OU

dont le déterminant est, par hypothèse, diflerent de zéro ; il en résulte que ce groupe est en corrélation multiplicatoire (n^^ 122) avec cette ligne, et, par suite, que le système des /j groupes est en corrélation multiplicatoire avec le système (2). L'intégration du système (2) se ramène donc à celle du système formé parles/? groupes de q équations : or, si l'on se reporte au groupement primitif (^ groupes de p équations), l'intégration est immédiate et donne ^

OÙ G,, ..., G^ désignent des constantes arbitraires. Le déterminant différentiel du système (6) par rapport à f/,, ..., Uq est, par hypothèse, différent de zéro, et il est manifeste qu'en donnant aux constantes des valeurs numériques convenables, la résolution du système (6) par rapport à «,, . . ., Uq fournira les intégrales particulières de (2) répondant à des conditions initiales données : pour avoir celles qui répondent aux conditions initiales

/ pour ^1— çi = ... = a-/;— ^/,= o,

Iq = Uy )

il suffira de donner à G( , . . ., G^ les valeurs numériques 1^ =/i ('Ji, •.., '^<i, \\, ..-, \p),

IL Si Von connaît les intégrales générales du système (2), on connaît par là même q intégrales particulières de (1) dont le déterminant différentiel relatif à w,, ..., Uq a une valeur initiale différente de zéro.

Soit

(7) /l=Gi, ..., fq=Cq

un système qui, résolu par rapport à w,, . . ., «^, fournit les intégrales générales de (2) [de là résulte, notamment, que le déterminant diflerentiel de /) , . . ., fq par rapport à M|, . . ., Uq est différent de zéro]. Je dis que chacune des fonctions /', , . . .^ fq est une solution particulière de (i).

SYSTÈMES RKDlCTlBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉUENTIELLES TOTALES. 5oi

Soient, en eHet, des valeurs numériques arbitraires de

Si, dans le système (7), on donne aux constantes C|, . . ., C^ les valeurs numériques

1^ =fi{^U "',^qAl^ •••' ^p),

la résolution du système

(8) A = Yu ..., f,= T,,

effectuée par rapport à m,, ..., Ug, fournira les intégrales particulières du système (2) qui répondent aux conditions initiales

/ pour Xi—l^=.. . = Xp — ^f,= o.

Gela étant, remplaçons mentalement, dans le système (8), Wj, ..., Ug par les intégrales particulières dont il s'agit : les équations (8) sont alors des identités en ^,, . . ., Xp^ et, en les diff'érentiant, on a encore des identités. Or, l'équation fj = Fy, diff'érentiée par rapport à ^/, donne

âXi âui dxi * ' ' dug dxi '

d'autre part, puisque w<, ..., Ug sont des intégrales particulières de (2), on a identiquement, en .ri, . . ., x p^

on a donc aussi, quels que soient x, , . . . , ^^,

Si, dans cette dernière relation, on introduit les liyj)Otlièses numériques

^l=Çl> •••5 ^P^^^Pt

w«, ..., ^/y prennent respectivement les valeurs numériques u<, ..., Uy ; et, comme les valeurs numériques

sont arbitraires, l'équation (9) est identiquement vérifiée en

Ainsi, l'une quelconque des fonctions/,, . . ., fq vérifie identiquement l'une quelconque des équations (1) : c'est ce que nous voulions établir.

III. En rapprochant du numéro précédent les alinéas I et M du présent numéro, on aperçoit immédiatement l'exactitude de notre énoncé général.

Systèmes passifs d'équations linéaires et non homogènes du premier ordre à une seule fonction inconnue; méthode de Jacobi; son extension à un cas qui comporte plusieurs inconnues.

206. Pour éviter d'inutiles longueurs, nous exposerons la méthode de Jacobi, non sur le cas, devenu classique, d'une seule inconnue, mais sur le cas un peu plus général auquel fait allusion le titre cidessus : en supposant, dans ce qui suit, le nombre des inconnues égal à 1, on retombera sur le problème classique.

