ES
Ou au
OÙ (y, k) désigne une combinaison quelconque de deux entiers distincts pris dans la suite 1, 2, . .., /?, et où les sommations indiquées
par le symbole ^ doivent s'étendre aux n fonctions inconnues «,
r, . . ., «^ : le système (i) est', comme on sait, celui qui détermine les systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales à n variables. Pour en faire l'étude, on désignera par
n fonctions inconnues auxiliaires adjointes à w, (^, ..., (V, et l'on posera
Ces inconnues auxiliaires devront satisfaire au système orthon,ome passif MB2]], examiné dans les alinéas II et III du numéro précédent, et où l'ensemble des conditions initiales contient (avec diverses
arbitraires dépendant de moins de deux variables) -fonctions
arbitraires de deux variables.
La détermination des n inconnues auxiliaires une fois opérée, celle des n inconnues primitives s'effectue par l'intégration du système
[(1), (2)], dont la solution générale dépend de ^ ^ + 0 constantes arbitraires.
468 CHAPITRE XIT.
SYSTÈMES DIFFERENTIELS OU LES CONDITIONS INITIALES PRESENTENT UNE DISPOSITION RÉGULIÈRE.
Simplification de certains théorèmes d'existence dans le cas où les conditions initiales du système proposé présentent une disposition régulière.
196. Étant donné un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, nous dirons que le damier des conditions initiales (n° 90) y est /égiilier, si, en adoptant pour ses lignes, c'est-à-dire pour les variables indépendantes du système, un ordre convenable, les cases blanches de chaque colonne se trouvent toutes situées au bas de cette colonne.
INous supposerons actuellement qu'on ait affaire à un système différentiel oii le damier des conditions initiales soit régulier, et nous établirons alors les deux points suivants :
I** Dans l'énoncé du troisième théorème d'existence (n" 168), toute restriction d'inégalité devient inutile, et les hypothèses restantes suffisent, en vertu du premier théorème d'existence (n° 163), à assurer l'intégrabilité complète du système ;
2'* Dans l'énoncé du quatrième théorème d'existence (n" 170), les restrictions d'inégalité posées peuvent être remplacées par d'autres notablement plus simples.
197. Considérons un système différentiel. S, satisfaisant aux diverses conditions ci-après :
i" Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les dérivées dont il s'agit aopartiennent respectivement à des inconnues toutes ,
différentes; les seconds membres sont d'ailleurs indépendants de toute dérivée principale.
2° En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables des cotes respectives toutes égales à i et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités [inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.
(Les deux hypothèses ci-dessus figurent dans l'énoncé du troisième théorème d'existence, iV 168.)
'à"" Le damier des conditions initiales du système est régulier.
Cela étant, le système S est forcément orthonome, et, par suite (n° 163, premier théorème d'existence), complètement intégrable.
I. Considérons, d'une part, la détermination initiale schématique (n*' 90) d'une inconnue quelconque, w, de notre système, et extrayons, d'autre part, du groupe total des différences x — ^a^ y — J'o? • • • (oi^i X, y, ... désignent les variables indépendantes, ^o^J^o^ • • • des valeurs initiales quelconques), un groupe déterminé quelconque, par exemple celui des trois différences x — x^^ y — jKo? ^ — ^o- Cela étant, on aperçoit sans peine l'exactitude des deux points suivants :
1° Si la détermination initiale schématique de u contient des termes élémentaires dont les degrés partiels en x — ^q-, y — JKo? z — Zq puissent surpasser à la fois trois entiers arbitrairement donnés, toute somme schématique irréductible (n" 79) représentant cette détermination initiale contient quelque fonction schématique dépendant à la fois des trois variables x, y, 5 (et éventuellement de quelques autres).
2" Réciproquement, si une somme schématique irréductible représentant la détermination initiale de u contient quelque fonction schématique dépendant à la fois des trois variables x^ y, ^, cette détermination initiale contient des termes élémentaires dont les degrés partiels en x — x^., y — j^o^ ^ — ^o peuvent surpasser à la fois trois entiers arbitrairement donnés.
II. La proposili(j:i qui fait l'objcL de l'alinéa I peut encore s'énoncer de la manière suivante :
Pour que V inconnue u du système proposé possède des dérivées
paramélriques dont les ordres partiels relatifs à des variables déterminées, x^y^ z par exem/de, puissent surpasser à la fois trois entiers arbitrairement donnés, il faut et il suffit que le groupe de conditions initiales relatif à cette inconnue contienne dans V ensemble de ses seconds membres quelque fonction schématique dépendant à la fois des trois variables x^ y^ z (et éventuellement de quelques autres).
III. Les diverses dérivées qui figurent dans les premiers membres du système S, défini par notre énoncé général, n' intéressent toutes qu'une seule et même variable indépendante.
Il est impossible qu'une dérivée figurant dans un des premiers membres du système intéresse à la fois plusieurs variables indépendantes. Supposons en efï'et, pour fixer les idées, qu'elle en intéresse trois, et qu'elle soit de la forme
d^-^'^-^l II dx^ dy'ii dsY '
OÙ u désigne l'une des fonctions inconnues, et a, ;3, y trois entiers supérieurs à zéro. Gela étant admis, on voit tout d'abord que les conditions initiales relatives à m et à ses dérivées ne peuvent contenir dans leurs seconds membres aucune fonclion schématique dépendant à la fois de x, y^ z : car, s'il en était ainsi, les ordres partiels relatifs k X, y^ z d'une dérivée paramétrique de u pourraient suipasser à la fois trois entiers arbitrairement donnés (II); et notamment les trois entiers a, ,3, y, ce qui est absurde. D'auire part, puisque a est > o, les dérivées de u n'intéressant pas la variable x sont toutes paramétriques, et les ordres partiels de ces dérivées relatifs ky elkz peuvent surpasser à la fois deux entieis arbitrairement donnés : il en résulte (II) que les conditions initiales relatives à m et à ses dérivées contiennent dans leurs seconds membres quelque fonction schématique dépendant à la fois de y et ^, mais en même temps, d'après ce qui précède, forcément indépendante de x. En vertu d'un raisonnement semblable, elles contiendront dans leurs seconds membres quelque fonction schématique dépendant à la fois de ^ et -s sans dépendre de j, et aussi quelque fonction schématique dépendant à la fois de ^ et / sans dépendre de z. On pourra donc, du damier des
SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS RÉGULIERS. ^J l
conditions initiales, extraire une portion ofiVant la disposition suivante de cases blanches et noires :
Une disposition régulière du damier total devient, dès lors, quelque ordre qu'on adopte pour les lignes, impossible à réaliser, ce qui est contraire à l'hypothèse.
