i , ^'R.a ^ <^Vy,A , à-^lJ-A.n^i
dxjdx'l dx'j âxn+x dxj dxi,dXn-y-\ âx] dx/,
Or, dans notre système figure l'équation
dxjdXn+i dxjdxk dx/,dxn^i àx
d'où l'on déduit, par une différentiation relative àjry, la relation (3o). Cette dernière, convenablement résolue, figure donc dans les groupes antérieurs à G, et se réduit dès lors à une identité par l'élimination des dérivées principales,
C. Troisième hypothèse. — Dans les premiers membres que l'on compare, les indices de la fonction [jl sont tous deux égaux k n -{- \ .
Deux cas sont à distinguer, suivant que les premiers membres dont on opère la comparaison sont respectivement
ÔxJ dXjdxi,
OÙ /", k désignent deux entiers distincts inférieurs à /i + i ;
dXj ôxk dXj xi
OÙ y. A-, / désignent trois entiers distincts inférieurs à /i -h i .
Dans le premier cas, les deux équations seront [types (i3) et (i4)]
àx] ~ ^ àXj ôxn+x àxl^^ '
dXjdx/t dxkâXfi-^i dxjdXn-hi ^^«+i
En différenliant la première par rapport à x/( et la seconde par
rapport à Xj^ on obtient les deux équations suivantes du groupe G :
àx)dxk ~ dxjùxkàxa^x àxj dxn+i OXjdxl^^' d'où l'on déduit, par soustraction,
(3,) (J-Vyj ^ d^\l.k.n+X ^ ^V./\/^+i ^ ^^K/\A-
da:;t(^;r;i+i d^j da:,^^.! âxjdx/,âXn+i ()xjâxfi+^
Or, dans notre système figure l'équation
c/iCA: c/a7,n i ~~ £^ary dx,, dXj dxn^x dx'j
d'où l'on déduit, par une difierenliation relative à j"//^<, la relation (3 1). Cette dernière, convenablement résolue, fait donc partie des groupes antérieurs à G, et, dès lors, se réduit nécessairement à une identité quand on y remplace chacune des dérivées principales qui y figurent par son expression ultime unique.
Dans le second cas, les deux équations com parées seront [type ( 1 4 )]
dxjdxk àxkdxji^x ôxjàxn^x ^^«+i
ôxjdxi âx/r)Xn-{-\ âxjâx,i-h\ à^?i+i
En difFérentiant la première par rapport à Xi et la seconde par rapport à ^y^, on tombe sur les deux équations suivantes du groupe G :
dxj dxk àxi dxk àxi âXfi-^i âxj ôx/ àxn-+-i ^^i ^^^h+i
dXj dxfc ôxi àxk àxi dxn-\-i àxj ôxk àx,i f-i dXk <^^'«+i d'où l'on déduit, par soustraction,
dXj âx/ âXfi-i-i dxkàxfi^x dxj âx/^ âx^+i âx/âx^+x
Or, dans notre système figure (après résolution convenable) le couple d'équations
âxj ôxi dxk <ix,i^i àxj dx/i dxi dxn+\ àx/,- âx/ Oxj ôxn^\
qui, différentié par rapport à X/^.,.,, donne
dXj dxi âXn+\ àxk àx%^^ Oxj dx/,- OXn-^i àxi àxjij^ j
dXkôxidXn^x dxjdx%+^^
les diverses fonctions [jl qui figurent dans les équations (33) ayant chacune leurs deux indices inégaux, tandis que la fonction fJi«+i,«+i a ses deux indices égaux, les équations (33), convenablement résolues, font partie des groupes antérieurs à G, et^ si l'on j remplace chacune des dérivées principales qui j figurent par son expression ultime unique, elles se réduisent à des identités : la même chose a donc lieu pour la relation (32).
IV. Si les conditions de passivité sont identiquement satisfaites dans le système (aux inconnues pi) qui correspond à la valeur n, elles ne peuvent manquer de l'être aussi dans celui qui correspond à la valeur n -\- \ .