Si l'on considère le système {évidemment orthononie) (')

doc as dt

dw d^

dy ^ ^ ds ^ dt

^'^ V -4- S "^^ T "^'^ dy ■' ds ■' dt

dz ^ ds dt

dz " ds " dt

^. ^ dw ^ dw

oii a^ ç, w désignent des fonctions inconnues de x^ y, ^, 5, ^, et

j u,, LV, U„ V„ V,, V„ W,, Wy, w„ I S„ s,., S„ T^, Ty, T,

(') Il suffit, pour se convaincre de la nature orthononie du système (i), d'attribuer à chacune des variables indépendantes la cote i, à chacune des fonctions inconnues la cote zéro, et de se reporter à l'alinéa I du n" 161.

SYSTÈMES RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRE.\TIELLES TOTALES. 5o3

des fonctions connues de œ^ y, ^, 5, /, w, c, (t^ satisfaisant aux conditions voulues pour que le système (i) soit passif, r intégration de ce dernier se ramène à celle d'un système passif d'équations différentielles totales (n" 116).

I. Pour former les conditions de passivité du système (1), il suffit (n" 112) d'adjoindre aux équations qui le composent celles qui s'en déduisent par toutes les ditférentiations premières possibles, et d'éliminer entre les équations du système résultant toutes les dérivées principales du premier et du second ordre. Aux diverses dérivées cardinales,

dx ôy

ôx ôy âUv

dx dz

dx ôz à' w

àydz à y dz

dx dy dx dz dy dz

correspondent respectivement des conditions de passivité ayant 1; forme

■'' ôs du Is du

^xz,t

dt du

+ Kvz,u = O,

^^^'•^ ds dw

xy,v

^^■^y^^dï

• ' dt

^yz,v

^xy,t

dw 'dt

~^ ^xy^w — 0>

; A ^w dw

^yz,s

ds dw 'ds

où les A désignent certaines expressions composées avec les fonctions ('a) et leurs dérivées partielles du premier ordre, et ne conte-

504 CHAPITRR XIII.

nant, par suite, que x, y^ 5, 5, t^ u^ i^, w. Pour que le système (i) soit passif, il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait, quels que soient :r, y, 5, 5, t^ u^ v^ w^

^.tz,s — ^xz,t

"■x:,u — ^xz,v — '^xz,w — O, ^yz,n ^^ "-jr;,c ^-^ ^yz,w ^^ O-

On arrive exactement au même résultat, si, au lieu du système (i), ci-dessus défini, on considère le système

<^ir ^5 Ot ou âç> âw

Èf-s ^ + T ^-U ^-V ^-W ^,

ojjK • c's -^ ôt • du •' âv ^ ow

ôz ds dt du dv dw

OÙ /désigne une fonction inconnue des variables indépendantes

11 est facile de vérifier par le calcul l'exactitude de cette double remarque.

Le système (4) esl donc passif ^ puisque le système (i) est supposé f être.

II. SiUon désigne par Jk-, fit f\ trois solutions ordinaires du système (4) telles que le système des équations finies

soit résoluble par rapport à w, v, w conformément au principe général des fonctions implicites, les fonctions de x^y^ 5, 5, t fournies par cette résolution constituent un groupe dUntégrales ordinaires du système (i).

Effectivement, les fonctions implicites u. résolution de (6) vérifient les relations

w fournies par la

du dx

dv dx

dv 7s

dw.

àf

dv dt

dw ~dï

SYSTExMES REDUCTIBLES AUX EQUATIONS DIFFERENTIELLES TOTALES. ')05

obtenues en difrérentiant la première des relations (6) successivement par rapport à x^ s, t. En multipliant les relations (7) respectivement par I, — S.r, — T.r, et ajoutant membre à membre, il vient

^ ^ da: as ât au \ ôx os ôt J

^j/^ ^ o^\ dfi /dw dw rf. àw

'^ ôv [àx •'■ as ■' dt)^ â.v [ â.r ~ ■' as ^ ■' ~dt

D'un autre côté, la relation

^^' ôx ()S Ôt OU ÔV ÔW

est vérifiée pour toutes les valeurs des quantités (5), puisque /i est une intégrale de (4)5 et? si l'on y remplace w, p, w par leurs valeurs en x^ y^ z, 5, t tirées du système (6), elle le sera, comme (8), pour toutes valeurs de x^y^ s, 5, t. Cela étant, la combinaison de (8) et (9) donne immédiatement