Ainsi, toute dérivée figurant dans un des premiers membres du système S n'intéresse qu'une seule variable indépendante. Je dis, de plus, que les dérivées figurant respectivement dans deux des premiers membres ne peuvent intéresser deux variables distinctes. Supposons, en effet, qu'en désignant par u et ç deux des fonctions inconnues, le système proposé contienne les deux équations
dV-v
OÙ À et p. sont, naturellement, supérieurs à zéro. Gela étant admis, on voit tout d'abord que les conditions initiales relatives à w et à ses dérivées ne peuvent contenir dans leurs seconds membres aucune fonction schématique dépendant de œ : car, s'il en était ainsi, l'ordre partiel relatif à x d'une dérivée paramétrique de u pourrait surpasser tout entier donné, et notamment l'entier X, ce qui est absurde. D'autre part, puisque X est >> o, les dérivées de a n'intéressant pas la variables sont toutes paramétriques, et l'ordre partiel de ces dérivées par rapport ^ y peut surpasser tout entier donné : il en résulte que les conditions initiales relatives k u et à ses dérivées contiennent dans leurs seconds membres quelque fonction schématique dépendant de y, mais en même temps, d'après ce qui précède, forcément indépendante de x. En vertu d'un raisonnement semblable, les conditions initiales relatives à (^ et à ses dérivées contiennent dans leurs seconds membres quelque fonction schématique dépendant de.r sans dépendre de y. On pourra donc, du damier des conditions initiales, extraire une portion ofïVant la disposition suivante de cases blanches
et noires :
Une disposition régulière du damier total devient, dès lors, quelque ordre qu'on adopte pour les lignes, impossible à réaliser, ce qui est contraire à l'hypothèse.
IV. Tout système différentiel satisfaisant aux conditions i" et 2° de notre énoncé général^ et tel, en outre, que les dérivées figurant dans les premiers membres n^ intéressent toutes qu' une seule et même variable indépendante, x^ est nécessairement orthonome.
Puisque les dérivées qui constituent les premiers membres de notre système appartiennent respectivement à des inconnues toutes différentes, le nombre des équations est au plus égal à celui des inconnues ; il peut d'ailleurs arriver qu'il soit moindre, ou, en d'autres termes, que certaines des inconnues n'aient aucune dérivée principale. En pareil cas, on peut (sans toucher aux cotes des variables indépendantes ni des inconnues restantes) choisir, pour les inconnues dépourvues de dérivées principales, des cotes algébriquement assez petites pour que les inconnues dont il s'agit, et celles d'entre leurs dérivées qui figurent dans les seconds membres du système, aient des cotes inférieures à celles des premiers membres : on peut donc, pour établir la nature orthonome du système, procéder comme si les inconnues restantes y étaient seules engagées, et supposer que le nombre des équations y est exactement égal à celui des inconnues. Nous plaçant dans cette hypothèse, nous désignerons par
les inconnues engagées dans le système, et nous ferons voir qu'on peut leur attribuer, ainsi qu'aux variables indépendantes, des cotes secondes telles, que la cote seconde de toute inconnue ou dérivée figurant dans un second membre soit inférieure à la cote seconde du premier membre correspondant.
Soient donc
les équations dont se compose notre système; je dis qu'en attribuant à la variable x une cote seconde égale à i , à toutes les autres variables une cote seconde nulle, et aux fonctions inconnues «i, M2, . . ., Uçr les cotes secondes respectives — A'i, — A'2, ..., — kg, la condition ci-dessus énoncée se trouvera satisfaite. Si l'on désigne en effet par i\ j deux entiers, distincts ou non, pris dans la suite i, 2, . . /, £?, et que l'on considère l'équation du système qui a pour premier
membre 'S le second membre de l'équation dont il s'agit, indépendant par hypothèse de toute dérivée principale, ne contiendra aucune dérivée de Wy dont l'ordre partiel relatif à x soit égal ou supérieur à kj. Gela étant, il suffît d'observer que le premier membre , ^'
a pour cote seconde zéro, que la fonction uj a pour cote seconde l'entier négatif — kj, et que toute dérivée de uj d'ordre partiel k par rapport k x sl pour cote seconde la différence k — Ây, négative dans l'hypothèse k <. kj.
V. Le simple rapprochement des alinéas III et IV nous montre que le système proposé S est orthonome : il est donc complètement intégrable, en vertu du premier théorème d'existence (n" 163) (' ).
198. Considérons un système différentiel. S, remplissant les diverses conditions ci-après :
1" Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les seconds membres sont indépendants de toute dérivée principale ; quant aux premiers membres, aucun d'entre eux n'est une dérivée de quelque autre, et deux au moins d'entre eux sont des dérivées d\ine même inconnue.
