OC

Aj-,^ -— -+- Xyz,t -77 + ^yz,w = o, ■^ ' as ^ dt •' '

^■^•'''■^ "^ "^ A.rj,f -j^ -h A.T.j,tv^ O,

('^ ") \ Aa:-,5 -^ 4- A,rz,i -^ -+- Axz,w', = O,

Ars,.v — r- -f- Av-,f — r— + Ayzy^— o,

^■^•^''"^ "^ "^ A.rv,f -^ -h Ary,w'^ — o,

( '^-2) \ A.r3,5 -^ -f- A.r-,; -^ -h A.rz,iv; = o,

où les A désignent certaines fonctions de

Parmi les relations ci-dessus, qui sont toutes, au point de vue de l'intégration, des conséquences de S, et par suite [moyennant le changement de notations (i4)] de (12), les trois dernières ne con-

tiennent, avec les quantités (20), que —— et -^ : elles doivent donc,

à cause de la passivité de (12), être vérifiées pour toutes valeurs numériques des quantités qu'elles renferment, c'est-à-dire être identiquement vérifiées. Les divers coefficients A qui figurent dans les relations (22) sont donc tous identiquement nuls, et les rela-

lions ( i8), ( 19), (20) et (2 I ) se réduisent alors à

^xy

Aa-,« = 0,

Ay=

^xz^v = O1

Ay.

A.-yj

^xz,w = 0,

^xz,w'^ ^^ 0,

ces dernières, ne contenant que les quantités ( 28 ), doivent, à cause de la passivité de (12), être vérifiées pour toutes valeurs numériques de ces quantités, c'est-à-dire être identiquement vérifiées comme les précédentes. En conséquence, toutes les conditions de passivité du système S se trouvent identiquement satisfaites, ce que nous voulions établir.

II. Cela posé, considérons, dans le système (12), le groupe des intégrales ordinaires, u, v, w^ qui répondent aux conditions initiales données ( i3) : si l'on désigne par u(5, ^), o{s, t) ce que deviennent w, i^ dans l'hypothèse numérique

X — Xo = y —yo= z — r,o = o,

on verra, comme au numéro précédent, que les fonctions u, o vérifient, avec les conditions initiales

u = Mo )

\ pour 5 — So=t — tQ=o,

un système passif d'équations différentielles totales du premier ordre, qui se déduit des deux dernières lignes de (12) par l'introduction de cette hypothèse numérique.

Les fonctions u, o étant supposées connues, on observera que les

fonctions

, dw , div

' ' ' •' dv ' ât

vérifient le système passif S, et l'on se trouvera ramené à rechercher, dans ce dernier système, la solution ordinaire qui répond aux conditions initiales

d<h(s.t)f pour a:— :ro=j— j^o =

^ as

' dt

SYSTEMES REDUCTIBLES AUX EQUATIONS DIFFERENTIELLES TOTALES. 521

Or l'intégration du système S, indépendant du choix des conditions initiales imposées aux intégrales de (12), se ramène, comme nous savons (n^* 206), à celle d'un système passif d'équations difTérentielles totales du premier ordre.

210. Les exemples suivants, quelque peu d'intérêt qu'ils offrent par eux-mêmes, aideront à mieux comprendre les méthodes que nous venons d'exposer.