ôfx 1 ou ^. ^ ou ^ ou

('«) £U-''--^-^u-^^-ôi

àf^/dj^ V -S - -T -^ ôf^ [ÔW ÔW dw\

^d^Kj^ -^-- ^-^ -s - ^^ -ôï) = "•

En opérant sur les équations /2= <^j/3= o comme on vient de le faire sur./, = o, on obtiendrait deux autres relations ne différant de (10) que par le changement de/ en /a Qlenf^. Finalement, puisque le système (6) est supposé résoluble conformément au principe général des fonctions implicites, le déterminant différentiel de ses premiers membres par rapport à u^ v^ w est différent de zéro, et les trois relations que nous venons de former donnent immédiatement

ou ôx

T Ou

ôv "dx

dw 'ôs

On reproduit ainsi la première ligne du système (i), et l'on en reproduirait de même les deux autres lignes.

5o6 CHAPITRE XIII.

III. Réciproquement, toute solution ordinaire du système (i) peut s^ obtenir en égalant à zéro trois solutions ordinaires convenablement choisies du système (4), et résolvant le système ainsi obtenu par rapporta w, v^ w conformément au principe général des fonctions implicites. ^^

Désignons par.a;o,jKo5 ^oi ^oi h les valeurs des variables à partir desquelles nous supposons développées les intégrales considérées du système (i), et par

0(s,t), cp(5, 0, ^(S,t)

les fonctions de s, t auxquelles ces intégrales se réduisent dans l'hypothèse numérique

X — ^0 =y —yo= z — z^y= o.

Désignons d'un autre côté par

(II) r,, r^, r3, r4, r,

cinq intégrales particulières du système (4) possédant la dou])le propriété : 1° d'être développables à partir des valeurs

■^05 yo, ^0, 5o, ^Oj

i"^ d'avoir, relativement à s^ t^ w, v^ w^ un déterminant différentiel différent de zéro pour ces mêmes valeurs. On sait (n" 204) qu'en désignant par F une composante arbitraire, la fonction composée

F(ri,r,,r3,r4,r5)

est nécessairement aussi une solution du système (4).

Gela étant, introduisons dans les fonctions (i i) l'hypothèse collective

, ( a? =^ a7o, y =70, Z =:>So,

I w = u(^, ^), p = cp(5, ^), W = ^{S,t)\

nous obtiendrons ainsi cinq fondions,

Yb Ta, Ta, T*' Ta, des seules variables 5, ^, fonctions telles, comme nous allons le prou-

SYSTEMES REDUCTIBLES ALX EQLATIO.NS 1)11 FEUENTIELLES TOTALES.

ver, que Tun au moins des déterminants du second ordre extraits du Tableau

àr^

^To

ôs'

Os'

ôs'

as'

<hs

ày,

Ôt '

ôt

possède une valeur initiale différente de zéro. Considérons en effet le déterminant

âi\

àT;

f^Fs

ôs

àV,

dl\

àT,

ÔT,

ôt

ôl

ôt

oi\

dY,

ÔV-,

àT,

dTr

àl\

àV^

àT,

Oi'

ÔV

âr,

ÔT,

ÔV,

àT,

dont la valeur initiale est, par liypothèse, différente de zéro. Dans ce déterminant, on peut, par l'application des règles élémentaires, substituer respectivement à -p et — -^ (/=!, 2, 3, 4, 5), éléments de rang^ i des deux premières lignes, les expressions respectives

ôTi ôTi ô\j ôTi ô(f ôTi d']/

ôs ou ôs âv Ôs ÔW Ôs

ôTj ÔTi à'j ÔTi à'^i ÔTi ^^ . ~ôt~^'ôûôt^~ôvôt^ôwôt'

on peut, d'autre part, pour calculer les valeurs initiales de ces deux expressions, introduire dans la fonction F/ l'hypothèse (la), prendre les deux dérivées premières de la fonction y/(6", ^), ainsi obtenue, et calculer finalement les valeurs initiales de ces dérivées (< ). Le déter-