(') Les systèmes difTérentiels visés par l'énoncé du n» 197 comprennent comme cas particulier ceux de M'"* de Kowalevsky. Les mêmes notations étant adoptées que dans l'alinéa IV, il suffit, pour s'en convaincre, d'attribuer à toutes les variables indépendantes X, y., ... une cote (première) égale à i, et, aux inconnues m,, u^, ..., u du système kowalevskien les cotes (premières) respectives — A,, — Aj, ..., — k ,
o," En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables des cotes respectives toutes égales à \^ et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités {inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.
(Les deux hypothèses ci-dessus figurent dans l'énoncé du quatrième théorème d'existence, n" 170.)
3° Le damier des conditions initiales du système est régulier.
4** En désignant par o la cote minima des premiers membres de S, par A leur cote maxima, et par Y la cote maxima des premiers membres des conditions initiales écrites conformément aux indications du /z" 155 (A^F -f- i), on peut, des groupes
du système S prolongé, extraire respectivement des groupes, possédant la triple propriété de comprendre les groupes
du système S (n^ 14-4), de se composer d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales de cotes
ô, ô H- 1, .. ., r -^ I, et d'être successivement résolubles par rapport à ces dérivées.
(La restriction d'inégalité à laquelle se trouvent ainsi assujetties les valeurs numériques des quantités figurant dans les seconds membres de S est, comme on le voit, notablement plus simple que celles qui figurent dans l'énoncé du quatrième théorème d'existence.)
Cela étant, pour que le système proposé S soit complètement intégrable, il faut et il suffit (comme dans les deuxième et quatrième théorèmes d'existence, n"^ 163 et 170) que ^élimination des dérivées principales de cotes
effectuée entre les équations
Sg, Sg-t-i, ..., Sr+i, Sr+2,
conduise à des identités.
1. Les mêmes choses étant posées que dans l^ énoncé ci-dessus, on peut, du gi'oupe Sc(G^o), extraire un groupe résoluble par rapport aux dérivées principales de cote C.
Pour l'établir, je construirai d'abord, à l'aide du mécanisme suivant, un autre système différentiel, F.
Considérant, parmi les inconnues et dérivées qui figurent dans un second membre du système S, celles dont la cote se trouve être précisément égale à celle du premier membre correspondant, je remplace ce second membre par une fonction linéaire et homogène des inconnues et dérivées dont il s'agit, en donnant pour coefficient à chacune de ces quantités la valeur initiale de la dérivée partielle du second membre primitif par rapport à la quantité considérée. (11 va sans dire que, dans le cas où le second membre primitif ne contient, outre les variables indépendantes, que des inconnues et dérivées de cote inférieure au premier membre correspondant, on remplacera ce second membre par zéro.) En répétant l'opération précédente sur chacun des seconds membres du système S, on tombe sur un système, F, ayant les mêmes premiers membres que S avec la même économie des conditions initiales, et présentant en outre les parlicularilés suivantes : i" Chaque équation du système F prolongé est linéaire, homogène et à coefficients constants par rapport à l'ensemble des fonctions inconnues et de leurs dérivées. 2" Si, dans le système F, on attribue aux variables indépendantes et aux inconnues les mêmes cotes respectives que dans le système S, chaque second mem.bre de ¥ prolongé ne contient que des quantités [inconnues et dérivées) dont la cote soit exactement égale à celle du premier membre correspondant. 3" Dans les systèmes
S prolongé, F prolongé,
les équations se correspondent chacune à chacune, et Uon passe d^ une équation quelconque de ^prolongé à l'équation correspondante de ¥ prolongé par le même mécanisme que U on passe d' une équation quelconque de S à Inéquation correspondante de F.
Tout revient donc à prouver que du groupe F^ on peut extraire un groupe partiel résoluble par rapport aux dérivées principales de cote C.
Or, si, conformément à nos conventions du n° 144, on désigne par
(0 /gi /g+i' •••' f^
les équations du système F, partagées en groupes d'après leur cote croissante, il résulte de ce que nous venons de dire que, des groupes
Fg, Fg+i, ..., Fr+i,
on peut extraire autant de groupes partiels possédant la triple propriété de comprendre les groupes (i), d'être composés d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales de
cotes
et d'être respectivement résolubles par rapport à ces dérivées. On pourra donc, par le mécanisme décrit au n° 156, déduire de F un système, 4>, de grade i, possédant la triple propriété ci-après :
i^ Le Tableau du système <1> est régulier (parce que la disposition des cases pleines et vides y est identique à celle que présentent, dans le damier des conditions initiales de F, les cases noires et blanches).
2" Chaque second membre est une fonction linéaire, homogène, et à coefficients constants, des diverses dérivées paramétriques ou fonctions inconnues ayant même cote que le premier membre correspondant.
(Du rapprochement de ces deux propriétés résulte l'orthonomie de <ï>, n° 161, I.)
3^* Si l'on désigne par H l'ensemble des relations obtenues en égalant chaque inconnue adjointe de ^ à la dérivée ancienne qu'elle admet pour homonyme, les systèmes
it:)4> et (iC)H,(C)F)
s'équivalent numériquement, d'où résulte, puisque chacune des équations linéaires et homogènes dont ils se composent ne contient que des quantités toutes de même cote, que les systèmes
*c et (Hc, Fc) s'équivalent aussi numériquement.
Observons maintenant que toutes les dérivées principales du système F sont également principales dans le système <I>, et que, de plus, toute dérivée d'inconnue adjointe coïncidant, à la notation près, avec une dérivée principale de F est elle-même principale dans <I>; cela étant, partageons, comme il suit, en trois sortes les dérivées principales de cote (première) C du système <l> :
I" Les dérivées principales du système F;
2'' Les dérivées d'inconnues adjointes qui coïncident, à la notation près, avec quelqu'une des précédentes;
;V' Diverses dérivées coïncidant, soit exactement, soit à la notation près, avec des dérivées paramétriques du système F.