C'est là une conséquence immédiate des alinéas II et III.
V. Les conditions de passivité du système orthonome (aux inconnues jji) spécifié au début du présent n^ 191 sont identiquement satisfaites, quel que soit n.
Il suffit, pour s'en convaincre, de rapprocher l'un de l'autre les alinéas I et IV.
192. Le système orthonome (linéaire, mais non homogène, par rapport aux dérivées secondes des inconnues |jl) spécifié au n" 186 est passif.
Les conditions de passivité de ce système se forment, comme il a été dit plus haut (n" 190), en éliminant les dérivées principales du second et du troisième ordre entre les équations du système lui-même et celles qu'on en déduit par différentiations premières. Or, il résulte du numéro précédent que tous les termes du troisième ordre disparaissent dans cette élimination : il suffit donc, pour établir que les conditions de passivité sont identiquement satisfaites, de faire voir qu'elles sont vérifiées pour toutes les valeurs numériques attribuées
aux fondions |ji, à leurs dérivées du premier ordre, et à leurs dérî^ vées paramétriques du second ordre.
Ettectivement, les relations dont il s'agit sont, au point de vue de l'intégration, des conséquences nécessaires du système (n*' 112), et il suffît dès lors, pour prouver qu'elles sont identiquement vérifiées au point de vue numérique, d'établir que le système en question admet certainement quelque groupe d^ intégrales ou les inconnues |jl, leurs dérivées premières et leurs dérivées paramétriques secondes prennent, pour des valeurs numériques données de x^ , X21 . . . , x,,^ des valeurs numériques données : dans cette démonstration, on devra supposer, puisque les termes d'ordre inférieur à 2 des équations du système ont pour dénominateur commun le déterminant
iV-j.k= \^kj)^
que, pour les valeurs numériques assignées aux [ji, la forme quadratique spécifiée au n'* 177 est décomposable en une somme algébrique de n carrés indépendants.
Cela étant, considérons les
du
dXj
du
àx,,
équations
"^ au au ^d dx i ôxl-
du n*' 177, les
équations du second ordre qui s'en déduisent
par diilérentiations premières, et les
équations du troisième
ordre qui s'en déduisent par difï'érentiations secondes : comme au n° 179, nous désignerons ces trois groupes d'équations respectivement par S<, S,, S'j. Si, dans les équations Si, on remplace les ij. par les valeurs qui leur sont assignées d'avance, on pourra trouver pour les n'^ quantités
du
dv
dw
dx,'
dx,' "
■' dx,
du
dv
dw
dx^/
dx^'
du
dv
dw
dXn
dXn'
APPLICATIONS DES THÉORIKS PRKCÉDKNTES. 457
considérées comme autant de variables indépendantes distinctes, des valeurs numériques qui vérifient les équations S,; pour ces valeurs numériques, le déterminant des quantités (34) est d'ailleurs néces-
sairement ditlerent de zéro. Si maintenant, dans les ^ • équations S,, on remplace les dérivées premières des ^ par les valeurs qui leur sont assignées d'avance, et les quantités (34) par les valeurs
, , 1 f ^ f • 1 n^ (n -+- i) précédemment trouvées, on pourra déterminer, pour les
dérivées secondes de ii^ r, .... (v, considérées comme autant de variables indépendantes distinctes, des valeurs numériques qui vérifient ces - — équations. Calculons finalement, à l'aide du système orthonome formé par les conditions de possibilité (n" 186), les valeurs numériques que doivent prendre les dérivées principales secondes des u, quand on donne aux ;ji, à leurs dérivées premières et à leurs dérivées paramétriques secondes les valeurs numériques assi-
gnees d avance ; puis remplaçons, dans les équations S^,
les dérivées paramétriques secondes des ^ par les valeurs numériques assignées d'avance, leurs dérivées principales secondes parles valeurs numériques ainsi calculées, et les dérivées premières et secondes de M, r, . . . , pp par les valeurs numériques précédemment trouvées :
les ; équations résultantes se réduiront alors, en vertu du
calcul d élimination exécute au n"'loO, a un système de 7^
'111 . n^ (n-h i)(?i -+- 'i) , , . , ^ . équations résolubles par rapport aux -r dérivées troisièmes de w, i^, . . . , cv, et fourniront pour ces dernières des valeurs numériques déterminées.