(') Eiïectivement, pour obtenir les valeurs initiales des expressions dont il s'agit, il faut y remplacer x, y, z, s, t^ m, c, w par les valeurs numériques respectives x^,

IXoi -So^ «o> hj "0» t^o» «'o- Or, si, dans la fonction r,(a7, jk, ^, s, t, u, v^ w), on introduit les hypothèses numériques x = x^, y z^ y^, 2 = 2„ (sans toucher aux variables s, t, m, v, tv), et qu'on prenne ensuite une dérivée quelconque de la fonction de 5, i, w, v^ w ainsi

5o8 CHAPITRE XIII.

minant (i3) a donc même valeur initiale que le suivant :

ày, ds

àT,

dT,

àT,

dT,

dV,

dTs

àT,

dFi

dT^

dT-,

dTj^

àT,

et, dès lors, si les déterminants du second ordre qu'on peut extraire des deux premières lignes de (i 4) avaient tous des valeurs initiales

obtenue, le résultat final est le même que si l'on avait d'abord effectué sur r-(a7, y, z, s, t, u, V, iv) la dérivation dont il s'agit, et qu'on eût introduit dans la dérivée résultante les hypothèses numériques x = Xq, y = y^,, z = z,^ (on le voit immédiatement en développant la fonction T, suivant les puissances de x — a?„, y — Xo, z — Z(,). D'après cela, si l'on pose

r,(^«, ro, ^0^ *, t,u,v,w) = A,. (5, t, u, V, w),

les deux valeurs initiales qu'il s'agit de calculer seront respectivement les mêmes que celles des deux expressions

dA, dA, ds du

d'J dA, ds "*" dv

d? dA, d^ ds dw ds

dA. dA, dt "^ du

dv dA,.

dt ^ dv

d'i dA, d^ dt '^ dw dt

Cela posé, et les valeurs initiales de u, cp, ^j; étant respectivement Mj,, Vq, w^^ on peut, pour effectuer ce dernier calcul, remplacer, dans la fonction A-, les variables a, V, w par u, cp, 4^, et substituer aux deux expressions précédentes les expressions respectives

dA- àà^ au à\^ à^ dA- c)^ ds dv ds O'-s ds d'\i ds

dA, dAj dv dA,. d? dA,. d'\> dt ^ ~dv dt '^ do (Jt "^ d'^ dt '

qui, d'après la définition de y^,

combinée avec la règle des fonctions composées, auront respectivement mêmes

valeurs initiales que — e-^. — r^* ^ ds dt

nulles, il en serait de même du déterminant (i3), ce qui esl absurde. Nous supposerons, pour fixer les idées, que

as àt

ôt

a une valeur initiale diflerente de zéro. Cela étant, considérons les expressions

r3-H3(ri,r,), r4-H4(r,,r2), Ts- H5(ri,r2),

et cherclions à déterminer les composantes H3, H/,, H 5 de telle manière que la résolution, par rapport à w, r, i-v^ du système

r3-H3(ri,r2) = o, r4-H4(ri,r,) = o, r5-H5(ri,r2) = o,

fournisse précisément les intégrales considérées du système (i).

Observons tout d'abord que si les premiers membres des équations (16) s'annulent, quels que soient ^, j>^, 2, s, t, par la substitution à w, p, w des intégrales dont il s'agit, ils s'annuleront forcément, quels que soient 5, i, dans l'hypothèse (12) ; on doit donc avoir, quels que soient ^, t,

i Y3— H3(yi, Y2) = o, ('7; I T4- H4(yi,T2) = 0,

( Y5— H5(yi, Y2) = o.