Le système <ï> étant orthonome, on peut extraire de ^^ un groupe partiel résoluble par rapport aux dérivées principales de cote (première) C du système <E>, et dès lors aussi an groupe partiel résoluble par /apport à celles qui sont des deux premières sortes : la même chose a donc nécessairement lieu pour (H^;, F(;), numériquement équivalent à <ï>c. Or, parmi les équations Hc, celles dont les deux membres coïncident (aux notations près) avec une même dérivée paramétrique de F ne peuvent évidemment nous fournir aucune équation pour le groupe partiel spécifié en dernier lieu, et celles qui restent nous donnent les dérivées de la deuxième sorte exprimées à l'aide des dérivées correspondantes de la première (auxquelles elles sont identiques, aux notations près) : cela étant, et les équations F^; ne contenant ni les inconnues adjointes, ni leurs dérivées, il faut bien que de Fc on puisse extraire un groupe partiel résoluble par rapport aux dérivées de la première sorte. C'est ce qu'il s'agissait d'établir.
IL Les mêmes choses étant posées que dans notre énoncé général, on peut, du système S, déduire, à l'aide du mécanisme décrit au n" I06, un syslhme de grade i. S, possédant la double propriété : 1" d'avoir un Tableau régulier, comme le damier des conditions initiales de S ; 2" de ne contenir dans chacun de ses seconds membres^ outre les variables indépendantes, que des quantités (inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant. Le système S est, d'après cela, nécessairement orthonome in" 161, I).
Cela étant, pour que le système (régulier) S soit passifs il faut et il suffit que le système (orthonome) S le soit lui-même.
Considérons en effet, dans l'un quelconque des deux systèmes S, S, le total que forment le nombre des variables indépendantes^, y^ . . ., et celui des quantités paramétriques (inconnues et dérivées) dont la cote (unique ou première) ne surpasse pas C : à cause des relations qui existent entre S et S, ce nombre est le même dans les deux systèmes, et nous le désignerons par ^^q. Cela posé :
i" Pour que le système proposé S soit passifs il faut et il suffit qu'en considérant x^y^ ... et les diverses quantités {inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas C, comme autant de variables indépendantes distinctes, la solution numérique générale de **^'S soit fournie {quel que soit C) par des formules exprimant les diverses variables dont il s'agit à l'aide de ^^^q arbitraires, ^^q d^ entre ces formules étant résolubles par rapport aux. arbitraires.
C'est ce qui résulte immédiatement de l'alinéa i et du n" 162.
2" Pour que le système S soit passif , il faut et il suffit que la solution numérique générale de '^'S soit fournie {quel que soit C) par de semblables formules.
C'est ce qui résulte immédiatement de l'orthonomie de 2 et du n" 162.
3** Pour que la solution numérique générale de ^^^^ soit fournie par des formules ayant la structure indiquée dans i°, il faut et il suffit que la même chose ait lieu pour celle de *^*2.
La condition posée est nécessaire.
Si l'on désigne en efl'et par H l'ensemble des relations obtenues en égalant chaque inconnue adjointe de S à la dérivée ancienne qu'elle admet pour homonyme, et si l'on suppose que la solution numérique générale de ^^*S soit fournie comme l'indique l'énoncé, il est manifeste qu'il en sera de même pour celle de ('^*H, *^*S), et, par suite, de '^'2.
La condition posée est suffisante.
Supposons en effet que la solution générale de *^'S soit fournie par des formules ayant la structure qu'indique l'énoncé, et répartissons
ces formules en deux groupes, '^J, '^'K, suivant qu'elles ont ou non pour premier membre quelque dérivée (d'ordre positif ou nul) d'une inconnue adjointe. Le système (*^'J, *^'K) ayant pour conséquence numérique -^ 'S, qui, à son tour, a pour conséquence numérique *^'H, il est clair que ('^'J, ^^'R) a pour conséquence numérique ('^'H, *^'K); et comme ces deux systèmes, visiblement réduits ('), comprennent le même nombre d'équations, ils sont numériquement équivalents (n" 131) : or, le premier d'entre eux contient '^'^ équations résolubles par rapport aux arbitraires ; il en est donc de même du second (n" 137), et, comme le groupe *^'H est indépendant des arbitraires, les ^'q équations dont il s'agit sont forcément contenues dans le groupe '^'K.
Cela posé, observons qu'en vertu de l'équivalence entre
iC)E et ((C>H,'f-'S),
les formules ('^'J, '^'K), qui fournissent la solution générale de *^'S, fournissent également celle de (^^*H, '^*S), et que, par suite, les formules '^'K ne peuvent manquer de vérifier constamment le système '^'S. Si l'on désigne alors par *^'/? le nombre des dérivées principales du système S dont la cote première ne surpasse pas G, et si l'on extrait de '^'S un groupe partiel résoluble par rapport aux ^^'^p dérivées dont il s'agit (I), les formules ^^'K, en nombre '^'^ + '^y?, vérifieront en particulier le groupe partiel; et comme ce dernier, composé de *^'/> équations, est réduit, elles en fourniront (n^ 140) la solution géné^ raie, à plus forte raison celle du groupe total *^'S.
4" Pour que S soit passif, il faut et il suffit que S le soit. C'est ce qui résulte du simple rapprochement de i", 2" et 3".
III. La recherche, dans le système S, d^ une solution ordinaire [hypothétique) répondant à des conditions initiales données, se ramène à une semblable recherche exécutée dans le système S.
Il suffit, pour s'en convaincre, d'observer ce qui suit :
(*) Ils sont, en eiïet, résolubles luti et l'autre par rapport aux variables indépendantes X, y, ... et aux quantités (inconnues et dérivées de S) dont la cote première ne surpasse pas C.
