r- 37 „i — N — 2, Xp

37i-H3r2-|-. . .-h 37^-1= I, 37p=JN— i;

D'un autre côté, la proposition étant supposée vraie pour p — i inconnues, on peut, avec les solutions de ces N -h i groupes, former

lesN

SYSTEMES REDUCTIBLES AUX EQUATIONS DIFFERENTIELLES TOTALES.

-h I suites

dans chacune desquelles deux termes consécutifs quelconques sont des solutions voisines de l'équation (35). Gela étant, il nous suffît, pour achever la démonstration, d'observer que la première suite commence par (N, o, . . . , o, o), que la dernière comprend le terme unique (o, o, . . ., o, N), et enfin que, dans deux suites consécutives quelconques, le terme final de la première et le terme initial de la seconde sont deux solutions voisines.

II. L'inconnue w étant, dans le système proposé (33), la seule qui admette quelque dérivée paramétrique, il résulte immédiatement de l'orthonomie du système que, si l'on considère la relation ultime ayant pour premier membre

dx dz^ ds^ da

son second membre est d'ordre au plus égal à N -f- i . Cela posé, je dis que l'ensemble des termes d'ordre N + i dans le second membre dont il s'agit est de la forme

(JN+l

dz^^'^ ds^ da

ôz^ dsP-^^ dtJ

dz^ âsP âa+^

OÙ les fonctions H, K, L satisfont aux conditions salivantes : i^ elles ne contiennent, avec x^y^ ^, 6*, ^, w, v^ w^ que des dérivées paramétriques de w d'ordre inférieur à N -f- i ; 2*^ elles sont indépendantes des valeurs attribuées à a, [ii, y (sous la condition a4-15i + y = N).

i" J'établirai, en premier lieu, que l'expression ultime de la dérivée (36) est linéaire par rapport aux dérivées paramétriques d'ordre N 4- I , et qu'elle n'en contient pas effectivement plus de trois, celles qui se trouvent mises en évidence dans l'expression (37).

53a CHAPITRE XIII.

Exécutons en effet, comme il suit, sur l'équation — = W^;, a dérivations premières relatives à i;, (3 relatives à 5, y relatives à ^ ; la première dérivation n'introduit dans le second membre, en fait de dérivées principales, que des dérivées premières de u et ç', qu'on remplacera par leurs expressions ultimes, et, en vertu de l'orthonomie du système, le second membre de la relation résultante sera d'ordre au plus égal à 2 ; en effectuant sur celle-ci une nouvelle dérivation première, et remplaçant par leurs expressions ultimes les dérivées premières de M et t^ que cette opération y introduit, le second membre de la relation ainsi obtenue sera d'ordre au plus égal à 3. Ainsi de suite. Quand on aura effectué N — i dérivations premières, en ayant soin de remplacer après chacune d'elles les dérivées premières de u et V par leurs expressions ultimes, on tombera sur une formule dont le premier membre sera d'ordre N, et dont le second, indépendant de toute dérivée principale, sera d'ordre au plus égal à N. En exécutant alors, sur la formule dont il s'agit, la N'''™'^ dérivation première, la relation résultante aura pour premier membre la dérivée (36); quant à son second membre, il ne pourra contenir, en fait de dérivées d'ordre N -h i , que des dérivées paramétriques; il sera, de plus, linéaire par rapport à elles, et, en remplaçant fînalexnent les dérivées premières de w et t^ par leurs expressions ultimes, qui sont au plus d'ordre N, cette double propriété subsistera. En résumé donc, la suite des opérations que nous venons d'indiquer conduit, pour la dérivée (36), à une expression indépendante de toute dérivée principale, et linéaire par rapport aux dérivées paramétriques d'ordre iN -j- i de w. D'ailleurs, cette expression n'est autre que l'expression ultime de la dérivée (36) : car, le système proposé admettant un groupe (unique) d'intégrales ordinaires pour des données initiales arbitrairement choisies, il est clair que les deux expressions dont il s'agit doivent être égales pour toutes valeurs numériques des quantités qu'elles renferment, c'est-à-dire être identiquement égales.