Gela fait, choisissons à volonté, pour ^i, .x->, . . ., .^/?, des valeurs initiales, (.^1)0, (^2)07 •••1 (•^//)o7 puis prenons pour u, (^, ..., pp des fonctions de .r,, x.,, , . ., x„ arljitrairement choisies sous les seules restrictions que les valeurs initiales de leurs dérivées premières, secondes et troisièmes soient celles qui viennent d'être calculées successivement. Formons enfin, à l'aide des n fonctions dont il s'agit,
, n ( n -h I ) . ^% du du > / • / \ 1 ' • i •
les ; expressions > -— - — > ou (j,n) désigne une combi-
'2 ^H OX j OX 1^
naison quelconque de deux entiers, distincts ou non, pris dans la
suite 1, 2, ...,/?: les ; fonctions de x^-, x^^ . . ., x^ ainsi
obtenues et leurs dérivées premières et secondes ont alors comme valeurs initiales les valeurs numériques qui sont assignées d'avance aux jji, à leurs dérivées premières, à leurs dérivées paramétriques secondes, et celles que le système des conditions de possibilité (n" 186) détermine alors pour leurs dérivées principales secondes. Cela étant, remplaçons dans le système S< les seconds membres u
par les • fonctions dont il s'agit : il est clair que le système
résultant sera identiquement vérilié par les n fonctions w, t^, . . . , ^v, formées précédemment ; comme le déterminant difierentiel de ces n fonctions est différent de zéro, les conditions de possibilité ne
peuvent manquer d'être satisfaites, et, dès lors, les — ^^ — — — fonctions
que nous venons de choisir pour seconds membres de S, ne peuvent manquer de fournir un groupe d'intégrales du système formé par les conditions de possibilité : or, pour les valeurs initiales (^i)o, (^2)07 . . .; (^«)oî elles prennent bien, ainsi que leurs dérivées premières et leurs dérivées paramétriques secondes, les valeurs initiales assignées d'avance.
193. Si aux équations (26), (27), (28) du n" 180 on applique la résolution indiquée au n" 186, les premiers membres des groupes résultants ne contiennent, s'il s'agit de (26) et (27), que des fonctions ]x à indices égaux, et, s'il s'agit de (28), que des fonctions u à indices inégaux : nous avons observé, en outre, qu'après cette résolution toute fonction u. à indices inégaux figurant dans un premier membre a son plus petit indice au moins égal à 2 et son plus grand indice au moins égal à 4- Nous venons de démontrer enfin que le système (orthonome) ainsi obtenu est passif (et, par suite, complètement intégrable).
11 résulte de là que les n fonctions inconnues (à indices inégaux)
sont entièrement arbitraires dans la solution générale du système. Si, parmi les fonctions ^ à indices inégaux, on fait abstraction
des n fonctions (35), il en reste ^ : or (en supposant, comme
de raison, w>3), il est facile de voir que, dans le système ortho-
nome passif étudié au n° 192, l'ensemble des conditions initiales relatives à ces inconnues contient (avec diverses fonctions
arbitraires dépendant chacune de moins de n — i variables) n fonctions arbitraires de n — i variables.