48o CHAPITRE XII.
i" Si, comme plus haut (II, 3"), on désigne par H l'ensemble (les relations obtenues en égalant chaque inconnue adjointe de S à la dérivée ancienne correspondante, il résulte immédiatement de l'alinéa V du n° 156 que les deux systèmes
(H, S) et S
s'équivalent au point de vue de l'intégration. En conséquence, toute solution ordinaire de S en fournit une de S par la simple adjonction aux fonctions qui la composent de quelques-unes de leurs dérivées; et, inversement, toute solution ordinaire de S en fournit une de S par la simple suppression des fonctions trouvées pour les inconnues adjointes.
2° L'économie des conditions initiales est la même, aux notations près, dans les deux systèmes S et S (n° 156, I).
IV. Pour que te système S soit complètement intégrable, il faut et il suffit que le système S soit passif .
Effectivement, si le système S est complètement intégrable, le simple rapprochement de l'alinéa I et du n° 103 montre qu'il est passif; le système S l'est donc aussi en vertu de II.
Réciproquement, si le système S est passif, il ne peut manquer, puisqu'il est orthonome, d'être complètement intégrable ; le système S l'est donc aussi en vertu de III.
V. Pour que le système, orthonome et de grade i, S, soit passif, il faut et il suffit que la solution numérique générale de (r+2)2 soit fournie par des formules exprimant les variables indépendantes x^ y ^ ...et les quantités [inconnues ou dérivées de S) dont la cote {première) ne surpasse pas Y-\-i à V aide de ^^^'^^q arbitraires, ^^"^-^q d^ entre ces formules étant résolubles par rapport aux arbitraires.
La condition posée est évidemment nécessaire (II, 2"). Elle est d'ailleurs suffisante.
Supposons en effet que la solution numérique générale de ^r+2)v soit fournie par des formules ayant la structure qu'indique l'énoncé.
Si l'on désigne par ^^+2)^ \q nombre des dérivées principales du système S dont la cote première ne surpasse pas F + 2, et si l'on extrait de ^r'+'^S un groupe partiel ayant pour premiers membres, sans omission ni répétition, les ^l'+^j^ dérivées principales dont il s'agit, les formules, en nombre ^^'^'^^q -h^^'^^^^-, qui donnent la solution générale de (r+2)2 ne peuvent manquer de vérifier constamment le groupe partiel; et comme ce dernier, composé de ^^+^W équations, est réduit, elles en fournissent aussi la solution générale (n° 140). Le système (r4-2)v équivaut donc numériquement au groupe partiel, et, dès lors, si entre les équations (r+«)2 q^ élimine les diverses dérivées principales de S dont la cote première ne surpasse pas F 4- 2, on est conduit à des identités.
Cela étant, comme, dans le système S, ortlionome et de grade i, la cote première maxima des inconnues est F, et, par suite, celle des dérivées cardinales (toutes du second ordre) F -h 2, il résulte de la règle provisoire du n" 112 que le système S est passif : c'est ce qu'il s'agissait d'établir.
VI. Pour que la solution numérique générale de (F+2)2 ^Qd fournie par des formules ayant la structure indiquée à C alinéa précédent, il faut et il suffit qu'il en soit de même pour celle de
C'est ce qui résulte immédiatement de l'alinéa II, 3°.
VII. Pour que la solution numérique générale de (F+2)§ ^^^-^ fournie par des formules ayant la. structure dont il s'agit, il faut et il suffit que l'élimination des dérivées principales de cotes
8, o-hi, ..., r + i, r4-'2, effectuée entre les équations
(a) Sg, Sg+i, ..., Sr-i-i, S1V2,
conduise à des identités.
Observons tout d'abord qu'en vertu de l'alinéa I, on peut, des groupes (2), extraire des groupes,
successivement résolubles par rapport aux dérivées principales dont il s'agit.
Cela étant, la condition posée est évidemment suffisante.
Elle est d'ailleurs nécessaire. Désignons en effet par ^^+2)^ }g nombre des dérivées principales de S dont la cote ne surpasse pas T -\- 2. Si la solution numérique générale de (^+2)5 ggt exprimable comme l'indique notre énoncé, les formules, en nombre ^^"'"-^^-f-^^"^-^/?, qui la fournissent ne peuvent manquer de vérifier constamment le système réduit des ^^"'"-^/? équations (3), et en donnent par suite (n° 140) la solution générale : les systèmes (2) et (3) sont donc numériquement équivalents, et l'élimination indiquée entre les équations (2) conduit forcément à des identités.
VIII. Le simple rapprochement des alinéas IV, V, VI et VII suffît à prouver l'exactitude de notre énoncé.
199. Considérons, par exemple, le système différentiel fort simple \ dx^ àx ây
OÙ u désigne une fonction inconnue, et H, K, M, N quatre fonctions connues des deux variables indépendantes x et y. En désignant par Xqj jKo les valeurs initiales de ^,.) , et par a,, «2, «3, <^4 des constantes schématiques, les conditions initiales sont ici de la forme
pour X — Xo = y — yo = o :
àx dy
elles présentent donc une disposition régulière (puisque toutes les cases du damier sont noires), et l'hypothèse 3°, posée au début du numéro précédent, se trouve réalisée. Des deux hypothèses 1" et 2^*, la première est évidemment vérifiée, et, si l'on attribue à ^,y, u les cotes respectives i, i, o, la seconde l'est également. Enfin, les entiers 0, r sont l'un et l'autre égaux à 2, en sorte que les groupes
àx
du
dy
cPu
Spécifiés dans l'hjpolhèse 4", se réduisent ici, le premier (Sg ou S2) au système (4) lui-même, le deuxième et dernier (Sp+t ou S3) à
â-^n ^3 u OH d'-u m
âx^ ~^ àx- dy dx âx dy dx â^ u d^ Il dH â-^ u dU
âx'^ dy dx dy^ dy dx oy dy
d^u ^ d^u dK d'-u d^
dx dy^ dx- dy dx dx dy dx
d^u ,. "d^a dK d'-u dN
dy^ dx dy^ dy dx dy dy
Chacun de ces groupes, Sa, S3, contient, comme on le voit, un nombre d'équations précisément égal à celui des dérivées principales de cote égale à son indice ; le premier, S2, se trouve, en fait, résolu par rapport aux dérivées principales de cote 2, et le second, S3, a, par rapport aux dérivées principales de cote 3, un déterminant différentiel égal à I — HK. En supposant alors, comme l'exige la restriction d'inégalité posée dans l'hypothèse 4" du n" 198, que le produit HK soit différent de i dans les limites où l'on fait varier .r, y^ la condition d'intégrabilité complète du système (4) s'obtiendra par l'élimination des dérivées principales entre les équations S2, S3, S/,. Si l'on pose, pour abréger,
dH ,,(^K d^ „c^N
— ^ ' ~. ÎJ17 ~" Vi
i-HK ~ - I— HK
dY. ,, ^H d^ ^^ dm
h K -— hK —
dx dy dx dy
= W I — HK ' i-HK
on tombe sur la relation
\dy dx J ôx dy dy dx
qui doit avoir lieu quels que soient x^ v, ? considérés comme
trois variables indépendantes distinctes (*).