Faisons alors un changement de variables, et posons

puisque le déterminant différentiel de y^ et Y2 par rapport à 5, ^ a une valeur initiale différente de zéro, on peut de ces formules tirer s et t en fonction de 8, et Oo, et, si l'on substitue à 5 et ^ dans (17) les expressions ainsi obtenues, les relations résultantes doivent être vérifiées quels que soient 9, et 82 (') : en désignant donc par

(') Car à loui svstème de valeurs de 0,, 62 (su(fisamii)enL voisines des valeurs initiales) les formules de résolution font correspondre un système de valeurs de s, t.

ce que deviennent y3(., t), y,(., t), y, (s, t) par m^ubslitutio? on devra avoir identiquement

M3(e„e2)-H3(ei,02) = o, M4(e„e2) — H4(e,,62) = o, M3(e,,62)-H5(e„e2)=:o,

ce qui nous conduit à prendre pour H3, H„ H, les déterminations respectives M.,, M„ M^. Par suite de ce choix, les équations (16) deviennent

et leurs premiers membres acquièrent la propriété de s'annuler identiquement dans l'hypothèse (.2); dès lors, en admettant pour un instant que le déterminant diOerentiel, relatif à u, v, (v, des équations (18) ait une valeur initiale différente de zéro, les fonctions implicites qu'elles définissent, et qui, en vertu de l'alinéa II, vérifient identiquement le système (i), coïncideront précisément avec les intégrales particulières que l'on considère. Reste donc à établir que le déterminant différentiel dont il s'agit a une valeur initiale différente de zéro.

Considérons à cet effet le déterminant (i 4), dont la valeur initiale, égale, comme nous l'avons vu, à celle du déterminant (.3), est par là même différente de zéro. Aux trois dernières colonnes du déterminant (i4), on peut, par l'application des règles élémentaires, substituer respectivement les trois suivantes :

fMg dyi

dM, (^Y,

dM, rjy,

dM~^ r>/,

dM; dy, d\\ ds

âV^ as

"t^r, ds '

dl\ ds

0^2 ds '

dr^ ds

oT, dt

dY-y dt '

dM. dy, dl\ dt

dM, dy, dT.2 dt '

dM, dy, dl\ dt

dl\ dt

dX,

f^Mg ^r,

aMg dV^

àV;

dM;, dTi

dM, dr^

dVr.

dMr, dVi

dM, dl\ dTi du

dV^ Ou

c^Fa du'

dVi du

dVz du '

dTi du

(JV

^Ms dV^ dFi dv

^M3 dV^ dY^ dv '

dM^ dr, dl\ dv

dM, dr^

dTo dv '

dM-, dVt dFi dv

dM; dV dl\ dv

àVs

dy\;, dY,

ôM-, dT<i

àT,

dM, d\\

dM, dT,

dT^

dM~, dTi

dM; dV,

âw

c^r, dw

dr.2 dw '

dr, dw

dr., dw '

dVi dw

dTi dw

(19) ; fli f;M3 d i\ dMg

Or, dans le Tableau ci-dessus, les éléments des deux premières

SYSTÈMES RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIKLLES TOTALES. 5ll

lignes ont tous pour valeur initiale zéro : car, si l'on observe que Fi, Fo ont respectivement les mêmes valeurs initi^ales quey^, yo? et si l'on considère, par exemple, le premier élément de la première ligne, il a évidemment même valeur initiale que l'expression

ds â^(i as c*Y2 ^* laquelle est nulle quels que soient 5, ^, puisque l'expression

T3— MsCyi, Y2)

jouit elle-même de cette propriété. Gela étant, le déterminant (i4) a évidemment même valeur initiale que le produit du déterminant (i 5) par le déterminant formé avec les trois dernières lignes de (19); le second facteur de ce produit a donc, comme le produit lui-même, une valeur initiale différente de zéro, ce qu'il s'agissait d'établir.

IV. Il résulte de ce qui précède que l'intégration du système passif (i) se ramène à celle du système passif (4), et par suite (n° 205) à celle d'un système passif d'équations différentielles totales du premier ordre.

Intégration des systèmes orthonomes passifs de grade 1 dont le Tableau n'offre de cases vides que dans une seule colonne.

207. Pour familiariser le lecteur avec la méthode exposée, nous n'aborderons que progressivement le cas général formulé dans le titre ci-dessus, et nous commencerons par supposer que les seconds membres du système ne sont pas d'ordre supérieur à i .