Effectivement, les inconnues jjio, 4 et |ji3^, n'ont l'une et l'autre qu'une seule dérivée figurant dans les premiers membres du système, et ces dérivées sont respectivement
âxi dx-i ôxi ôx-i '
En formant donc les conditions initiales relatives aux deux inconnues considérées, on trouve, d'après ce qui a été vu au n" 188 et à l'alinéa I du n° 81, qu'elles contiennent, s'il s'agit de [Ji.2,4, deux fonctions arbitraires dépendant respectivement des groupes de n — I variables
et, s'il s'agit de [Ji.3,4, deux fonctions arbitraires dépendant respectivement des groupes de Ai — i variables
Si l'on désigne maintenant par g un entier quelconque, au moins égal à 5, de la suite 1,2, . . . , n, les dérivées (secondes) de }Ji2,^ figurant dans les premiers membres du système étudié sont celles qui intéressent les divers couples de variables obtenus par l'association de x^ avec l'une quelconque des variables ^^3, . . ., Xg^. On voit alors qu'en vertu du n" 187 et de l'alinéa I du n° 81, les conditions initiales relatives à ^i^g contiennent (avec diverses fonctions arbitraires dépendant de moins de /i — i variables) une fonction arbitraire des n — I variables x^^ x^., . . . , Xn-
Quant aux inconnues à indices inégaux autres que celles dont l'examen a été fait ci-dessus, leurs conditions initiales ne contiennent que des fonctions arbitraires dépendant de moins de n — i variables.
Nous constatons donc, en somme, pour les ^ inconnues à
indices inégaux autres que (35), la présence, dans les conditions initiales, de n fonctions arbitraires dépendant chacune de /i — i
46o CHAPITRE XI.
variables (avec diverses fonctions arbitraires dépendant d'un nombre moindre de variables).
Enfin, l'ensemble des conditions initiales relatives aux n inconnues à indices égaux,
contient (avec diverses arbitraires dépendant de moins de deux variables) ■ fonctions arbitraires de deux variables.
Effectivement, si l'on désigne par g un entier quelconque de la suite 1,2, . . . , /i, les dérivées (secondes) de ^g^g figurant dans les premiers membres du système sont :
i" Toutes celles qui intéressent deux variables distinctes du
groupe
a?!, ..., ^^-i, Xg-^\^ .... x,i',
2*' Toutes celles qui intéressent deux fois une seule et même variable du groupe
Il en résulte, en vertu du n° 189 et de l'alinéa I du n"81, que dans le groupe des conditions initiales relatives à l'inconnue p^^, ^ figurent (avec diverses fonctions arbitraires de moins de deux variables) n — g fonctions arbitraires dépendant respectivement des couples de variables
En faisant g égal successivement à 1,2, . . .^ n — i, aï, et sommant les nombres correspondants,
{n — \) ->r { n — 2)H-...-hi-}-o,
* 1 • n{n — I ) on trouve bien -
Nous aurons à revenir au Chapitre XIV (n° 224) sur quelques-unes de ces remarques.
Examen d'un cas particulier.
194. Nous supposerons actuellement que, parmi les fonctions ijl figurant dans les seconds membres du système
/ . XT' ^u du
APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES. 46l
toutes celles qui sont pourvues d'indices inégaux se réduisent identiquement à zéro.
Les formules (6), (7), (8), (9), (10) du n" 178 deviennent alors
du d'-it I d\x.ij àxi àxf ~~ 2 âxi ' ^ du d-u, I d\j.ij
^ du d^u
^dXj dXjdXl,
1 dXk
-^ du d'^u Zà dxk dXj dx,,
1 dXj
'^ du d'^u j^ dXq dXj dx/,
où « désigne un entier quelconque de la suite 1, 2, ..., n, et q un entier, différent de «, pris dans la même suite ;
où y, k désignent deux entiers inégaux quelconques de la suite i , 2, ..., Al, et ^ un entier, différent de J et /r, pris dans la même suite.
Quant aux relations
du n^ 180, fournies par le calcul des conditions de possibilité du système (1), elles deviennent, dans le cas actuel.