(') Les relations S3, résolues par rapport aux dérivées troisièmes de m, donnent, en effet,
d^u ^^, 0-^u ^ ^lif =v-^î^ + W
dx"^ dy dx dy ' dx dy"^ dx dy '
<:onsidérant ces deux dernières formules, on différentiera la première par rapport
484 CHAPITRE xn.
Dans le cas particulier où les fonctions H, K se réduisent à deux constantes (n'ayant pas pour produit l'unité), cette relation devient
âj^'- (IX à y d.T- ôx dy
200. Dans un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, faisons provisoirement abstraction de toute équation dont le premier membre serait une dérivée de quelque autre, et supposons que le système résultant, S, satisfasse aux hypothèses formulées dans l'un ou l'autre des n"^ 197, 198. Cela étant, pour que le système primitivement donné soit complètement intégrable, il faut et il suffit : i" que le système S le soit lui-même; i** que les équations jusqu'ici négligées soient desimpies conséquences numériques de S prolongé.
On raisonnera comme au n" 171 .
Réduction des systèmes auxquels s'appliquent les considérations
précédentes.
201. Nous nommerons système simple un système différentiel du premier ordre résolu par rapport aux diverses dérivées (premières) qui intéressent une seule et même variable, et linéaire par rapport à l'ensemble de toutes les dérivées (premières). Un pareil système est visiblement orthonome : il suffit, pour s'en convaincre, d'attribuer à toutes les variables indépendantes la cote i, à toutes les inconnues la cote zéro, et de se reporter à l'alinéa 1 du n"* 161.
Gela posé, dans tout système différentiel, S, auquel s'applique Cun ou C autre des deux théorèmes d'existence établis aux n^^ 197 et 198, la recherche d'' intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données se ramène à une semblable recherche successivement exécutée dans divers systèmes simples.
I. La recherche, dans le système différentiel S, visé par V énoncé ci-dessus, d'intégrales ordinaires répondant à des condi-
à y, la seconde par rapport à x, et ri>n éliminera, entre les quatre équations, les trois dérivées
Ùr' U ùr' U W' il
ôx"^ ôy ' ôx oy- ôx- ôy-
SYSTÈMKS DIFFÉRËNTIKLS RÉGULIKKS. 4^5
lions initiales données, se ramène à une semblable recherche exécutée dans un système orthonome, passif et régulier, de grade i .
Nous distinguerons deux cas, suivant que le théorème d'existence du n'* 197 ou celui du n" 198 est applicable au système proposé S.
Dans le dernier cas, le point formulé au début du présent alinéa 1 résulte de la démonstration même du théorème d'existence (n*^198).
Dans le premier cas, le système S est (n*" 197, III) de la forme
et, si l'on considère les conditions initiales
u= Fo(7, ...) \
du ,-, ,
V = Go(.r, ...) ^= G,(.r,...)
pour X = 370,
pour X = a7oi
on voit que les diverses circonstances spécifiées au n" lo5s'y trouvent réalisées. En appliquant au système S, nécessairement orthonomCj le mécanisme décrit au n" 156, on le ramènera à un système orthonome (n" lo7) et régulier de grade i, et ce dernier, se trouvant résolu par rapport à des dérivées (premières) qui n'intéressent toutes qu'une seule et même variable, x^ sera nécessairement passif.
11. Dans un système orthonome, passif et régulier, de grade i, la recherche d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données se ram,ène à une semblable recherche exécutée successivement dans divers systèmes orthonomes de grade \ , dont chacun, impliquant un certain nombre d^ inconnues, se trouve
résolu par rapport aux dérivées premières qui intéressent une seule et même variable.
Supposons, par exemple, qu'on ait affaire au système
du
dx
dv
dw
Ix ^'"
dr dx
ày~"'
dv
ày "•■•
dw
dy
du
âz
du
ds *••
où w, v^ iv, r désignent quatre fonctions inconnues des cinq variables indépendantes x, y, z, 5, t. Désignons en outre par Xq, yo, z-n^ 5o, ^o les valeurs initiales choisies pour ces dernières, par
UsCO^ V3(^, 5, 0, W,(z,s,t), R^{y,z,s,t)
quatre fonctions données, et supposons qu'on cherche les intégrales ordinaires, w, p, w, r, du système (i), déterminées par les conditions initiales
u = UsiO
Si l'on désigne par
pour X — XQ=y — yQ=zz pour x-~Xo = y — jKo = o, pour X — :ro = JK — JKo = <>, pour X — x^) = o.
