I. Considérons d'abord le système (i
Pour former ses conditions de passivité, il suffit, puisque les dérivées cardinales des inconnues sont du second ordre, d'adjoindre aux équations (i) celles qui s'en déduisent par toutes les difl'érentiations premières possibles, et d'éliminer, entre les équations du système résultant, toutes les dérivées principales du premier et du second ordre. A cet effet, nous partagerons les équations dont il
SYSTÈMKS RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 49^
s'agit en trois groupes successifs, suivant qu'elles ont pour premiers membres : i" les dérivées principales du premier ordre, c'est-à-dire les dérivées du premier ordre qui se rapportent à une des variables x\ 2" les dérivées du second ordre intéressant une des variables x et une des variables ii\ 3" les dérivées du second ordre n'intéressant que les variables x. De ces trois groupes, les deux premiers ne fournissent visiblement, pour chacune des dérivées principales qui figurent dans leurs premiers membres, qu'une seule expression indépendante de toute dérivée principale. Cela étant, si, dans le troisième groupe, on tient compte des deux premiers, on n'aura encore, pour chacune des dérivées secondes
^, ..., ^, dx\ âxfj
qu'une seule expression de cette nature; mais on en aura deux pour chacune des dérivées cardinales. A chaque dérivée cardinale correspondra donc une condition de passivité, obtenue en écrivant que les deux expressions dont il s'agit sont identiquement égales. Chacune des deux expressions qu'on doit ainsi égaler entre elles a d'ailleurs la forme linéaire et homogène par rapport aux dérivées paramétriques premières et secondes de l'inconnue, et les coefficients de ces dérivées ne contiennent que les seules variables indépendantes : la condition de passivité qui résulte de leur comparaison peut donc (puisqu'elle doit être identiquement vérifiée) se décomposer en plusieurs relations, qu'on obtiendra en égalant les coefficients des dérivées semblables, et dont chacune (ne renfermant que les seules variables) devra ellemême être identiquement vérifiée.
On effectuera un pareil calcul en faisant varier de toutes les manières possibles le choix de la dérivée cardinale du système (i). Parmi les relations obtenues, un certain nombre sont nécessairement satisfaites d'elles-mêmes : en les négligeant, comme de raison, il
restera finalement q^—^- ^relations, représentables à l'aide de la
formule unique
dx,i ^ du\\ ' dx„i J^ âU'A
Dans cette formule, il faut prendre successivement pour S les
496 CHAPITRE Mil.
nombres i, 2, . . ., ^, et pour m^ n toutes les combinaisons deux à deux i^m^n) des entiers i, 2, ...,/?. Les relations dont il s'agit doivent, comme nous l'avons dit, être vérifiées pour toutes valeurs numériques de
TI. Considérons maintenant le système différentiel total (2).
A chaque dérivée cardinale correspond, comme nous l'avons vu au
n" 116, une condition de passivité, ce qui donne en tout q^—^
conditions : or, celle qui correspond à la dérivée cardinale
àXfndXn
n'est autre que la condition (3), fournie par le calcul précédent.
204. Le système (i), supposé passif, admet (n^ 115) une intégrale ordinaire se réduisant, pour les valeurs initiales des variables ^,, ..., Xp^ aune fonction donnée des variables restantes w,, ..., Uq\ il admet donc, notamment, q intégrales particulières,
/i» •••1 fq^
dont le déterminant différentiel relatif à
U\i . . . , liq
a une valeur initiale différente de zéro. Cela étant, je dis que sa solution générale est une fonction arbitraire de j\^ - • -^ fg (^^ composante étant, bien entendu, choisie de façon que le principe général des fonctions composées soit applicable). Effectivement, considérons le Tableau rectangulaire
du,' •■
àllq
âXp
dux
àllq
àf, àa-,' ••
àx,,
àf
àf
âUq
àf
àf
SYSTÈMES RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES TOTALES. 497
qui contient (] -\- p colonnes et ^ + i lignes, )3ar suite au moins autant de colonnes que de lignes. En supposant que / soit, comme /m ' ' •■) fq: ^^1^6 intégrale du système (i), on a les identités
àXi ' ''* ûiix
dxx
ôx.>
àA
âxp
àXn
ait
EL
Ai,.
