V-JJ
i" L'équation (4) par rapporta — 7-^ ou par rapport à ' y •' ) sui-
vant quey est inférieur ou supérieur à k]
2" Chacune des équations (5) par rapport à la dérivée (unique) du second ordre qu'elle contient.
Je dis maintenant que ie système orthonome provenant de cette résolution est passif.
Revenons, en effet, pour un instant au système orthonome que
forment, dans le cas générai, les conditions de possibilité convenablement résolues (n'' 186), et partageons ces équations en deux groupes, A2, B2, suivant que la dérivée (seconde) qui figure dans leur premier membre appartient à une fonction ;j. pourvue d'indices inégaux ou à une fonction jji pourvue d'indices égaux ; désignons ensuite par A!,, B., les groupes respectivement déduits de Ao, B^ par toutes les dilïerentiations possibles du premier ordre. Le système (A2, B2) étant passif (n" 19!2), l'élimination des dérivées principales secondes et troisièmes entre les équations
conduit à des identités; pour avoir la solution numérique générale du système (8), il suffira donc d'adjoindre à (A2, B2) un groupe partiel extrait de (A.,, B., ) sous la seule condition qu'il ait pour premiers membres, sans omission ni répétition, les dérivées principales troisièmes des diverses fonctions [jl, puis d'effectuer la résolution du système résultant par rapport aux dérivées principales du second et du troisième ordre. A cet effet, on tirera successivement: i" des équations Ao, B2, déjà résolues, les dérivées principales secondes des diverses fonctions iji; 2" du groupe partiel extrait de A'^, et en tenant compte de ( A2, B2), les dérivées principales troisièmes des fonctions jji à indices inégaux, ce qui donnera un groupe A3 ; 3*' du groupe partiel extrait de B',, et en tenant compte de Ao, Bo, A3, les dérivées principales troisièmes des fonctions [jl à indices égaux, ce qui donnera un groupe B3. Finalement, la solution numérique générale du système (8) sera donnée par les formules
Remplaçons maintenant, dans les conditions de possibilité (A2, B2), tous les ^ à indices inégaux par des fonctions identiquement nulles, et convenons désormais, pour indiquer l'introduction de cette hypothèse dans un système quelconque déduit de (A2, Bo), de mettre entre doubles crochets la notation primitivement adoptée pour le système dont il s'agit. Observons en outre :
i" Que si, dans les équations Ao ou B2, on se propose d'introduire <:/'a6ort/ l'hypothèse actuelle (toutes les fonctions [jl à indices inégaux identiquement nulles ), et d'effectuer ensuite toutes les dilTérentiations premières possibles, on peut, sans changer le résultat
final, intervertir l'ordre de ces deux opérations consécutives; ou, en d'autres termes, que les systèmes
[[As]]'. [[B2]]',
obtenus par la première suite d'opérations, sont respectivement identiques aux systèmes
[[AU], [[b;j],
obtenus par la deuxième suite;
2° Que l'hypothèse actuelle transforme en identités les équations A!, ; car les équations [Ao] étant, comme nous l'avons vu (1), des identités, il en est de même des équations MA2] ]', qui s'en déduisent par toutes les différentiations premières possibles, et par suite aussi, en vertu de i", des équations mA'., ]1;
3"" Que cette même hypothèse, transformant en identités les équations Ao, et annulant identiquement leurs premiers membres, ne peut manquer d'annuler aussi identiquement leurs seconds membres ;
4" Enfin, que l'hypothèse dont il s'agit ne peut manquer de transformer en identités les équations A3 : on obtient, en efiet, un groupe numériquement équivalent à A3 en remplaçant d'abord, dans le groupe partiel extrait de A!, (voir plus haut), les dérivées principales secondes des [jl à indices inégaux parleurs valeurs tirées de Ao, puis, dans les^relations résultantes, les dérivées principales secondes des jjL à indices égaux parleurs valeurs tirées de Bo ; or, en verlu de 2° et 3", l'hypothèse considérée, introduite après la première partie de l'opération, donnerait déjà des identités; elle en donne donc aussi après la seconde.
Cela étant, puisque la solution numérique générale du système (8) est donnée parles formules (9), les deux systèmes
et
qui se déduisent respectivement de (8) et (9) en y remplaçant tous
les jjià indices inégaux par des fonctions identiquement nulles, s'équi-
\audront numériquemen L l'un à l'autre ; c'est-à-dire, en tenant compte des diverses observations qui précèdent, que la solution numérique générale du système
[[B,]], |[Bd]'
sera donnée par les formules
[[B.]]. [[Ba]].
En conséquence, l'élimination des dérivées principales secondes et troisièmes, efl'ectuée entre les équations du système orthonome [[B^]] et celles qui s'en déduisent par difFérentiations premières, conduira à des identités; le système [Bo] est donc passif, ce que nous proposions d'établir.
111. Dans le système orthonome passif [Bo] , examiné à l'alinéa précédent, C ensemble des conditions initiales contient (avec diverses arbitraires dépendant chacune de moins de deux variables)
fonctions arbitraires de deux variables.
11 suffit, pour s'en convaincre, d'observer que les seules inconnues de ce système sont les fonctions |jl à indices égaux, que la répartition de leurs dérivées en principales et paramétriques y est la même que dans (A2, Bo); puis de se reporter à la remarque finale du n"193.
Détermination des systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales
à n variables.
195. Les considérations qui précèdent fournissent une méthode îs simple poi vées partielles
très simple pour étudier le système des ■ équations aux deri-