Ui(^,JK, -s,^, 0» U2(7, ^, 5,^), 1)3(2,5,0, ^4(5,0,
Wi(x,y,z,s,t), Y,(y,z,s,t),
Wi(x,y,z,.s,t), W2(jK,2,5, /), Ri(x,y, z,s, t)
SYSTÈMES DIFFÉRENTIKLS RÉGULIERS. 4^7
certaines fonctions, pour le moment inconnues, il est clair que les intégrales dont il s'agit peuvent, par un groupement convenable des termes de leurs développements, être mises sous la forme
Si l'on pose en outre
(3) . (s-So)V,-\-V^,= \\(s,t),
la première formule (2) devient
Cela étant, considérons, dans le Tableau (1), la quatrième ligne, où ne figurent, avec le premier membre—? que les variables indépendantes, les intégrales, et leurs dérivées paramétriques; ces dernières se rapportent :
S'il s'agit de w, à la variable f,
S'il s'agit de ç ou w^ aux variables z, s, t]
S'il s'agit de /•, aux variables j% 5, 5, t.
Si dans la ligne considérée on introduit l'hjpothèse numérique
X — T^ = y — jo = z — Zo = o,
on voit, parla formule (4) et les trois dernières formules (2), d'une part, que la fonction //, et ses dérivées relatives k s, t se réduisent respectivement à la fonction Tj (5, t) et à des dérivées semblables; d'autre part, que les fonctions c, ^ip, /■ et leurs dérivées paramétriques se réduisent à des fonctions toutes connues de 5, t. La fonction 1% satisfait donc à une équation orthonome ayant pour premier
membre — ^; elle satisfait de plus, en vertu de (3), à la condition
initiale
1\=U6(/) |)(Hjr s — So=o:
on se trouve ramené dès lors, pour la déterminer, à une recherche de la nature qu'indique l'énoncé.
Supposons maintenant connue la fonction V, (5, ^), et posons moyennant quoi la première formule (2) devient
(6) a = (37 — a7o)Ui-f-(j— JKo)U2+ V3.
Si, dans la troisième ligne du Tableau (1), où ne figurent, avec le premier membre j-» que les variables indépendantes, les intégrales et leurs dérivées paramétriques, on introduit l'hypothèse numérique
on voit, par la formule (6) et les trois dernières formules (2), d'une part, que la fonction u et ses dérivées relatives à z, 5, t se réduisent respectivement à la fonction r3(z, 5, t) et à ses dérivées semblables; d'autre part, que les fonctions p, (V, r et leurs dérivées paramétriques se réduisent à des fonctions toutes connues de 2, s, t. La fonction T^ satisfait donc à une équation orthonome ayant pour premier membre
-p; elle satisfait de plus, en vertu de (5), à la condition initiale
^'3=^'4(*, ^) pour z — Zo = o,
ce qui nous ramène à une recherche de même nature que lorsqu'il s'agissait de T4.
Supposons connue à son tour la fonction ^^(z^ s, /), et posons
i (y—Jo) U2-H r3= Y.2{y,z,s,t),
( (y-y,)W,^W,= W,(y,z,s,t), moyennant quoi les trois premières formules (2) deviennent
/ u = {x — Xq) Ui-^ Y2,
(8) ^^^ijc-a^o) V, + 4>2,
Si, dans la deuxième ligne du Tableau (i), où ne figurent, avec
les premiers membres — > —> —, que les variables indépendantes,
les intégrales et leurs dérivées paramétriques, on introduit l'hypothèse numérique
OU voit, par les formules (8) et la dernière formule (2), d'une part,
que les fonctions «, ^^, iv et leurs dérivées relatives à. y^ 5, 5, t se
réduisent respectivement aux fonctions T2(jK, ^, -s, t), ^2(^5 ^i s, t),
^'■liXi ^5 ^1 f-) 6t à leurs dérivées semblables; d'autre part, que la
fonction r et ses dérivées paramétriques se réduisent à des fonctions
toutes connues de y, ^, 5, t. Les fonctions Ta, <ï>2, ^2 satisfont donc
, . . dX^ d<ï»2 dW^
a un système orthonome ayant pour premiers membres — — ? — — > -^j
elles satisfont de plus, en vertu de (7), aux conditions initiales
ce qui nous ramène encore une fois à une recherche de la nature qu'indique l'énoncé.
Finalement, si l'on suppose connues les fonctions T2, <I>2, ^25 les intégrales cherchées vérifient les équations de la première ligne de (i), et se réduisent, pour x — ;ro= o, à des fonctions connues, T2, <ï>2, W2, R2- On se trouve donc ramené une dernière fois à une recherche de même nature que dans les cas précédents.
III. Dans un système orthonome de grade i, résolu par rapport aux dérivées premières qui intéressent une seule et même variable, la recherche d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données se ramène à une semblable recherche exécutée dans un système de même nature, mais d'ordre 1 .
Soient .r, jKj z^ ... les variables indépendantes; i/<, M2, ..., Uh \es inconnues du système proposé; 6 la cote première maxima de ces
inconnues;
ÙU\ àii^ du le
dx ôx <)x
les premiers membres du système. Aux inconnues u^^ U2-> ..., Uk adjoignons, comme inconnues nouvelles, toutes celles d'entre leurs dérivées qui possèdent la double propriété : i" d'avoir zéro pour ordre partiel relatif à ^; 2" d'avoir une cote première inférieure ou égale à 0. Cela étant, considérons, dans le système orthonome proposé, les diverses relations ultimes (n" 109) dont les premiers membres possèdent la double propriété : i" d'avoir l'unité pour ordre
partiel relatif à x\ 2" d'avoir une cote première inférieure ou égale à 0 -h 1 . 11 est clair que, moyennant de simples changements d'écriture, les premiers membres de ces relations ultimes sont les dérivées premières par rapport -ax de toutes les inconnues anciennes et nouvelles. Quant aux seconds membres, ils ne peuvent contenir, outre les variables indépendantes, que des quantités (inconnues ou dérivées anciennes) possédant la double propriété : 1" d'avoir zéro pour ordre partiel relatif à .r ; 2" d'avoir une cote première au plus égale à 0 -h I : donc, moyennant de simples changements d'écriture, ces seconds membres ne contiendront, outre les variables indépendantes, que les inconnues anciennes et nouvelles, et les dérivées premières, relatives àj', s, .. ., de ces inconnues.