àA
àf .
du,
àA
Ou,-
ÔUfj
ÔUa
En vertu de ces identités, chacune des p dernières colonnes du Tableau (4) cl tous ses éléments exprimables par une même fonction linéaire et homogène des éléments de mêmes rangs des q premières ; dès lors, tout déterminant d'ordre q -]- i extrait du Tableau (4) se décompose en une somme de plusieurs autres dont chacun est nul comme ayant au moins deux colonnes proportionnelles. Ainsi, les déterminants différentiels des intégrales
par rapport à ^ H- i quelconques des variables indépendantes sont tous identiquement nuls ; d'ailleurs celui des </ premières intégrales par rapport aux q variables w<, . . ., w<; a, par liypolhcse, une valeur initiale différente de zéro. Donc, en vertu du n" 124, / est une fonction composée de/, , . . . , fq.
Piéciproquement, toute fonction composée de/",, ..., /^ est une intégrale de (i). La relation
donne, en effet, par difFérentiation,
àfi dx,
âF
àf,
dx,
ÙF
àf, du,
duq dfi dii,j ' ' ' df,j duq
Ces relations, respectivement multipliées par — i, A,^,, .. ., A,^^, et ajoutées membre à membre en tenant compte des q premières équations (5), fait retomber sur la première équation (i), et l'on retomberait de même sur les suivantes.
20o. Les systèmes (i) et (2) étant supposés passifs (n" 203), V intégration de V un se ramène à celle de l'autre.
I. Si l'on connaît q intégrales particulières du système (i) satisfaisant à la seule restriction que leur déterminant différentiel relatif à w,, . . ., Uq ait une valeur initiale différente de zéro, on a par là même les intégrales générales du système (2).
Soient en effet /", , . . ., y^ les ry intégrales particulières dont il s'agit; j l'un quelconque des entiers 1, 2, ..., q\ i l'un quelconque des entiers i , 2, ...,/?. En multipliant respectivement par
Ou, OUff
les q équations contenues dans la ligne de rang i du système (2), et ajoutant les produits mem])re à membre, il vient
Oiix àxi ' ' ' ()u,j Oxi ''' ôu^ ' ' ' '''' àu,j '
d'ailleurs, /} étant une intégrale particulière de (i), l'expression
■^ ; , 1 . -i~ . . . -t- -rV ; , (7 ,
0U\ '' ÔUq
est, quels que soient ^^1, ...,^^, m,, ..., ;/y, identiquement égale à
-p^, en sorte que la relation précédente peut s'écrire sous la forme
Ox i
àfl ^àfj ô u^^^^^dfj^ du,j ^ ^ Ox,- âui OXi '"' OUq dxj
En faisant donc successivement «= i, *>-, ...,/? et y ^ i , 2, ..., q^ on obtient les pq équations
I ^ ^ éA ^ ^ i Hl ^ = o
dx\ àux âxi ' ' ' dug dx\ '
Ox,, ôu\ Ox,,
du,, dx,,
àfc, ^ àfc du, ^ Oxf du, dx.
df,, du,, Ou,, dxx
df,, ^ df,, du, ^ ^^^ ^ df,, du,, ^^ . dx,, Oui Ox,, ' ' ' du,, dx,.
Ces pq équations sont partagées ci-dessus en q groupes composés chacun dey? équations; on peut aussi les partager, comme il suit, en p groupes composés chacun de q équations :
dfi du,,
dxi ' dui
dx, '
Ou,, dx,
OXx Oui
du, d^i '^'
Ou,j OXy
Ox,, Ou\
dus Ox,,
^ àf Ou,, Ou,, Ox,,
[ ¥7 , àfr, dUj ^ ^^^ ^ df, du,, ^
dx,, du, dx,, du,, dx.
De ces p nouveaux groupes, celui de rang /, composé de q équations comme la ligne de rang i du système (2), s'en déduit à l'aide des q systèmes de multiplicateurs
df,
Of<,
du.
