Considérons le système passif non linéaire

i du . ,x /^^\^ àv

\ôx \dyj dz

dv , ^ [dv\^ dv

, ' àa dv

j Ou ^ dv

dz dz

où se trouvent engagées deux fonctions inconnues des trois variables indépendantes x^ y, z, et proposons-nous d'en rechercher la solution ('m, (^) satisfaisant aux conditions initiales

pour pour

En désignant par u(y, -s) ce que devient u dans l'hypothèse numérique ^ = o, la fonction -j vérifie, avec la condition initiale

u = A pour y = z = o, le système passif d'équations difterentielles totales

du fz

Ce dernier a pour intégrale générale

d'ailleurs, à cause de la condition initiale imposée à i>, on doit avoir C = A, ce qui donne

u = 2(jK ■+■ z^) -h \ e-^.

On se trouve ainsi ramené, par l'application de notre méthode, à intégrer le système

^" / os / l',^ f , ..du du

-— =^ '2.x -\- (U —' IV — X^) (\ — -iv'.r) -{- 1V'{U — IV — X^) -t" ^T" '

ÔX .> / J ^ ' f)y ()^

àv , ^ 1^ t , ^ dv dv

dx ^ •' y^ ■ ày dz

dv'y àv'y dv'y

= 'IVyiu 2 P — X-) H y

ôx . ^ Oy Oz

— ^—(x^-\-1V — W)p'.2 -f-2p'(w — IV — X'^) — ^H -^}

ÔX ^ ^ ày âz

aux quatre inconnues m, r, v'^., r^, avec les conditions initiales

(28) / ) pour X = o.

A cet effet, on forme l'équation aux dérivées partielles (homogène)

-^ — 1v'y{u--1V — X'^)^—''- -f- [237 4- iu— IV — X'^)(\ ~ 1V\^ )\ —

ÔX ^ ' dy ôz ^ •' Ou

— v'Mu — IV —x'^)4- —v'^-iu— IV — x'^) -jL =0, y âv •'^ dV;,

OÙ y* désigne une fonction inconnue de x, y, z^ u, v^ v'y.^ v'^ ; son intégrale générale est une fonction arbitraire des six quantités

v'y^ x-\-z, v'z — t', yv'y — iv'.^ {u — iv — x^)e-^, v ^ v\^ {u— -iv — x"^).

On pose alors

(m — 'IV — x^) e-^ = Y(x -\- z,v'~ — p),

V'yr:=^{x-^Z,V'. — V), ^ V-^V'^{U — '2V — X'^)=W{X^Z,V'.— V),

yv'y — iv'- = il{x -+- z, v'. — v),

et l'on détermine les composantes T, <I>, W, Q de manière que les relations (2g) soient identiquement vérifiées quand on tient compte des conditions initiales (28). Il vient ainsi

Ae--= r{z,iz—y~z^),

1= ^{z,iz—y — z^),

Ae--^y-i-z'-=W(z,'2z-y — z^),

relations qui, par le changement de variables

prennent la forme

Ae-9.= r(6,,62),

Ae-Oi-+- 2 6,— 02 = W(9i, 62), -62-26,-62= Q(6„62).

Les composantes T, $, W, Q étant connues, les relations (29) deviennent

{u — 2v—cr^)e-^=:Xe-^-^-^-\

JP^. — 2Pi = (^ — pi — 2(374-2) {X -h ZY,

et l'on en tire

ç =jK-+-(37 + 2)2-f-A e--— A e-(^-t-2)^

solution cherchée du système (27).

111. La méthode d'intégration exposée au n^ 209 est évidemment applicable à tout système passif du premier ordre où ne se trouve engagée qu'une seule fonction inconnue, puisque le Tableau d'un pareil système ne comprend qu'une seule colonne.

Considérons, par exemple, l'équation aux dérivées partielles

,^ , du du /du\^

OÙ u désigne une fonction inconnue des trois variables indépendantes .27, jK, z, et proposons-nous d'en rechercher l'intégrale particulière qui, pour x = o, se réduit à ey-\-yz. On se trouve ramené, par l'application de notre méthode, à intégrer le système

Ou Ox

,^ du , du

W,2 -h -— -1- -2 mI -— ,

Oy ^ dz

du', ox

du'y du'y

-h --^ -f- 2 wi — ^ , Oy dz

du', dx

du'. , Ou',

-+- — ^ H- 2 a^ -3-^ , dy dz

aux trois inconnues î/, u'^^ w^, avec les conditions initiales (3i) ' u'y = ey -{- z > pour x =^ o.

On forme, à cet effet, l'équation aux dérivées partielles (homogène)

ôx ôy àz du ^ du! y * ou'.

où/désigne une fonction inconnue de x^ y, z^ «, u'y.^ u^ ; son intégrale générale est une fonction arbitraire des cinq quantités

x-\-y., z -h 'lu'z, u'yC-^, uLe-^, (u -]- u'J) e-^.

On pose alors

/ {u -{- u'.^) e ^— ^ {x -{- y , z ->r- luL)^

(32) I u'ye--^=W(x-^y,z -^ iu'.),

{ u', 6-"^= il{x -h y,z -^ -îu'.),

et l'on détermine les composantes <I>, ^F, Ù de manière que les relations (32) soient identiquement vérifiées quand on tient compte des conditions initiales (3i). 11 vient ainsi

ey-^yz-{-y^= ^iy,z -hiy),

ey^z = W{y,z-^iy),^

relations qui, par le changement de variables

prennent la forme

e''i— 0f-+-6iO2= *(0i,02),

efJ.-20, + 62=^(01,02),

Les composantes ^, ^, Q étant connues, les relations ( 32 ) deviennent

u H- u'.^ = e''[e-'^^y — {x -\- yy- -^ {x ^ y) {z -^ 2?^!)], u'y=: e^[e^^y —9.{x -\- y) -\- z -\--iui], u'^ = e^{x -^y)^

SYSTÈMES REDUCTIBLES AUX EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 327

et l'on en tire

u — z{x -\-y)e'^-h e-^+y-\- e^fe^— i) (rc +7)2, intégrale cherchée de l'équation (3o) (*).