Enfin, les déterminations initiales des inconnues anciennes et nouvelles sont données s'il s'agit des anciennes, et se déduisent des données par de simples différentiations relatives à jk, '••, • • • s'il s'agit des nouvelles.
IV. Dans un système du premier ordre résolu par rapport aux dérivées qui intéressent une seule et même variable, la recherche dUntégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données se ramène à une semblable recherche exécutée dans un système de même nature, mais linéaire par rapport aux dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, ou, en d'autres termes, dans un système simple.
Soient x^ )', ^, . . . les variables indépendantes ; w,, Wa, . . ., Uk les inconnues du système donné;
ôux du2 àu/,
dx dx ' àx
les premiers membres. Posons
(9) -:ir=/^f (.= 1,2,...,^-),
dx
= Pi
dui
= PÏ
dui
(10) { dui - («■= I, 2, ...,X:
et adjoignons aux inconnues anciennes toutes les dérivées premières
à titre d'inconnues nouvelles. En remplaçant, dans le système donné, les diverses dérivées premières par leurs notations nouvelles, on obtient les relations
(il) pf = •• (i = 1, 2, ..., A:),
dont les seconds membres ne contiennent, avec les variables indépendantes, que les quantités w/, P^i p^, • • • (^=17 2, . . ., k). Une différentiation relative à x, exécutée sur chacune des relations (ïi), donne
système évidemment linéaire par rapport aux dérivées qui y figurent, et dont les seconds membres ne contiennent, avec les variables indépendantes, que les inconnues w/, pj\ />^, . . . (« = i , 2, . . ., A") et leurs dérivées premières relatives kx. Enfin, les relations
d diii d dui
dx ôy dy dx
â dui d dui
dx dz ôz dx
peuvent, en vertu de (9) et (10), s'écrire sous la forme d(ï; dy
ôx ôz
Cela posé, si l'on considère le système formé par les équations (9), (12) et(i3), et qu'on remplace, dans les seconds membres de (12), les dérivées relatives à x des fonctions w/, /?f, /?J, . . . (t = i , 2, . . ., A) par leurs valeurs tirées de (9) et (i3), on obtient visiblement un système simple ayant pour premiers membres les dérivées premières relatives à ^ de w/, /?;^, /?J, /?J, ... (j = i , 2, . . ., Ar), c'est-à-dire de toutes les inconnues anciennes et nouvelles.
On connaît d'ailleurs, dans ce système, les déterminations initiales de toutes les inconnues : car celle de Ui est donnée directement,
49^ CHAPITRK XII. — SYSTEMES DIFFERENTIELS REGULIERS.
celles de pf, /?J, . . . s'en déduisent par de simples différentiations relatives à y, 3, . . . respectivement, et celle de pf se calcule ensuite à l'aide de (i i).
V. Le simple rapprochement des alinéas I, 11, 111 et IV suffit à établir l'exactitude de notre énoncé général.
SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS DONT L'INTÉGRATION SE RAMÈNE A CELLE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES.
Systèmes passifs d'équations linéaires et homogènes du premier ordre à une seule fonction inconnue; méthode de Jacobi.
202. Un système du premier ordre impliquant une seule fonction inconnue, et résolu par rapport à certaines dérivées (premières) de cette inconnue, est nécessairement orthonome. Il suffît, pour s'en convaincre, de se reporter à l'alinéa I du n" 161, et d'observer : i" que le Tableau du système a une disposition régulière; 2" qu'en attribuant à l'inconnue une cote égale à zéro, et à chaque variable indépendante une cote égale à i , la cote de chaque dérivée est égale à son ordre même, et que, dès lors, celle d'un second membre quelconque ne peut surpasser celle du premier membre correspondant.
Nous nous proposons actuellement d'étudier les systèmes passifs d'équations aux dérivées partielles du premier ordre impliquant une seule fonction inconnue, ayant par rapport aux dérivées de la fonction la forme linéaire et homogène, et tels, en outre, que les coefficients des dérivées n'y renferment que les seules variables indépendantes à C exclusion de V inconnue. [Jn pareil système est donc de la forme
fi)
àf . àf ^ , , àf
/mïï::" -^•••-t- ^/^'7ïïïï~'
où /désigne la fonction inconnue, .r,, . . ., Xp^ Ut, . . ., «^ les variables
494 CHAPITHE XlII.
iiidépendanles, el
Ai^l, . . . , ^l,r/,
diverses fonctions données des seules variables
à r exclusion de f\ ces fonctions données se nomment les coefficients du système (i).
Cela posé, et les conditions de passivité du système (i) étant supposées satisfaites, nous choisirons pour les variables indépendantes des valeurs initiales quelconques à partir desquelles les coefficients soient développables; puis, considérant parmi les intégrales de (i) celles qui sont, comme les coefficients, développables à partir des valeurs en question, nous ferons voir que leur recherche se ramène à celle des équations intégrales générales d'un système passif d'équations différentielles totales (n" 116).
203. Considérons, en même temps que le système (i), le système différentiel total
dux
dx, - •"^'' •••' dx„~ ^'^'^'
qui s'en déduit par un mécanisme facile à apercevoir, et où ;/, , . . . , Uq désignent des fonctions inconnues de ^, , . . ., Xp. Je dis que la passivité de l'un quelconque des systèmes {\), (2) entraîne nécessairement celle de Vautre.