Observons à ce propos qu'un système du premier ordre, résolu par rapport à certaines dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, ne peut manquer d'être orthonome, si toutes les cases vides (le son Tableau se trouvent situées dans une même colonne. Supposons, en effet, pour fixer les idées, qu'il implique les trois fonctions inconnues m, p', w des cinq variables indépendantes x, y, ^, 5, t, et cjue toutes les cases de son Tableau soient pleines, à l'exception des cases (s) et (t) de la colonne ((t^); pour se convaincre de la nature orthonome d'un pareil système, il suffit d'attribuer : 1" à ^, y, 5, 5, t des cotes premières égales à 1 , et à //, t^, w des cotes premières nulles;

5l'^ CHAPITRE XIII.

2" à X, y, z et u, v des cotes secondes égales à i , à 5, ^ et w des cot( secondes nulles (* ). ,

Dans le cas où les seconds membres du système en question sont linéaires par rapport aux dérivées (premières) des fonctions inconnues, nous dirons, pour abréger, que le système est linéaire.

208. Si^ dans le Tableau d'un système passif et linéaire du premier ordre, toutes les cases vides appartiennent à une même colonne, la recherche de la solution ordinaire qui répond à des conditions initiales données se ramène à l'intégration successive de deux systèmes passifs d'équations différentielles totales du premier ordre, donl le second est indépendant du choix des conditions initiales

I. En supposant, comme au numéro précédent, que le Tableau contienne cinq lignes et trois colonnes, avec deux cases vides dans sa dernière colonne, le système proposé est de la forme suivante :

B'- — ">■ as

"^' ât

B-^-^B-^ as "" dt

^"' as ^^'^'77

du 'dt

âw '"' as

B'.V-^ — -f-BiJ-f

'dt

"y ds

"y dt

ds ""- Ot

^' B dï =^^'

'' ds ^ ^"^ ~t '' ds ^^^' et

dw dw ù

OÙ les B désignent des fonctions données de x, jk, z, s, t, u, v, w. L'hypothèse de la passivité y entraîne, comme nous allons voir, de grandes simplifications.

Considérons en effet les conditions de passivité correspondant aux dérivées cardinales qui intéressent les variables des lignes non entièrement pleines, c'est-à-dire ici les variables 5, t. Dans les deux expressions ultimes (n° 109) de la dérivée cardinale ^ que le calcul des

dsôt ^

conditions de passivité conduit à égaler entre elles, les termes du

(') Ce n'est là d'aill l'alinéa I du n° IGl.

eurs qu'un cas très particulier de la proposition établie à

SYSTÈMES RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 5l3

second ordre sont, pour l'une,

et, pour l'autre,

Bv-^^-i-B-' — •

on a donc, quels que soient x^ y, ^, 5, t^ m, c, (p,

On a, de même, par le changement de u en ç^, (2) Btr/ = o, B»/ = o, B«:/=B«/.

Considérons maintenant les conditions de passivité correspondant aux dérivées cardinales qui intéressent, avec l'une des variables 5, ^, l'une des variables x^ y, z. En désignant par H„ la valeur commune des quantités B'^^^^, B^/, par H», la valeur commune des quantités B[J^, B|^/, et introduisant dans le système donné les simplifications qu'indiquent les relations (i), (2), on trouve, pour les termes du second ordre contenus dans les deux expressions ultimes de la dérivée cardinale j les quantités

et, de même, pour les termes du second ordre contenus dans les deux expressions ultimes de la dérivée cardinale y-r-' les quantités

On en déduit, à cause de la passivité supposée,

Tiwt ri Viwt ^ ux — ^^u^-'wxi

"f ^wxi ^\>x — "c ^wxi

d'où, par le changement de j; en jk et ^ successivement,

"uy — "^u^wyi "uy — ^u^ivyt

iJ^,y — "t> "»vy> ^vy — ^^v ^wyi

En tenant compte des diverses identités ( 1 ), (2), (3), (4), (5), et R. 33

introduisant certains changements de notations, le système proposé prend la forme

-7- — U^ 4-hI„ — -, -— =V +H^ ,

os ds ôs ds

au dw Ov ,, „ dw

les coefficients (fonctions de ^, j, ^, 5, i, a, ç, «^) qui figurent dans les seconds membres se trouvant, en vertu de la passivité, liés entre eux par certaines relations qu'il est inutile d'écrire.

