III. Soit

une suite d'intervalles complexes se succédant indéfiniment suivant quelque loi déterminée, arbitrairement choisie sous les seules conditions : 1° que chacun d'eux soit entièrement contenu dans le précédent (et par suite dans tous ceux qui viennent avant lui); 2" que les amplitudes (II) de jf/( tendent vers zéro pour k infini. Soient en outre

des points respectivement choisis dans les intervalles (9) suivant une loi déterminée quelconque. Cela étant, la variante Sk tend vers une limite.

ElFectivement, si l'on désigne par Xk, yki ... les valeurs extrêmes minima, et par Xa, Y/^, ... les valeurs extrêmes maxima prises par les variables ^, y, ... dans l'intervalle Jïy^, ce dernier a pour amplitudes les difî'érences

Xk—Xk, Y/, — 7/,, ...,

qui, dès lors, sont infiniment petites pour k infini; d'ailleurs, les deux points s^, Sh^h étant compris l'un et l'autre dans l'intervalle Jï^, leur distance est inférieure à

(10) v/(Xa-- xk)^ -f- (Ya - yi,î'--r-.. . ,

et, par suite, infiniment petite pour k infini; il en résulte (n' 7) que le point Sh tend vers une limite S.

CONTINUITÉ. l3

Il convient de faire à cet égard les deux observations suivantes :

1** Cette limite S est située dans V un quelconque des intervalles (9) : car, si l'on donne à k une valeur particulière quelconque en laissant h variable, le point Skj^h tendra, pour k infini, vers cette même limite S, et, comme il reste compris, quel que soit h, dans la région complète (II) Jïyt, sa limite s'y trouvera elle-même comprise (n"8).

2'' La suite des intervalles (9) étant donnée, cette limite S est indépendante de la loi suivant laquelle le point s^ est choisi dans V intervalle Jï^ : car, si l'on nomme s\ le point fourni dans ^k par une autre loi, la distance des deux points s^-, s\^ inférieure à la quantité (10), tend vers zéro pour k infini.