Ainsi, l'expression ultime de la dérivée (36) est linéaire par rapport aux dérivées paramétriques d'ordre N -h i : elle n'en peut d'ailleurs, comme nous allons le voir, contenir aucune dont l'ordre partiel relatif à ^ tombe au-dessous de a. Si a est nul, ce point est évident.

Supposons a >» o, et considérons, d'une part, l'expression ultime

SYSTÊMKS RÉDUCTIBLES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 53

de (36), d'autre part, l'expression ultime de

dx ds^+P dn

Si sur l'expression ultime de (38) on effectue a dérivations premières relatives à ^, en avant soin de remplacer après chacune d'elles les dérivées premières de « et i^ parleurs expressions ultimes (d'ordre ^N), on tombe sur l'expression ultime de

dx dz^ ds^^'^ âtl

Si sur l'expression ultime de (36) on effectue a dérivations premières relatives à s, en effectuant après chacune d'elles les substitutions dont nous avons parlé, on tombe encore sur l'expression ultime de (39). Les deux expressions ainsi déduites, l'une de (38), l'autre de (36), sont donc identiquement égales entre elles. D'un autre côté, il est bien facile de se rendre compte que chacune d'elles est linéaire par rapport aux dérivées paramétriques de w d'ordre N H- i + a ; que pour obtenir, dans l'expression déduite de (38), la portion linéaire et homogène d'ordre N + i + a, il faut considérer, dans (38), la portion linéaire et homogène d'ordre N -h i , et effectuer sur chacune des dérivées

d'ordre N 4- i qui j figurent la dérivation -— > en assimilant les coefficients de ces dérivées à des constantes ; que pour obtenir de même^ dans l'expression déduite de (36), la portion linéaire et homogène d'ordre N + i -h a, il faut considérer, dans (36), la portion linéaire et homogène d'ordre N -h i , et effectuer sur chacune des dérivées

d'ordre iN 4- i qui y figurent la dérivation — ^> en assimilant les coefficients de ces dérivées à des constantes. D'après cela, il est clair que, dans l'expression déduite de (38), aucune dérivée de (v d'ordre N 4- 1 -+- a ne possédera, relativement à ^, un ordre partiel inférieur à a : il en sera donc de même dans l'expression identique déduite de (36). D'ailleurs, pour avoir les dérivées d'ordre N + i -f- a figurant dans cette dernière expression, il suffit, comme nous l'avons dit, de considérer les dérivées d'ordre N 4- i figurant dans l'expression ultime

de (36 ), et d'effectuer sur elles la dérivation -— > c'est-à-dire une dérivation n'intéressant pas la variable z : on en conclut immédiatement

(jiie chacune des dérivées d'ordre N -h i figurant dans l'expression ultime de (36) possède, relativement à z, un ordre partiel au moins égal à a.

Ainsi, l'expression ultime de (36) est linéaire par rapport aux dérivées paramétriques d'ordre N -h i de w qu'elle contient effectivement, et, pour l'une quelconque de ces dernières, les ordres partiels relatifs à 3, 5, ^ ne peuvent tomber au-dessous de a, ^S, y respectivement : comme on a d'ailleurs a -h [B -|- v = N, ces ordres partiels sont nécessairement égaux.

soit à

c'est-à-dire que, dans l'expression ultime de (36), la portion linéaire et homogène d'ordre N -i- i est bien de la forme (37), où H, K, L ne contiennent, avec ^,JK, 3, 5, t^ w, v^ (ip, que les dérivées paramétriques d'ordre inférieur à N -h i .

2° Reste à faire voir que les fonctions H, K, L sont indépendantes des valeurs attribuées à a, ^, y sous la condition a -+- ^S + y =:= N ( ' ).

Considérons à cet effet les deux dérivées

dcc âz^' dsP' ôtt dx dz^" ds'P" dtt

OÙ a' -}- ^' -h y' = ^' 4- 1^^' + y" = N. En vertu de l'alinéa I, ces deux dérivées peuvent être reliées l'une à l'autre par une chaîne de dérivées telle que deux anneaux consécutifs de la chaîne correspondent à deux solutions voisines de l'équation a -h j^ -f- v z= N. Il suffît donc, pour établir que les fonctions H, K, L sont respectivement les mêmes dans les expressions ultimes des deux dérivées (4^), d'examiner le cas où ces deux dérivés correspondent à deux solutions voisines de l'équation dont il s'agit.