Le problème que nous nous posons actuellement consiste à rechercher, dans un pareil système, la solution ordinaire qui répond à un groupe donné de conditions initiales, savoir :

pour ar — ^o=J — JKo= z — Zo= s — So= f — t^

^{s,t) pour X — a:o = y —yQ= z — Zo= o.

U. Dans les trois premières équations de la colonne (a) du système (6), remplaçons H„ -^ et H„ ^ par leurs valeurs tirées des deux dernières; puis, dans les trois premières équations de la colonne (^), remplaçons de même H^ — et H^, — parleurs valeurs tirées des deux dernières; en posant, pour abréger,

Bu:r - U, S., - U, T.^ = U.„ B,., - V, S,. - V, T., = V.„

^uz - U.S;,— U,T^ = U^, B,^ - V,S^ - V,T^ = V::, les trois premières lignes du système (6) deviennent

= V^ -+- S^ — -+- T.r — ■ , -— =W^-^ S.r-— -4-lx-'

as dt dx ds 0

dv dv div dw —, ^'

^ ^ ds ^ dt dy ^ ^ ds ^ <>

ds dt dz " ds ^

j du l dx

dv dx

] du

^ du ^ du

'ày

1 du

1 dl

ds dt

'dz

SYSTÈMES RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 5x5

Je dis que le système (8), indépendant des conditions initiales imposées aux intégrales du système (6), est passif comme ce dernier.

EfFectivement, ce système est de la forme ( i ), définie au n° 206, et les relations obtenues en égalant entre elles les deux expressions ultimes de chacune des dérivées cardinales sont de la forme (3), spécifiée à l'alinéa I du même numéro. Parmi ces relations (3), qui sont toutes, au point de vue de l'intégration, des conséquences de (8)^ par suite de (6), les trois dernières ne contiennent aucune dérivée qui soit principale relativement au système (6) : eJles doivent dès lors, puisque ce dernier est passif, être vérifiées pour toutes valeurs numériques des quantités qu'elles renferment, c'est-à-dire être identiquement vérifiées. On a donc identiquement

Aa;c,.ç=0, A:r-,;=0, Aa:2,tv=0,

^yz,s = O, kyz^t = O, ^yz,w = O,

et les six premières relations (3) du n" 206 se réduisent alors à

celles-ci, ne contenant que ^, y, z, 5, t, w, (^, w, doivent, à cause de la passivité de (6), être vérifiées pour toutes valeurs numériques de ces quantités, c'est-à-dire être identiquement vérifiées comme les précédentes. En conséquence, toutes les conditions de passivité du système (8) se trouvent identiquement satisfaites, ce que nous voulions établir.

III. Cela posé, considérons, dans le système (6), le groupe des intégrales ordinaires, u, v, w, qui répondent aux conditions initiales données (7) : si l'on désigne par

'j(s,t), o(s,t) ce que deviennent u, v dans l'hypothèse numérique

(9) x — xo = y—yo = ^ — zo = o,

et par

certaines fonctions dont chacune s'annule dans la même hypothèse, il

5l6 CHAPITUE XllI.

est clair que les intégrales dont il s'agit peuvent, par un groupement convenable des termes de leurs développements, être mises sous la forme

(lo) w = r -h u, p = 4> -+- cp, w = w-i-^'^

on voit d'ailleurs qu'en vertu des conditions initiales (^), les fonctions u(5, ^), ^{Sj t) satisfont elles-mêmes aux suivantes :

(il) \ pour 5 — SQ=t—tQ=o.

cp = t^o )

Cela étant, si, dans les deux dernières lignes du système (6),

ds as as ds

du ^, „ dw dç dw

dt Ot dt dt

on introduit l'hypothèse numérique (g), il résulte des formules ( lo)