^Vy,y . <^^'^/v,^
dxl dx
k,k yr^ \d-u d^'u / d'-u \n
t--^^2d\jj^ d^^~[dxjdx;J J -""•
OÙ y, /: désignent deux entiers distincts arbitrairement choisis dans la suite 1,2, . . ., n]
/ ^Vm , ,
^^^ ^ dx
yç VrPu d-^u d-^u d'^u 1
dxj dx/i ' " ^d L dx'i dxj dxk dxi dxj dxt OXk J '
^-\^JJ ^ [d'^u d-^u d^-u ^^^^ "1
/ dx/, ^ÊÀ \ O.r'j dxi dxi, dxj dxi dXj dxu J '
dxi dxj Zd \ Ox\ dxi dxj dx/, dxi dx/, dxj J
où i, y, k désignent tr(jis entiers distincts arbitrairement choisis dans
la suite i , 2
, // ; et enfin
.^ àxi dxj dxk àxi ~ Aêà dxt àx^ dxj ôxi ^d dxi ôxi dxj dxk
OÙ «, y, /r, / désignent quatre entiers distincts, arbitrairement choisis dans la suite i, 2, . . ., /i. Il va sans dire que, dans les relations (4), (5), (6), on devra, pour obtenir les conditions de possibilité, remplacer les dérivées secondes de m, v^ ..., fv par leurs valeurs tirées de (2) et (3), en tenant compte des équations (i) (^voir le calcul du
Gela étant, nous établirons les divers points suivants :
I. Les conditions de possibilité fournies par (6) sont identiquement vérifiées.
Considérons en effet l'expression
A^ dcl^dxj dxk dxi
où /, y , /r, / désignent quatre entiers distincts pris dans la suite i , 2, ..., /i, et évaluons-la à l'aide de la formule (26) du n" 180, en supposant que, dans cette dernière, les symboles de dérivation (D et (©'
soient respectivement -^ — ; — et - — ^ — Le déterminant
dxidxj Ox^dx
{désigné au n" 180 par M) a, dans le cas actuel, tous ses éléments identiquement nuls, à l'exception de ceux qui figurent dans la diagonale principale, et se réduit en conséquence au produit
Fi,i> [^2,2,
le coefficient M^^^ de l'élément Y-r.ri situé sur la diagonale principale, s'obtient en supprimant dans le produit (7) le facteur \)-r,r-, et le coefficient de tout élément non situé sur la diagonale principale se réduit à zéro. Quant aux quantités désignées, dans la formule (2 5) du n'* 180, par ^r et a^, elles sont, dans le cas actuel, d'après leur définition
même, les seconds membres des deux formules, extraites de (3), qui ont respectivement pour premiers membres
dx,. dxi
>■- Il -^ du d-
i dXj ' ^^ dXr dXfc
k Oxi ■
les quatre entiers /, y, A, / étant distincts, l'entier /', arbitrairement choisi dans la suite i, 2, . .., /i, ne figurera jamais à la fois dans les deux couples («, y), (/:, /), et dès lors, en vertu des formules (3), l'une au moins des quantités a^, a^. se réduira à zéro. La formule (26) du n° 180 a donc, ici,- son second membre nul, d'où résulte
^2 Ll
on a, de même.
dXi dXj dx/, dxi
^ d'^u ^d dxi dx
dxii dxj ôxi
y^ d^ Ll à^ u ^d dxi dx/ dxj àa
f àxu
et les conditions de possibilité fournies par (6) se réduisent bien, comme nous l'avions annoncé, à des identités.
11. Restent les conditions de possibilité fournies par (4) et (5).
Pour en former un système ortbonome, on appliquera les considérations du n" 186, en adoptant les simplifications qui s'y introduisent d'elles-mêmes, c'est-à-dire qu'on attribuera aux variables Xh et aux inconnues a,/ les cotes premières et secondes indiquées ci-dessous,
Cotes premières.
Cotes secondes,
et qu'on résoudra
. à^lJ-Aj,