Pour fixer les idées, nous supposerons

(*) Lorsque la fonction arbitraire unique qui figure dans l'ensemble des déterminations initiales des inconnues ne dépend que d'une seule variable, l'équation a = N n'a qu'une seule solution, et la deuxième partie de la démonstration devient inutile.

et nous considérerons les deux dérivées

âx ôz^' (^5P' dtt ôx dz^-^ ôs'P'^^ ôa

Dans les expressions ultimes de ces dérivées, les portions linéaires et homogènes d'ordre N -f- i ont respectivement les formes

d^a'-^-i ôsV dtr àz^' âsP'^^ âtt dz^' ds?' âtt-^^

Oz^' Os^'-^^ on' âz^'-^ âsP'^-^ dtt dz^-^ dsP'-^^ dtt^^

Il en résulte que, dans l'expression ultime de la dérivée

ÔX dz^' ôs'i:^'^^ dtr'^

résultante d'ordre minimum des deux dérivées ( 4 1 ), la portion linéaire et homogène d'ordre N -h 2 est, d'une part,

dz^'^^ dsP'+i dtr dz^' ds?'^-'dtr dz^' ds^' ^-"^ âa'-^'^

et, d'autre part.

dz^'-^^ ds^'-^^ dtr âz<^' dsP'^-^ dtr âz^' dsP'-^^ dtr^^

On a donc identiquement

III. Considérons actuellement, dans le système (33), les relations ultimes ayant pour premiers membres respectifs

ou ôv ôw ôx ôx ôx

ôx ôz^ ôsP ôty

les deux premières sont, en vertu de nos hypothèses, d'ordre au plus égal à N ; la troisième, en vertu de l'orthonomie de (33), d'ordre i ; la quatrième, pour la même raison, d'ordre i + a H- ^ -j- y. Pour les

I , . , du àv dw 1 . , .

trois dérivées -r-» -7-5 \— > les expressions ultimes sont respectivement dx dx ox ^ ^

Ua;, V;r, Wa;; pour la dérivée (4^)5 on peut avoir,

ou bien

dans le premier cas, je désignerai par W^^a, p,Y l'expression ultime de la dérivée dont il s'agit, et, dans le second cas, par P^,a,p,Y ^^ 4^^ reste de cette expression ultime quand on y fait abstraction de la partie linéaire et homogène d'ordre N + i ; je poserai enfin

(43) I ôz^ds^da

et j'attribuerai aux notations H, K, L le même sens qu'à l'alinéa précédent.

Cela étant, je considère les équations

'ôx ~ •

«G^-^=) --iH-') --(^-4

— - = W^-f- H( wi,o,o) -f- K( (vo,i,o -4-L( (»'0,o,i

âx ■ \ f)z / \ as / \ àt

K ( "'" •"' „,a,3^.,r ^ + I. ( i:!ï2!2i ,pa,{i,Y+> j

[Il va sans dire que, dans les coefficients des dérivées premières mises ci-dessus en évidence, et dans les termes indépendants de ces dérivées, on a introduit les changements de notations indiqués par la formule (43); les équations (44) sont alors toutes linéaires et du premier ordre.] Je formerai ensuite, de la même manière, un groupe

d'équations,

SYSTÈMES RÉDUCTIBI.ES AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TOTALES. SSj

se déduisant de (44) par le changement de x en y dans les indices et dans les diflerentielles, et par la substitution aux coefficients H, K, L de trois coefficients de même forme. Les équations

constituent, dans leur ensemble, un système du premier ordre, S, impliquant les inconnues

M, V, w, (vî'.P.y (a-f-p-h Y=:l, 2, ..., N),

et indépendant des conditions initiales imposées aux intégrales dç (33) : je dis que ce système S est passif, comme (33).

Effectivement, le système en question est de la forme (i), définie au n*^' 206, et par conséquent les relations obtenues en égalant entre elles les deux expressions ultimes de chacune des dérivées cardinales sont de la forme suivante :

. du

+ Axy,M

. dw

-t- A.ry,w