( ^ ) Il n'est pas sans intérêt d'examiner ici le cas de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre non résolue. En supposant, pour fixer les idées, qu'il y ait trois variables indépendantes, a;, y, z, et désignant par u la fonction inconnue qui s'y trouve engagée, cette équation sera de la forme

„ / du du

et nous la supposerons théoriquement résoluble (conformément au principe général

du du du dx dy dz

par exemple ^ : cela étant, proposons-nous d'en déterminer l'intégrale (ordinaire)

qui satisfait à la condition initiale

des fonctions implicites) par rapport à quelqu'une des trois dérivées du

pour

Nous poserons

ôy

moyennant quoi l'équation proposée devient nous poserons, en outre,

dx ~ '

L'intégrale cherchée u et ses trois dérivées premières p, q, r vérifient les équations

q\} rU

P^/^+Q^£-HRf =0,

dy ^ dy dy

dz ^ dz dz

(\n\ se déduisent de la proposée en la diiïérentiant successivement par rapport à x, y, z. Les relations (i') entraînent d'ailleurs comme conséquences nécessaires

dp dq

dp dr

dq dr

dy ~ dx'

Oz ^ dx'

dz - dy

211. La conclusion formulée au ai" 208 est applicable à un système orthonome passif , de grade i et d^ ordre supérieur à \, dont le Tableau n'offre de cases vides que dans une seule colonne.

Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait afFaire au système orthonome et passif, de grade i,

or - ^"

et - ^"

et les relations (2') peuvent alors se metti-e sous la forme dx ^ ây dz

on a enfin, en vertu de (i'),

/ ,r s r. ^W /^ C)a ,^ au r^ ^ r.

(4) P^+Q^+K^-=P/,+ Q?+Rr.

L'intégrale cherchée et ses trois dérivées premières vérifient donc le système [(3'), ( 4 )]? 6t satisfont, en outre, aux conditions initiales

dv (y, z)

(5) ' ^^__é.iy,,) > P°-^ = ^..

p = TD{y,z) I où vj{y, z) désigne la fonction implicite définie par l'équation

c r / N / s àuiy, z) âv{v, z)l

F\x„y,z,viy,z),TD{y,z), 1. ' \j^ J = «

(cette équation est nécessairement résoluble par rapport à cr, comme la proposée

OÙ M, (', iv désignent trois fonctions inconnues des cinq variables x, y, ^, s, t, et soit N l'ordre maximum (plus grand que i ) des dérivées figurant dans les seconds membres : ces derniers sont alors fonctions des diverses quantités

X, y, z, s, t, II. p, w et

Le problème que nous nous posons consiste à rechercher, dans un pareil système, la solution ordinaire répondant à un groupe donné de conditions initiales, savoir :

> pour cc — a-o=y — yo=^ — ^o = s — ^0 = ^—^0 = 0, (34) / ^ = ^0 )

I. Considérant, à l'exclusion de toutes autres, les solutions, en nombres entiej^s positifs ou nuls, de l'équation indéterminée

(35) Xx-\- x^-h. ..-\- Xp=i^^

où ^,, ^2, . . ., Xp désignent des inconnues en nombre quelconque

l'est, en vertu de l'hypothèse, par rapport à p : car, à cause de la relation

r(jF{x,y,z, u, p. g, r)^ ^ d?{x,,,y,z, u, L OP J.c=.r., àP

dont on aperçoit immédiatement l'exactitude en développant P{x, y, -s, u, p, q, r) suivant les puissances de a; — x^, les deux dérivées partielles

,„ / dv du

,,„, , av (Xa, y, z, u.z:j, --y —

dF{x,y,z, u,p.q,r)^ \ »' -^ > ^ - ' dy Oz

Op cm

ont manifestement même valeur initiale).

En appliquant au système [(3'), (4')]> complété par les conditions initiales (5'), la méthode exposée au n° 206, on est ramené à intégrer l'équation aux dérivées partielles linéaire et homogène

dx ôy Oz " ^ 'Ou ^ ' ^ dp

— ( Y + r/ U ) ^-^ - ( Z -+- /• U ) ^ = o ' ' Oq ^ 'or

résoluble par rapport à -y- j > où / désigne une fonction inconnue de x, y, s, u, p, q, r.

(au moins égal à 2), et N un entier positif donné, nous dirons que deux semblables solutions,

sont voisines, si les différences

sont toutes nulles, à l'exception de deux, dont une égale à i , et l'autre à — I .

Gela posé, on peut, avec les diverses solutions [en nombres entiers positifs ou nuls) de Inéquation (3d), former une suite ayant pour termes extrêmes

et telle que deux termes consécutifs quelconques soient des solutions voisines.

La proposition est évidente pour yo =1 2, car les solutions de l'équation (35) peuvent alors être rangées comme il suit :

Il suffît donc de faire voir qu'en la supposant vraie pour p — i inconnues (/> ^2), elle l'est nécessairement encore pour p inconnues. Or, les diverses solutions de l'équation (35) peuvent évidemment se partager en N -|- i groupes, suivant "qu'elles vérifient l'un ou l'autre des systèmes

iTl-l- a72-f-. . .-f- 37/,-! = N, ^/, = 0

a^i -+- 372 -h . . . -1- Xp-x = N — r , Xp=i