(où r, <I>, ^ s'annulent dans cette hypothèse) que "? x' 17' ^' ^' 17

, 1 . . , (^'j (^'j do do div dw

se réduisent respectivement a u, —, --? o. -r^, -rl-i et (v, -— , — - aux ^ ^ ds dt ^ ^ ds dt ds dt

fonctions connues tj>, ^^ -^- Les fonctions i>, (p vérifient donc, avec

les conditions initiales ( » i ), un système différentiel total du premier ordre, dont la passivité est d'ailleurs évidente : car, le système (6) étant passif, on peut, sans toucher aux valeurs numériques ^o? JKo? ^o ^^ à la fonction <];(5, ^), qui figurent dans les conditions initiales (7) en même temps que les valeurs numériques Sq, tg, Uq, Vq^ faire varier arbitrairement ces dernières, qui figurent seules dans les conditions initiales (11).

Si maintenant on suppose connues les fonctions u, cp, on se trouve ramené, pour connaître m, p, cv, à rechercher, dans le système passif (8), la solution ordinaire répondant aux conditions initiales

ç z= o(s, t) > pour X — Xq = y — yQ=: z — ^^ = o, w = ^(s, t) ]

Or, l'intégration du système (8), indépendant du choix des conditions initiales imposées aux intégrales de (6), se ramène, comme

SYSTÈMES RÉDLTTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES TOTALES. ^17

nous l'avons vu au n'' 206, à celle d'un système passif d'équations différentielles totales du premier ordre.

209. La conclusion formulée au numéro précédent est applicable à un système passif et non linéaire du premier ordre, dont le Tableau n'offre de cases vides que dans une seule colonne.

Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait affaire au système

dx '

da ^,

ày

du ^,

àz ^"

div

désignent trois fonctions inconnues des cinq variables indépendantes .r,jK, 5, 5, ^; ces équations {i-i) ont pour seconds membres certaines fonctions connues de

dw dw ^, J, 3, ., t, u, ., w, — —,

et nous supposons, comme le dit l'énoncé, qu'elles forment un système passif. Le problème que nous nous posons consiste à rechercher, dans un pareil système, la solution ordinaire qui répond à un groupe donné de conditions initiales, savoir :

u = Uq I

( w = ^{s,t) I. Posons (14)

pour x — Xo = y—yQ = z — Zo pour X — Xi) = y — yo = z — Zq

dw . dw ,

— W'. = Wf

ds *' dt '

t — tn= O.

d'où — ^ = — ^]) introduisons ce chan£ement de notations dans les

équations (12), et considérons les équations suivantes, qui, moyennant le changement de notations, sont évidemment, au point de vue

5l8 CIIAPITRIi XIII.

de rintégralion, des conséquences de (12) :

' au dWg: /du

dx ^ àwL \ ds

-h'Mj.-H

^ = \ ^ ^W^ /^ y \ ^ ^W^ /àv ôx '^ dw's \ds '/ âw't \ât

dw; \âs V c>tv; \ f^^ V

d^ (^5 c'a * ôv ■'' dtv * dtiP'^ ds dw'i dt

dw'i dW:r <^Wr ^^.^ y ^^.r , d\\ .r dw\ dW .r div',

' (^^ c^^ du ^ dv ^ dw ' dtv!- ds dw't dt

Adjoignons ensuite aux équations ( i5) un groupe,

se déduisant de (i5) parle changement de ^ en y dans les indices et dans les difterentielles, puis un groupe,

se déduisant de (i5) parle cliangement de ^ en z dans les notations dont il s'agit; les équations

constituent, dans leur ensemble, un système du premier ordre, S, impliquant les inconnues

et indépendant des conditions initiales imposées aux intégrales de (12) : je dis que ce système S est passif, comme (12).

Effectivement, il est de la forme (i) définie au n" 206, et, par conséquent, les conditions de passivité correspondant respectivement aux diverses dérivées cardinales sont de la forme suivante :

' ' 0*5 dt

SYSTÈMES RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRKNTIELLES TOTALES. Srg

+ ^xy,(^ = O,

-^•-•^ Ifs

-h Ayz,l, = 0,

diX>

^■^•*''''^ ~ds ~^ A.r>-,< -^ H- ^.ty,w — O,

(20) \ \rz,s -7- -^ '^■rz.t -77 + A.r- tv = O,